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数学:1.7.1《定积分的简单应用》课件(新人教A版选修2-2)


1.7.1

定积分在几何中的应用

问题提出
b

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.定积分 ?a f ( x)dx 的含义及其几何意 义分别是什么 n b b?a f ( x)dx ? lim ? f (?i ) ?a n ?? n i ?1

r />y
y=f(x)

f ( x) ? 0

O

a

b x

f ( x) ? 0

?

b

a

f ( x)dx

2.微积分基本定理是什么?

如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数, 并且 F ?( x) ? f ( x) ,则

?

b

a

f ( x)dx ? ? F ?( x)dx ? F (b) ? F (a)
a

b

3.用定积分可以表示曲边梯形的面 积,微积分基本定理为定积分的计算提 供了一种有效快捷的方法,二者强强联 合,可以解决平面几何中曲边图形的面 积问题.
在用定积分求曲边图形的面积时, 我们将碰到什么问题呢?具体应该 怎样解决?

定积分在几何中

的应用

探究(一 )曲线 y =x与y= x 所围成图 形的面积 2 2 思考1:曲线 y =x与y=x 所围成的图 形是什么?怎样用定积分求其面积?
y y=x2 y2=x

2

2

O

x

思考2:被积函数分别是什么?积分区间 是什么?
y
y=x2 1 O y2=x

(1,1)
1
x

(0,0)

思考3:解题过程怎样表述?
y y=x2 y2=x

1 O

C

B

D A 1

x

S=S曲边梯形OABC-S曲边梯形OABD.

??

1

0

2 1 31 1 xdx ? x dx ? x | ? x |0 ? 0 3 3 3

?

1

2

3 2 1 0

? 通过这道题我们进一步明白了利用定积分可 以求曲边图形的面积。其基本步骤是:

1,画出草图,明确面积(常有化归过程)
关系,确定被积函数 f ( x)

2,明确交点坐标.同时确定积分区间

3,积分表示,定理求值
另外: 曲边应该是函数图象的一部分。

f ( x) ? 0
若 f ( x) ? 0,那么应该怎么办?

y y=x2 1 O C B D A 1 1.5 x y2=x

S??

1

0

xdx ? ? x dx ? ? ( x ? x )dx
2 2 0 0

1

1

你联想到什么?

结论
所谓“上减下” 确定被积函数
a

y y=f(x)

b
y=g(x)

x

阴影部分面积为

?

b

a

( f ( x) ? g ( x))dx

探究(二):直线y=x-4与曲线 y =

2x

及x轴所围成图形的面积 思考1:直线y=x-4与曲线 y = 2x 及 x轴所围成的图形是什么?怎么求其面积?
y 换变量怎么样?y=x-4

A
M

y=
E

2x

B

O

D

x

思考2:你能给出求解过程吗?

S=S曲边梯形OABC-S三角形ABD.
??
8 0

2 xdx ? ? ( x ? 4)dx
4

8

2 2 1 40 ? x | ? ? 4? 4 ? 3 2 3

3 2 8 0

y 4 C
M

y=x-4
B A

y=

2x

O

D 4

8

x

S=S曲边梯形ODM+S曲边三角形DMB

??

4

0

2 xdx ? ? ( 2 x ? x ? 4)dx
4

8

1 y 练习: 计算由直线y=2-x, = - x 3

和曲线 y =
y

x 所围成的平面图形的面积. y=
2 3 x A

y=2-x 1 B

x
13 S = 6

O -1

1

? 利用定积分求曲边图形的面积。其基本步骤 是:

1,画出草图,明确面积(常有化归过程)
关系,确定被积函数 f ( x)

2,明确交点坐标.同时确定积分的区间

3,积分表示,定理求值 另外: 确定被积函数可以 “上减下”

作业: P58练习:(1),(2). P60习题1.7B组:1,2.

课外练习 如图,直线y=kx将抛物线 y=x-x2与x轴所围成的平面图形分成 面积相等的两部分,求实数k的值.
y y=x-x2 y=kx

k = 1-

3

1 2

1
O 1-k x


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