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高一数学必修四 2.5平面向量应用举例


2.5.1

平面几何中的向量方法

利用向量解决平面几何问题举例

例1.求证:平行四边形两条对角线的平方和 等于相邻两边的平方和的两倍。
几何问题向量化

??? ? 2 ? 2 ?2 | AB | ? | a | ? a ??? ? 2 ? 2 ?2 | AD | ? | b | ?

b A ??? ?2 ? ?2 ? ? 2 ?2 ? ? ?2 | AC | ?| a ? b | ? (a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ??? ?2 ? ?2 ? ? 2 ?2 ? ? ?2 | DB | ?| a ? b | ? (a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ?2 ?2 ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? 2 ???? 2 | AC | ? | DB | ? 2( a ? b ) ? 2( AB ? AD )

??? ? ? ??? ? ? 证明:设AB ? a, AD ? b,

D

C

向量运算关系化 B

向量关系几何化

所以,平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍.

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表 示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题 转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关 系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何元素。 简述:几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化

例2 如图, ABCD中,点E、F分别是AD 、 DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R 、T两点, 你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?
利用向量 解决平面 几何问题 举例 A D F T B

C

E

R

简述:几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化

例2.如图,在□ABCD中,点E、F分别是AD、 DC边的中点,BE、BF分别与AC交于点R、T两点. 你能发现AR、RT、TC之间的关系吗? 由图可猜想:AR=RT=TC. 证明如下: F D 解: C ? ??? ? ??? ? ? ? 设AB ? a , AD ? b , 则由 AR // AC , b T ? ? ? ? ??? ? ??? ? E 得 AR ? x AC ? x(a ? b) ? xa ? xb, x ? R . R ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ? ??? ? 又 AR ? AE ? ER ? b ? ER B A a 2 ? 1? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 而 ER // EB , ∴ ER ? yEB ? y(a ? b), y ? R. 2 ??? ? 1? ? 1? ? 1? y ? ? AR ? b ? y(a ? b ) ? ya ? b, y ? R . 2 2 2 ?x ? y ??? ? 1 ???? 1 ? 由向量基本定理得 ? 1 ? y ? x ? y ? 3 . ? AR ? 3 AC . x? ? ? 2

??? ? 1 ???? ? AR ? AC . 3 ??? ? 1 ???? 同理可证:TC ? AC . 3 ??? ? 1 ???? 于是 RT ? AC . 3

E
A

b

?D

F
T

C

故猜想:AR=RT=TC 成立.

R

? a

B

2.5.2 向量在物理中的应用举例

探究(一):向量在力学中的应用

思考1:如图,用两条成120°角的等长 的绳子悬挂一个重量是10N的灯具,根据 力的平衡理论,每根绳子的拉力与灯具 的重力具有什么关系?每根绳子的拉力 是多少?
A

F1+F2+G=0

120°

B

|F1|=|F2|=10N

O C

10N

思考2:两个人共提一个旅行包,或在单 杠上做引体向上运动,根据生活经验, 两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小 有什么关系? 夹角越大越费力.

思考3:假设两只手臂的拉力大小相等, 夹角为θ ,那么|F1|、|G|、 F θ 之间的 关系如何?
F1 ? G 2 cos

?

F1

θ

F2

2 θ ∈[0°,180°)

G

上述关系表明,若重力G一定,则拉力的大小是关于 夹角θ 的函数.并且拉力大小和夹角大小成正比例关系.

探究(二):向量在运动学中的应用

思考1:如图,一条河的两岸平行,一艘 船从A处出发到河对岸,已知船在静水中 的速度|v1|=10㎞/h,水流速度|v2|= 2㎞/h,如果船垂直向对岸驶去,那么船 的实际速度v的大小是多少?
?

? ? v ? v1 ? v2 ? ? v1 ? v2 ? ? 104km / h ? ?
? ? ? ?

2

A

思考2:如果船沿与上游河岸成60°方向 行驶,那么船的实际速度v的大小是多少?
v1
v1 ? 10km / h

v 60° v2

v2 ? 2km / h

?

? ? v ? v1 ? v 2 ? ? v1 ? v 2 ? ? 84km / h ? ?
? ? ? ?

2

思考3:船应沿什么方向行驶,才能使航 B 程最短? v ? 10km / h
1

v2 ? 2km / h

与上游河岸的夹角为 78.73°.

v1 C A

v v2

思考4:如果河的宽度d=500m,那么船 行驶到对岸至少要几分钟?
所以 d 0.5 t? ? ? 60 ? 3.1(min). |v| 96

“向量法解决几何问题”的两个角度:

非坐标角度和坐标角度
例3.如图,正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,PECF 是矩形,用向量证明: (1)PA=EF (2)PA⊥EF
P E A B

D

F

C

1、已知:AD、BE、CF是△ABC的三条中 线; 求证:AD、BE、CF交于一点. 2、已知△ABC的三个顶点A(x1,y1),B(x2, y2), C(x3,y3),则重心G的坐标为 ____________________. 3、用向量法证明:三角形三条高线交于一 点.

1、已知:AD、BE、CF是△ABC的三条中线; 求证:AD、BE、CF交于一点.

证明:如图AD、BE相交于点G,联结DE. 易知△GDE∽△GAB,DE= 1 AB. A 2 所以,BG= 2 BE. 3 CG=CB+BG =CB+ 2 BE F 3 G 2 1 =CB+ ( CA- CB) 3 2 = 1 ( CB+CA) B D 3

E

C

1、已知:AD、BE、CF是△ABC的三条中线; 求证:AD、BE、CF交于一点. 即CG = 1 ( CB+CA) 3 又因为CF= 1 (CB+CA). 2 所以CG= 2 CF, 3 因此C、G、F三点在同一直线上. 所以,AD、BE、CF交于一点. B A

F

G

E

D

C

已知△ABC的三个顶点A(x1,y1),B(x2,y2), x1+x2+x3 y1+y2+y3 ( , ). C(x3,y3),则重心G的坐标为____________________ 3 3 解:设原点为O,则 OG=OA+ AG =OA+ 2 AD 3 =OA+ 1 ( AB+AC ) 3 =OA+ 1 ( OB-OA+OC-OA) 3 = OA+OB+OC 3

2、

3、用向量法证明:三角形三条高线交于一点. 证明:设H是高线BE、CF的交点, 且设AB=a,AC=b,AH=h, 则有BH=h-a,CH=h-b,BC=b-a. A F H E

因为BH⊥AC,CH⊥AB.
所以( h-a )·b= ( h-b )·a =0. 化简得 h·( a-b )=0 AH⊥BC. 所以,三角形三条高线交于一点. B

D

C

三角形四心的向量表示


??? ? ??? ? ???? (1) 若 O 是△ABC 所在平面上一点,且满足 OA ? OB ? OC ,
则点 O 是△ABC 的 心;

→ → → ? (2)若 G 是△ABC 所在平面上一点,且满足GA+GB+GC= 0 , 则点 G 是 ABC 的



心;

三角形四心的向量表示
(3) .已知 O 是平面内一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点, ?→ → ? AB AC ? → =OA → +λ? + 动点 P 满足OP ? → ?(λ∈[0,+∞)), → ?|AB| |AC|? 则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的 内 心;

(4)点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点, → → → → → → 满足OA· OB=OB· OC=OC· OA, 则点 O 是△ABC 的

垂 心.

例1、已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不 共线的三个点,动点P满足 OP ? OA ? ?( AB ? AC)

则P点的轨迹一定通过△ABC的( C) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
点拨:由 得出

OP ? OA ? ?( AB ? AC)

AP ? ?( AB ? AC)

由平行四边形法则和共线定理可得AP一定 经过△ABC的重心。

变式1、已知P是平面上一定点,A,B,C是平面上不 共线的三个点,点O满足

则O点一定是△ABC的(C) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心

??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? PO ? PA ? PB ? PC 3

?

?

??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? 点拨:由 PO ? PA ? PB ? PC 3 ??? ??? ? ??? ? ? ??? ? 得出 3PO ? PA ? PB ? PC ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? PO ? PA ? PO ? PB ? PO ? PC ? 0 ???? ??? ? ??? ? ? AO ? BO ? CO ? 0 故O是△ABC的重心。

?

?

变式2、已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不 共线的三个点,动点P满足 AB AC OP ? OA ? ? ( ? )?? ?[0, ? ?) ? AB sin B AC sin C 则P点的轨迹一定通过△ABC的( ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心

OP ? OA ? ? (

AB AB sin B

?

AC AC sin C

)?? ?[0, ? ?) ?

点拨:在△ABC中,由正弦定理有 AB sin B ? AC sin C 令 t ? AB sin B ? AC sin C

? ? ? 则 OP ? OA ? ( AB ? AC)? ? [0, ? ?) ? t ?t ?
? AP ?

?

?
t

( AB ? AC )

由平行四边形法则和共线定理可得AP一定经过 △ABC的重心。 C

例2、已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共 线的三个点,动点P满足

OB ? OC AB AC OP ? ? ?( ? )?? ?[0, ? ?) ? 2 AB cos B AC cosC
则P点的轨迹一定通过△ABC的( ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心

DP ? ? (

AB AB cos B

?

AC AC cosC

)?? ?[0, ? ?)?

点拨:取BC的中点D,则 OD ? OB ? OC 2
AB cos B AC cosC ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? BC AC ? BC 又因为 BC ? DP ? ? ( ??? ? ???? ) ? ? (- BC + BC ) ? 0 ? AB cos B AC cos C

由已知条件可得 DP ? ? (

AB

?

AC

)?? ?[0, ? ?)?

所以

BC ? DP

所以DP是BC的垂直平分线,所以P点的轨迹一定经过 △ABC的外心。 A

外心的向量表示 结论1:O是三角形的外心

? OA ? OB ? OC


OA ? OB ? OC

2

2

2

结论2:△ABC所在平面一定点O,动点P满足

OB ? OC AB AC OP ? ? ?( ? )?? ?[0, ? ?) ? 2 AB cos B AC cosC
P点轨迹经过△ABC的外心

例3、已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共 线的三个点,动点P满足

OP ? OA ? ? (

AB AB cos B

?

AC AC cosC

)?? ?[0, ? ?)?

则P点的轨迹一定通过△ABC的( ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心

OP ? OA ? ? (

AB AB cos B

?

AC AC cosC
AB AB cos B

)?? ?[0, ? ?)?
AC AC cosC )?? ?[0, ? ?)?

点拨:由已知等式可知 AP ? ? (

?

在等式的两边同时乘以 BC ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? BC AC ? BC 即 BC ? AP ? ? ( ??? ? ???? ) ? ? (? BC ? BC ) ? 0 ? AB cos B AC cos C

? AP ? BC
故点P的轨迹一定通过△ABC的垂心。D

变式3、已知O是平面上一点,A,B,C是平面上不共 线的三个点,点O满足 则O点一定是△ABC的( D) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心

OA? OB ? OB ? OC ? OC ? OA

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 点拨: OA ? OB ? OB ? OC ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? OA ? OB-OB ? OC ? 0 ??? ? ???? ??? ? ? OA-OC ? OB ? 0 ??? ? ??? ? ? CA ? OB ? 0 ??? ? ??? ? CA ? OB

?

?

??? ? ??? ? CB ? OA ??? ? ???? AB ? OC

同理可得

垂心的向量表示 结论1:O是△ABC的垂心的充要条件是

OA? OB ? OB ? OC ? OC ? OA
结论2、动点P满足

OP ? OA ? ? (

AB AB cos B

?

AC AC cosC

)?? ?[0, ? ?)?

P点的轨迹经过△ABC的垂心

例4、已知O是平面上一点,A、B、C是平面上不共线 的三个点,(a,,b,c是△ABC的A,B,C所对的三边)点O 满足 aOA ? bOB ? cOC ? 0

则O点一定是△ABC的( B ) A 外心 B 内心 C 重心 点拨:由已知条件可得

D

垂心

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? aOA ? b OA+ AB ? c OA+ AC ? 0 ??? ? ??? ? ???? (a ? b ? c)OA ? ? bAB ? c AC ??? ? ??? ? ??? ? 同理可得 (a ? b ? c)OB ? ? bBA ? cBC ???? ??? ? ??? ? (a ? b ? c)OC ? ? bCA ? cCB

?

? ? ? ? ?

?

?

? ?

则O点一定是△ABC的内心

例5、已知非零向量 AB 与 AC 满足 (
AB AC 1 ? )? 且( 2 AB AC

AB AB

?

AC AC

) ? BC ? 0

,则△ABC为(

D)

A 三边均不相等的三角形 C等腰非等边三角形

B直角三角形 D等边三角形

点拨:从

(

AB AB

?

AC AC

) ? BC ? 0

可知 ?BAC 的平分线垂

AB AC 1 ? )? 直对边BC,故△ABC为等腰三角形;从 ( 2 AB AC

1 可知cosA= ,所以?A =60°, 2
故△ABC为等边三角形。

四心逐个突破
例6、已知O是平面上一点,A、B、C是平面上不共线 的三个点,点O满足
? ? ? ? ? ? ? AB AC ? ? BA BC ? ? CA AC ? OA ? ? ? ? ? ? ? OB ? ? ? ? OC ? ? ??0 ? AB AC ? ? BA BC ? ? CA CB ? ? ? ? ? ? ?

则O点一定是△ABC的( B ) A 外心 B 内心 C 重心

D

垂心

则O点一定是△ABC的内心

例7、已知O为⊿ABC所在平面内一点,且满足:
??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ?2 | OA | ? | BC | ?| OB | ? | CA | ?| OC | ? | AB | .

问:O是△ABC的____心。
??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? 证:设 OA ? a, OB ? b, OC ? c, 则: BC ? c ? b, CA ? a ? b, AB ? b ? a.

??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ?2 由题设 :| OA | ? | BC | ?| OB | ? | CA | ?| OC | ? | AB | . ? 2 ? ? 2 ?2 ? ? 2 ?2 ? ? 2 化简:a ? (c ? b) ? b ? (a ? c) ? c ? (b ? a)
??? ? ???? ? ? ? 从而 AB ? OC ? (b ? a ) ? c ? ? ? ? ? b ? c ? a ? c ? 0,

? ? ? ? ? ? 得: c ?b ? a ? c ? b ? a

A
O B C

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 同理: BC ? OA, CA ? OB.

??? ? ??? ? ? AB ? OC.

垂心

小结
1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素, 将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何元素。 简述:几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化

2.利用向量解决物理问题的基本步骤: ①问题转化,即把物理问题转化为数学问题; ②建立模型,即建立以向量为载体的数学模型; ③求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等; ④回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题. 3.用向量知识解决几何及物理问题时,一般有两个角度,即: 非坐标角度和坐标角度。


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