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复变函数试题库


《复变函数论》试题库

梅一 A111
《复变函数》考试试题(一)

lim f ( z ) ? ___ z f ( z ) z ? z0 0 10.若 是 的极点,则 .
三.计算题(40 分) :

1、

dz ?|z ? z0 |?1 ( z ? z0 ) n ? __________.( n 为自然数)
_________.

2.

sin2 z ? cos2 z ?

f ( z) ?
1. 设 罗朗展式.

1 ( z ? 1)( z ? 2) ,求 f ( z ) 在 D ? {z : 0 ?| z |? 1} 内的

3.函数 sin z 的周期为___________.

f ( z) ?
4.设
?

1 z ? 1 ,则 f ( z ) 的孤立奇点有__________.
2
n

2.

1 ?|z|?1 cos z dz.
f ( z) ? ?
C

3. 设 的收敛半径为__________.

3?2 ? 7? ? 1 d? ??z ,其中

C ? {z :| z |? 3} ,试求 f ' (1 ? i).

5.幂级数

? nz
n ?0

w?
4. 求复数

6.若函数 f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.

z ?1 z ? 1 的实部与虚部.

z ? z ? ... ? zn lim 1 2 ? lim zn ? ? n ? ? n 7.若 n ? ? ,则 ______________.
ez Re s( n ,0) ? z 8. ________,其中 n 为自然数.
9.

四. 证明题.(20 分) 1. 函数

f ( z ) 在区域 D 内解析. 证明:如果| f ( z ) | 在 D 内为常数,那么它在 D
f ( z ) ? z (1 ? z )
在割去线段 0 ?

内为常数. 2. 试证:

Re z ? 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分

sin z 的孤立奇点为________ . z

支, 并求出支割线 0 ? Re z

? 1 上岸取正值的那支在 z ? ?1 的值.
《复变函数》考试试题(二)

二.

填空题. (20 分)

1

1. 设

z ? ?i ,则| z |? __, arg z ? __, z ? __


1. 求函数 , 则

sin(2 z 3 ) 的幂级数展开式.

2.

f ( z ) ? ( x 2 ? 2 xy) ? i(1 ? sin(x 2 ? y 2 ), ?z ? x ? iy ? C

2.

在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数

z 在正实轴取正实值的一个

z ?1? i

lim f ( z ) ? ________.

解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点

z ? i 处的值.

3.

dz ?|z ? z0 |?1 ( z ? z0 ) n ? _________.( n 为自然数)

3. 计算积分:

I ? ? | z | dz ,积分路径为(1)单位圆(| z |? 1)的右半圆.
?i

i

4. 幂级数

? nz
n ?0

?

n

的收敛半径为__________ . 4. 求

?

sin z
z ?2

(z ? ) 2

?

dz
2
.

5. 若 z0 是 f(z)的 m 阶零点且 m>0,则 z0 是 6. 函数 e 的周期为__________.
z

f ' ( z ) 的_____零点.

四. 证明题. (20 分) 1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析,试证:f(z)在 D 内为常数的充要条件是

f ( z ) 在 D 内解析.

7. 方程 2 z

5

? z ? 3z ? 8 ? 0 在单位圆内的零点个数为________.
3

2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 《复变函数》考试试题(三) 二. 填空题. (20 分) 1. 设

8. 设

f ( z) ?

1 1 ? z2

,则

f ( z ) 的孤立奇点有_________.

9. 函数

f ( z) ?| z | 的不解析点之集为________.

f ( z) ?

10.

z ?1 Res( 4 ,1) ? ____ . z

1 ,则 f(z)的定义域为___________. z ?1
2

2. 函数 ez 的周期为_________. 3. 若 zn

?

n?2 1 ? i(1 ? ) n ,则 lim z n ? __________. n?? 1? n n

三. 计算题. (40 分) 4.

sin2 z ? cos2 z ? ___________.

2

5.

dz ?|z ? z0 |?1 ( z ? z0 ) n ? _________.( n 为自然数)

3.

e z dz 算下列积分: ?C z 2 ( z 2 ? 9) ,其中 C 是| z |? 1.
z 9 ? 2 z 6 ? z 2 ? 8z ? 2 ? 0 在|z|<1 内根的个数.

6. 幂级数

? nx
n ?0

?

n

的收敛半径为__________. 4. 求

7. 设

1 f ( z) ? 2 ,则 f(z)的孤立奇点有__________. z ?1

四. 证明题. (20 分) 1. 函数 内为常数. 2. 设

f ( z ) 在区域 D 内解析. 证明:如果 | f ( z ) | 在 D 内为常数,那么它在 D

8. 设

e z ? ?1,则 z ? ___ .

9. 若

z0 是 f ( z ) 的极点,则 lim f ( z ) ? ___ .
z ? z0

f ( z ) 是一整函数,并且假定存在着一个正整数 n,以及两个正数 R 及 M,使得当

| z |? R 时

10.

ez Res ( n ,0) ? ____ . z
f ( z) ? z e
??
1 2 z 在圆环域

| f ( z) |? M | z |n ,
证明

三. 计算题. (40 分) 1. 将函数

f ( z ) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题(四)

0 ? z ? ? 内展为 Laurent 级数.
二. 填空题. (20 分)

2.

n! n 试求幂级数 z 的收敛半径. ? n n? n

1. 设

z?

1 ,则 Re z ? __, Im z ? ___ . 1? i

3

2. 若 lim

n ??

zn ? ?

,则 lim

z1 ? z2 ? ... ? zn ? ______________. n ?? n
的幂级数展开式为__________

3.

3. 函数 ez 的周期为__________. 4. 函数

z ?|z|?2 (9 ? z 2 )( z ? i) dz.
z

.

f ( z) ?

1 1 ? z2

5. 若函数 f(z)在复平面上处处解析,则称它是___________. 6. 若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析,则称它是 D 内的_____________.

4. 函数

1 1 ? f ( z) ? e ? 1 z 有哪些奇点?各属何类型(若是极点,指明它的阶数).

四. 证明题. (20 分)

7. 设

C :| z |? 1,则 ? ( z ? 1)dz ? ___ .
C

1.

证明:若函数
4

f ( z ) 在上半平面解析,则函数 f ( z ) 在下半平面解析.

8.

9.

sin z 的孤立奇点为________. z 若 z 是 f ( z ) 的极点,则 lim f ( z ) ? ___ . 0
z ? z0

2. 证明 z

? 6 z ? 3 ? 0 方程在 1 ?| z |? 2 内仅有 3 个根.

《复变函数》考试试题(五)

10. 三.

ez Res( n ,0) ? _____________. z
计算题. (40 分)
3

二. 填空题.(20 分) 1. 设

z ? 1 ? 3i ,则 | z |? __, arg z ? __, z ? __ .

1. 解方程 z

?1 ? 0

.

2. 当

z ? ___ 时, e z 为实数.
e z ? ?1,则 z ? ___ .

2. 设

ez f ( z) ? 2 ,求 Re s ( f ( z ), ?). z ?1

3. 设

4.

e z 的周期为___.

4

5. 设

C :| z |? 1,则 ? ( z ? 1)dz ? ___ .
C

在这里 L 表示连接原点到 1 ? i 的直线段. 求积分: I

3.

6.

ez ?1 Res( ,0) ? ____ . z
1 f ( z) ? 1 ? z2
的幂级数展开式为_________.

4.

d? ?0 1 ? 2a cos? ? a 2 ,其中 0<a<1. 应 用 儒 歇 定 理 求 方 程 z ? ? ( z ) , 在 |z|<1 内 根 的 个 数 , 在 这 里 ? ( z ) 在
?
2?

7. 若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析,则称它是 D 内的_____________。 8. 函数

| z |? 1上解析,并且| ? ( z ) |? 1 .
四. 证明题. (20 分) 1. 证明函数

9.

sin z 的孤立奇点为________. z
设 C 是以为 a 心,r 为半径的圆周,则

f ( z) ?| z |2 除去在 z ? 0 外,处处不可微.

2.



f ( z ) 是一整函数,并且假定存在着一个正整数 n ,以及两个数 R 及 M,使得当

10.

1 ?C ( z ? a)n dz ? ___ .( n 为自然

| z |? R 时

数) 三. 计算题. (40 分)

| f ( z) |? M | z |n ,
证明:

1. 求复数

z ?1 z ?1

f ( z ) 是一个至多 n 次的多项式或一常数.
《复变函数》考试试题(六)

的实部与虚部.

2. 计算积分:

1.

I ? ? Re zdz ,
L

一、 填空题(20 分) 1. 若 zn

?

n?2 1 ? i(1 ? )n ,则 lim zn ? ___________. 1? n n

5

2. 3. 4.



f ( z) ?

1 ,则 f ( z ) 的定义域为____________________________. z ?1
2

3、设

f ( z) ?

函数 sin

z 的周期为_______________________.

ez ,求 Re s( f ( z ), i ) . z2 ?1
在0 ?

sin 2 z ? cos2 z ? _______________________.
幂级数

5.

? nz
n ?0

??

sin z 3 4、求函数 z6
5、求复数 w ?
? i 3

z ? ? 内的罗朗展式.

n

的收敛半径为________________.

z ?1 的实部与虚部. z ?1

6.

若 z0 是 若函数

f ( z ) 的 m 阶零点且 m ? 1,则 z0 是 f ?( z ) 的____________零点.

?

6、求 e

的值.

7.

f ( z ) 在整个复平面处处解析,则称它是______________.
的不解析点之集为__________.

三、 证明题(20 分) 1、 方程 z
7

8.

函数

f ( z) ? z
5 3

? 9 z 6 ? 6 z 3 ? 1 ? 0 在单位圆内的根的个数为 6.
则 f ( z) 在 f ( z ) ? u( x, y) ? iv( x, y) 在区域 D 内解析,v( x, y) 等于常数,

2、 若函数 9. 方程 2 z 公式 e
ix

? z ? 3z ? 8 ? 0 在单位圆内的零点个数为___________.

D 恒等于常数.
3、 若 z 0 是

10.

? cos x ? i sin x 称为_____________________.

f ( z ) 的 m 阶零点,则 z0 是

二、 计算题(30 分)

1 的 m 阶极点. f ( z)

? 2?i ? 1、 lim ? ? n ?? ? 6 ?
2、设

n

.

3? 2 ? 7? ? 1 f ( z) ? ? d ? ,其中 C ? ? z : z ? 3? ,试求 f ?(1 ? i) . C ??z

6.计算下列积分. (8分)

(1)

? ?

sin z (z ? ) 2

z ?2

?

dz ;
2

(2)

z2 ? 2 ? ? z ?4 z 2 ( z ? 3) dz .

6

7.计算积分

?

2?

0

d? 5 ? 3cos ?

. (6分)

f ( z) ?
( n !) 2 n z . ? n n ?1 n
2

8.求下列幂级数的收敛半径. (6分)

(1)

? (1 ? i)n z n
n ?1
3

?

?

? 1 ? z 1 1 1 ? ? z n ? ? ( )n ? ? 2 n ?0 2 ( z ? 1)( z ? 2) 1 ? z 2(1 ? z ) n ?0 2

.



(2)

2. 解 因为

9.设

f ( z ) ? my ? nx y ? i( x ? lxy ) 为复平面上的解析函数,试确定 l , m , n 的
2 3

Re s f ( z ) ? lim
z?

z?

?
2

?

值. (6分) 三、证明题. 1.设函数 (5分) f ( z ) 在区域 D 内解析, f ( z ) 在区域 D 内也解析,证明 f ( z ) 必为常数. (5分) ? b ? 0 的轨迹是一直线,其中 a 为复常数, b 为实常数. 试卷一至十四参考答案

2

z?

?

2

2 ? lim 1 ? ?1 , cos z z ?? ? sin z z?

?
2

Re s f ( z ) ? lim
z ??

?

2.试证明 az ? az

2

z ??

?
2

2 ? lim 1 ? 1 . cos z z ?? ? ? sin z

所以 《复变函数》考试试题(一)参考答案 二.填空题

?

z ?2

1 dz ? 2? i (Re s f ( z ) ? Re s f ( z ) ? 0 . ? ? cos z z ?? z?
2 2

1.

?2? i n ? 1 ? ? 0 n ?1
7.

3. 解 令 ? (? ) ; 2. 1; 3.

? 3? 2 ? 7? ? 1 ,

则它在 z 平面解析, 由柯西公式有在

z ? 3 内,

2k?

, (k ? z ) ;

4.

z ? ?i ;

5. 1

f ( z) ? ?
所以 4. 解 令 z

? (? ) dz ? 2? i? ( z ) . c??z
.

6. 整函数;

?;

8.

1 ; ( n ? 1)!

9. 0;

10.

?.

f ?(1 ? i) ? 2? i ? ?( z) z ?1?i ? 2? i(13 ? 6 i) ? 2 ?( ?6 ?13 i)

? a ? bi ,



三.计算题. 1. 解 因为 0 ?

z ? 1,

所以 0 ?

z ?1

w?

z ?1 2 2(a ? 1 ? bi) 2(a ? 1) 2b ? 1? ? 1? ? 1? ? 2 2 2 2 z ?1 z ?1 (a ? 1) ? b (a ? 1) ? b (a ? 1)2 ? b 2

.

7



Re(

z ?1 2(a ? 1) z ?1 2b , Im( ) ? 1? )? 2 2 z ?1 (a ? 1) ? b z ? 1 (a ? 1) 2 ? b 2

点就不可能单绕 0 或 1 转一周, 故能分出两个单值解析分支. . 由于当 z 从支割线上岸一点出发,连续变动到 z

? 0,1

时, 只有 z 的幅角增加

?.

所以

四. 证明题. 1. 证明 设在 D 内

f ( z ) ? z (1 ? z ) f ( z) ? C .
2 2 2 2

的幅角共增加

? 2

. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该



f ( z ) ? u ? iv, 则 f ( z ) ? u ? v ? c

.

分支在上岸之幅角为 0, 因而此分支在 z

? ?1 的幅角为

? , 2



f (?1) ? 2e 2 ? 2i .

?

i

两边分别对 x, y 求偏导数, 得

? uu x ? vvx ? 0 ? ?uu y ? vv y ? 0

(1) (2)
《复变函数》考试试题(二)参考答案

因为函数在 D 内解析, 所以 u x

? v y , u y ? ?v x .
2 2

代入 (2) 则上述方程组变为 二. 填空题

?uu x ? vvx ? 0 . ? ?vu x ? uvx ? 0
1) 若u
2

消去 u x 得,

(u ? v )vx ? 0 .
为常数.

1.1,?

? 2

,i;

2.

3 ? (1 ? sin 2)i ;
7. 0; 8.

3.

? v2 ? 0 ,
? 0,



f ( z) ? 0

?2? i n ? 1 ; ? ? 0 n ?1
9.

4. 1;

5.

m ?1 .
10. 0.

6. 2) 所以 u 若 vx 由方程 (1) (2) 及 ( c1 , c2 为常数).

2k? i , (k ? z) .

?i ;

R;

C. ? R. 方程有 ux ? 0, u y ? 0 , v y ? 0 .

三. 计算题

? c1 , v ? c2 .

1. 解

所以

f ( z ) ? c1 ? ic2 为常数.
f ( z ) ? z (1 ? z ) 的支点为 z ? 0,1 .
于是割去线段 0 ? Re z

(?1) n (2 z 3 ) 2 n ?1 ? (?1) n 22 n ?1 z 6 n ?3 sin(2 z ) ? ? ?? . (2n ? 1)! (2n ? 1)! n ?0 n ?0
3 ?

2. 解 令 z

? rei? .

2. 证明

? 1 的 z 平面内变

8



f ( z) ? z ? re
i

i

? ? 2 k?
2

,

(k ? 0,1) .
? 0.







f ( z ) ? a0 z n ? a1 z n?1 ? ??? ? an ?1 z ? an ? 0

,



又因为在正实轴去正实值,所以 k 所以

f (i) ? e 4

?

.

? ? a ? ??? ? an ? ? R ? max ? 1 ,1? , 当 z 在 C : z ? R 上 时 a0 ? ? ? ? n ?1 ? ( z ) ? a1 R ? ??? ? an?1 R ? an ? ( a1 ? ??? ? an ) R n?1 ? a0 R n .

,



3. 单位圆的右半圆周为 z
?

? ei? , ?

?
2
?
2 ?

?? ?

?
2

. 由儒歇定理知在圆

? f ( z)
z ?R
a0 z n ? 0

.

内, 方程

a0 z n ? a 1z n ?1 ? ??? ? an ? z 1 ? an ? 0



所以

?

i

?i

z dz ? ? 2? dei? ? ei?
? 2

?
2

? 2i .

有相

同个数的根 . 而

a0 z n ? 0



z ?R

内有一个

n

重根

z ?0.

因此

n 次方程在

4. 解

z ?R

内有 n 个根.

?

sin z
z ?2

(z ? ) 2

?

2

dz ? 2?i (sin z )?

z?

? ? 2?i cos z
2

z?

?
2
=0. 二.填空题. 1.

《复变函数》考试试题(三)参考答案

四. 证明题. 1. 证明 (必要性) 令 令 u ( x,

f ( z ) ? c1 ? ic2 ,则 f ( z ) ? c1 ? ic2 . ( c1 , c2 为实常数).
则 ux

? z z ? ? i, 且z ? C? ;
7.

2.

2k? i (k ? z ) ;

3.

?1 ? ei

;

4. 1;

5.

y) ? c1 , v( x, y) ? ?c2 .

? v y ? u y ? vx ? 0 .

即 u, v 满足 C. ? R. , 且 u x , v y , u y , vx 连续, 故 (充分性) 令 因为

f ( z ) 在 D 内解析.

?2? i n ? 1 ; ? ? 0 n ?1
6. 1;

f ( z) ? u ? iv ,



f ( z ) ? u ? iv ,

?i ;

8.

z ? (2k ? 1)? i ;

9.

?;

10.

f ( z ) 与 f ( z ) 在 D 内解析, 所以 u x ? v y , u y ? ? v x , 且 u x ? ( ?v ) y ? ? v y , u y ? ?( ?v x ) ? ? v x .
比较等式两边得 常数. 2. 即要证“任一 有

1 . ( n ? 1)!
三. 计算题. 1. 解
? 1 1 z ? n?2 z e ? z 2 (1 ? ? ? ??? ) ? ? z 2! z 2 n?0 n ! 1 2 z

u x ? v y ? u y ? vx ? 0 .
n
次方程

从而在 D 内 u, v 均为常数,故

f ( z ) 在 D 内为
有且只

.

n 个根”.

a0 z n ? a1 z n ?1 ? ??? ? an?1 z ? an ? 0

(a0 ? 0)

9

n ?1 cn n ! (n ? 1) n? 1 1 n ? l i mn ? ? lim( n ?) l? i m (1 ?e.) n ?? c n ?? n n ?? n ?? ( n ? 1) ! n n n ?1 所以收敛半径为 e . ez 1 ez ?? . 3. 解 令 f ( z ) ? 2 2 , 则 Re s f ( z ) ? 2 z ? 0 z ? 9 z ?0 9 z ( z ? 9)

2. 解

lim

2) 所以 u

若 vx

? 0,

由方程 (1) (2) 及 ( c1 , c2 为常数).

C. ? R. 方程有 ux ? 0, u y ? 0 , v y ? 0 .

? c1 , v ? c2 .

所以

f ( z ) ? c1 ? ic2 为常数.
证 明 取 正 整 数

故原式 ? 4.

2? i . 9 9 6 2 解 令 f ( z ) ? z ? 2 z ? z ? 2 , ? ( z ) ? ?8 z . 则在 C : z ? 1 上 f ( z )与? ( z ) 均解析, 且 f ( z ) ? 6 ? ? ( z ) ? 8 , 2? i Re s f ( z ) ? ?
z ?0

2.

故由儒歇定

理有

N ( f ? ? , C )? N ( ? f ? ,C ? )
四. 证明题. 1. 证明 证明 设在 D 内

. 1 即在

z ?1

r?R , 则 对 一 切 k! f ( z) k ! Mr n f ( k ) (0) ? dz ? . 2? ? z ? r z k ?1 rk (k ) 于是由 r 的任意性知对一切 k ? n 均有 f (0) ? 0 .


k ?n



,

内, 方程只有一个根.

f ( z ) ? ? cn zn ,
k ?0

n



f ( z ) 是一个至多 n 次多项式或常数.

f ( z) ? C .
2

《复变函数》考试试题(四)参考答案 . 二. 填空题.



f ( z ) ? u ? iv, 则 f ( z ) ? u 2 ? v 2 ? c 2 .

两边分别对 x, y 求偏导数, 得

? uu x ? vvx ? 0 ? ?uu y ? vv y ? 0

(1) (2)

1.

1 2

,

1 2

;

2.

?

;

3.

2k? i

(k ? z ) ;

4.

? (?1) z
n ?0

?

n 2n

( z ? 1) ;

5.

整函数; 6. 亚纯函数; 7. 0; 8.

因为函数在 D 内解析, 所以 u x

? v y , u y ? ?v x .

z ? 0;

9.

?;

10.

代入 (2) 则上述方程组变为 三. 计算题. 1.

1 . ( n ? 1)!

?uu x ? vvx ? 0 . ? ?vu x ? uvx ? 0
1)

消去 u x 得,

(u 2 ? v 2 )vx ? 0 .
为常数.

u 2 ? v2 ? 0 ,



f ( z) ? 0

10

解 : z 3 ? ?1 ? z ? cos

2k? ? ? 2k? ? ? ? i sin 3 3 ? ? 1 3 z1 ? cos ? i sin ? ? i 3 3 2 2 z 2 ? cos? ? i sin ? ? ?1 z 3 ? cos

k ? 0,1,2

极点. 四. 证明题. 1. 证明 设 F ( z )

? f (z ) ,

在下半平面内任取一点 z 0 ,

z 是下半平面内异于 z0 的点,
.

考虑

z ? z0

lim
,

F ( z ) ? F ( z0 ) f ( z ) ? f ( z0 ) f ( z ) ? f ( z0 ) ? lim ? lim z ? z0 z ? z0 z ? z0 z ? z0 z ? z0

2. 解

5? 5? 1 3 ? i sin ? ? i 3 3 2 2 ez e ez e ?1 Re s f ( z ) ? ? , Re s f ( z ) ? ? . z ?1 z ? 1 z ?1 2 z ??1 z ? 1 z ??1 ?2
2? i (Re s f ( z ) ? Re s f ( z )) ? ? i(e ? e ?1 ) .
z ?1 z ??1



z0

z

在上半平面内, 已知

f ( z) 在 上 半 平 面 解 析 ,

因此

F ?( z0 ) ? f ?( z0 )

, 从而

F ( z ) ? f ( z )在下半平面内解析.

f ( z ) ? ?6 z ? 3 , ? ( z ) ? z 4 , 则 f ( z ) 与 ? ( z ) 在全平面解析, 且在 C1 : z ? 2 上, f ( z ) ? 15 ? ? ( z ) ? 16 ,
2. 证明 令 故在

故原式 ? 3. 解 原式 ?

z ? 2 内 N ( f ? ? , C1 ) ? N (? , C1 ) ? 4 .

2? i Re s f ( z ) ? 2? i
z ?? i

z 9 ? z2

?
z ?? i

?
5

.

在 C2 故在

: z ? 1 上, f ( z ) ? 3 ? ? ( z) ? 1 ,
即原方程在 1 ?

z ? 1 内 N ( f ? ? , C2 ) ? N ( f , C2 ) ? 1 .

1 1 ? z z 4. 解 e ? 1 k ? ?1,?2,?

=

z ? e ?1 z (e z ? 1)
z

,令

z (e ? 1) ? 0
z

,得

z ? 0, z ? 2k?i

所以 ,

f ? ? 在 1 ? z ? 2 内仅有三个零点,

z ? 2 内仅有三个根.

lim (

z ?0

1 1 z ? ez ?1 1? ez ? ) ? lim ? lim z ?0 (e z ? 1) z z ?0 e z ? 1 ? ze z ez ?1 z
z

《复变函数》考试试题(五)参考答案 一. 判断题. 1.√2.√ 3.×4.√5.× 6.× 7.× 8.√ 二. 填空题. 1.2, 3.

?e 1 ? lim z ?? z ?0 e ? e z ? ze z 2
当z

9.√ 10.√.

? z ? 0 为可去奇点

z ? 2k?i 时, (k ? 0), z ? e ? 1 ? 0

? , 1 ? 3i ; 3 (2k ? 1)? i , (k ? z) ;
?
8.

2.

a ? 2k? i
4.

(k ? z, a为任意实数) ;
5. 0; ; 9. 0; 6. 0; 10.

2k? i,(k ? z ) ;
( z ? 1)

?(e


z

? 1) z

?? z ? 2k?i ? e

z

? 1 ? ze z

z ? 2k?i

?0

? z ? 2k?i 为一阶

7. 亚 纯 函 数 ;

? (?1) z
n ?0

?

n 2n

11

?2? i n ? 1 . ? ? 0 n ?1
三. 计算题. 1. 解 令 z

? ( z) ? 1 ? f ( z) ,
所以在 则

z ? 1 内, N ( f ? ? , C ) ? N ( f , C ) ? 1 ,

即原方程在

z ? 1 内只有一个根.

? a ? bi ,

四. 证明题. 1. 证明 因为 u ( x, 这四个偏导数在

y) ? x 2 ? y 2 , v( x, y) ? 0 ,

故 ux

? 2 x, u y ? 2 y, vx ? v y ? 0 .


w?

z ?1 2 2(a ? 1 ? bi) 2(a ? 1) 2b ? 1? ? 1? ? 1? ? 2 2 2 2 z ?1 z ?1 (a ? 1) ? b (a ? 1) ? b (a ? 1)2 ? b 2 Re(

z 平面上处处连续,

但只在

z ? 0 处满足 C. ? R. 条件,
整 数

f ( z ) 只在除了
时 ,

.

z ? 0 外处处不可微.
2. 证 明 取

z ?1 2(a ? 1) z ?1 2b , Im( . ) ? 1? )? 2 2 z ?1 (a ? 1) ? b z ? 1 (a ? 1) 2 ? b 2 2. 解 连接原点及 1 ? i 的直线段的参数方程为 z ? (1 ? i )t 0 ? t ?1, 1 1 1? i 故 Re zdz ? ?Re[(1 ? i )t ]?(1 ? i )dt ? (1 ? i ) tdt ? . ?c ?0 ?0 2 dz i? 3. 令 z ? e , 则 d? ? . 当a ? 0时 iz ( z ? a)(1 ? az ) , 1 ? 2a cos? ? a 2 ? 1 ? a( z ? z ?1 ) ? a 2 ? z 1 dz 1 故I ? , 且在圆 z ? 1 内 f ( z ) ? 只以 z ? a ? z ? 1 i ( z ? a)(1 ? az ) ( z ? a)(1 ? az ) 1 1 ? , (0 ? a ? 1) , 为一级极点 , 在 z ? 1 上无奇点 , 故 Re s f ( z ) ? z ?a 1 ? az z ? a 1 ? a 2
故 由残数定理有

r?R , 则 对 一 切 正 k! f ( z) k ! Mr n f ( k ) (0) ? dz ? . 2? ? z ? r z k ?1 rk (k ) (0) ? 0 . 于是由 r 的任意性知对一切 k ? n 均有 f


k ?n

f ( z ) ? ? cn zn ,
k ?0

n



f ( z ) 是一个至多 n 次多项式或常数.

《复变函数》考试试题(六)参考答案 二、填空题:1. 6. 三、计算题:

?1 ? ei m ?1 阶

2.

z ? ?1
8.

3.

2?

4. 1 9. 0 10.

5.

1

7. 整函数

?

欧拉公式

1.

解:因为

2?i 1 1 5 ? ? ? ? 1, 6 9 36 6

1 2? I ? 2? i Re s f ( z ) ? , (0 ? a ? 1) . z ?a i 1 ? a2 4. 解 令 f ( z ) ? ? z , 则 f ( z ), ? ( z ) 在 z ? 1

故 lim(
n ??

2?i n ) ? 0. 6
? 2 ? 3,

内解析, 且在

C : z ?1

上,

2. 解:? 1 ? i

12

? f ( z) ?
??
因此

1 f (? ) d? ? C 2? i ? ? z
3? 2 ? 7? ? 1 d ?. C ??z
1)

x2 ? y 2 ? 1 ? Re w ? , ( x ? 1) 2 ? y 2
6.解: e
? i 3

Im w ?

2y . ( x ? 1) 2 ? y 2

?

f (? ) ? 2 ? i (? 32 ? ? 7?

? ? 1 ? cos(? ) ? i sin(? ) ? (1 ? 3i). 3 3 2
f ( z ) ? 9 z 6 , ? ( z ) ? z 7 ? 6 z 3 ? 1,
即有

四、1. 证明:设 故

f ( z ) ? 2? i(3z 2 ? 7 z ? 1)
则在

z ? 1 上, f ( z ) ? 9, ? ( z ) ? 1 ? 6 ? 1 ? 8,
根据儒歇定理,

f ( z) ? ? ( z)

.

f ?(1 ? i ) ? 2? i (6 z ? 7) 1?i ? 2? i(13 ? 6i) ? 2? ( ?6 ? 13i) .

f ( z ) 与 f ( z ) ? ? ( z) 在单位圆内有相同个数的零点,而 f ( z ) 的零点

e
3.解:
2

z

z ?1

?

e 1 1 ?( ? ) 2 z ?i z ?i

z

个数为 6,故 z

7

? 9 z 6 ? 6 z 3 ? 1 ? 0 在单位圆内的根的个数为 6. y) ? a ? bi ,则 vx ? v y ? 0 ,
ux ? vy ? 0 ,
由于

2.证明:设 v( x,

f ( z) ? u ? iv 在内 D 解析,

? Re s ( f ( z ), i ) ?
z3 ? ?
3 ?

e . 2

i

因此 ?( x, 于是 u ( x,

y) ? D 有

u y ? ?vx ? 0 .

4.解: sin

(?1) n ( z 3 ) 2 n ?1 , (2n ? 1)! n ?0
? n

y) ? c ? di 故 f ( z ) ? (a ? c) ? (b ? d )i ,即 f ( z ) 在内 D 恒为常数.
f ( z ) 的 m 阶零点,从而可设
f ( z ) ? ( z ? z0 ) m g ( z ) ,

?

sin z (?1) ?? z 6 n ?3 . 6 z n ? 0 (2n ? 1)!

3.证明:由于 z 0 是

5.解:设 z

? x ? iy ,

则w

?

z ? 1 x ? 1 ? iy ( x 2 ? y 2 ? 1) ? 2 yi ? ? . z ? 1 z ? 1 ? iy ( x ? 1) 2 ? y 2

其中 g ( z ) 在 z 0 的某邻域内解析且 g ( z0 )

?0,

13

于是

1 1 1 ? ? m f ( z ) ( z ? z0 ) g ( z )



g ( z0 ) ? 0 可知存在 z0 的某邻域 D1 ,在 D1 内恒有 g ( z ) ? 0 ,因此

1 在内 D1 解 g ( z)

析,故 z 0 为

1 的 m 阶极点. f ( z)

14


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