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重庆一中2015届高三上学期期中数学试卷(文科)


重庆一中 2015 届高三上学期期中数学试卷(文科)
一、选择题(每题 5 分,共 10 题) 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5,6},A={2,3,6},则?UA=() A.{1,4,5} B.{2,3,6} C.{1,4,6} D.{4,5,6} 2. (5 分)函数 f(x)= A. B. C. 的定义域为() D.

(1)

求函数 g(x)的极值; (2)若 f(x)﹣g(x)在

重庆一中 2015 届高三上学期期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每题 5 分,共 10 题) 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5,6},A={2,3,6},则?UA=() A.{1,4,5} B.{2,3,6} C.{1,4,6} D.{4,5,6} 考点: 专题: 分析: 解答: 补集及其运算. 集合. 由全集 U 及 A,求出 A 的补集即可. 解:∵全集 U={1,2,3,4,5,6},A={2,3,6},

∴?UA={1,4,5}, 故选:A. 点评: 此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)函数 f(x)= A. B. C. 的定义域为() D.

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: x=4 满足条件 x>1,则执行 y=log24,从而求出最后的 y 值即可. 解答: 解:∵x=4 满足条件 x>1, ∴执行 y=log24=2. ∴输出结果为 2. 故选 C. 点评: 本题主要考查了条件结构,解题的关键是读懂程序框图.

4. (5 分)函数 y=sinxsin A. B. π

的最小正周期是() C.2π D.4π

考点: 二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 利用诱导公式、二倍角公式对已知函数进行化简,然后代入周期公式即可求解 解答: 解:∵y=sinxsin ∴T=π 故选 B 点评: 本题主要考查了诱导公式、 二倍角的正弦公式及周期公式的简单应用, 属于基础试 题 5. (5 分)直线 l1: (a﹣1)x+y﹣1=0 和 l2:3x+ay+2=0 垂直,则实数 a 的值为() A. B. C. D. =sinxcosx= sin2x

考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由已知得 3(a﹣1)+a=0,由此能求出结果. 解答: 解:∵直线 l1: (a﹣1)x+y﹣1=0 和 l2:3x+ay+2=0 垂直, ∴3(a﹣1)+a=0, 解得 a= . 故选:D. 点评: 本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线垂直 的性质的 合理运用. 6. (5 分)甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛,四人的平均成绩和方差 如下表: 甲 乙 丙 丁 平均成绩 86 89 89 85 2 方差 S 2.1 3.5 2.1 5.6 从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛,最佳人选是() A.甲 B. 乙 C. 丙 D.丁 考点: 极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: 直接由图表看出四人中乙和丙的平均成绩最好,然后看方差,方差小的发挥稳定. 解答: 解:乙,丙的平均成绩最好,且丙的方差小于乙的方差,丙的发挥较稳定, 故选 C.

点评: 本题考查方差和标准差,对于一组数据,通常要求的是这组数据的众数,中位数, 平均数,在平均数相差不大的前提下,方差越小说明数据越稳定,这样的问题可以出现在选 择题或填空题中.考查最基本的知识点. 7. (5 分)直线 x+y﹣2=0 与圆(x﹣1) +(y﹣2) =1 相交于 A,B 两点,则弦|AB|=() A. B. C. D.
2 2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 利用点到直线的距离公式可得:圆心到直线 x﹣y﹣1=0 的距离 d,即可得出弦长 |AB|. 解答: 解:由圆(x﹣1) +(y﹣2) =1,可得圆心 M(1,2) ,半径 r=1. ∴圆心到直线 x+y﹣2=0 的距离 d= = .
2 2

∴弦长|AB|=2

=2×

=



故选:D. 点评: 本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式,属于基础题. 8. (5 分)若某几何体的三视图 (单位:cm) 如图所示,则此几何体的体积是()cm
3

A.π 考点: 专题: 分析: 解答:

B . 2π

C.3π

D.4π

由三视图求面积、体积. 空间位置关系与距离. 由三视图可知:此几何体为圆锥的一半,即可得出. 解:由三视图可知:此几何体为圆锥的一半, =2π.

∴此几何体的体积=

故选:B. 点评: 本题考查了由三视图恢复原几何体的体积计算,属于基础题.

9. (5 分)设实数 x 和 y 满足约束条件

,且 z=ax+y 取得最小值的最优解仅为

点 A(1,2) ,则实数 a 的取值范围是() A. B. C. D.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 作出约束条件

所对应的可行域,变形目标函数可得 y=﹣ax+z,其中

直线斜率为﹣a,截距为 z,由题意可得﹣a<

,解不等式可得.

解答: 解:作出约束条件

所对应的可行域(如图阴影) ,

变形目标函数可得 y=﹣ax+z,其中直线斜率为﹣a,截距为 z, ∵z=ax+y 取得最小值的最优解仅为点 A(1,2) , ∴直线的斜率﹣a< , (﹣ 为直线 x+3y﹣7=0 的斜率)

解不等式可得 a> ,即实数 a 的取值范围为( ,+∞) 故选:C

点评: 本题考查简单线性规划,准确作图是解决问题的关键,属中档题. 10. (5 分)已知正数 a,b,c 满足 a+b=ab,a+b+c=abc,则 c 的取值范围是() A. B. C. D.

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由正数 a,b,c 满足 a+b=ab 利用基本不等式的性质可得 ab≥4.a+b+c=abc,化为 c (ab﹣1)=ab,即 .利用函数与不等式的性质即可得出. , .

解答: 解:∵正数 a,b,c 满足 a+b=ab≥ ∴ab≥4. ∴a+b+c=abc,化为 c(ab﹣1)=ab,即 ∴ .

故选:D. 点评: 本题考查了函数与不等式的性质、基本不等式的性质,属于基础题. 二、填空题(每题 5 分,共 5 题) 11. (5 分)命题“?x∈R,2 >0”的否定是?x∈R,2 ≤0. 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. x 解答: 解:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“?x∈R,2 >0”的否定是:?x∈R, x 2 ≤0. x 故答案为:?x∈R,2 ≤0. 点评: 本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查.
x x

12. (5 分)已知复数 z=(2+i) (x﹣i)为纯虚数,其中 i 为虚数单位,则实数 x 的值为﹣ .

考点: 复数的基本概念. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接由复数代数形式的乘法运算化简复数 z,又复数 z 为纯虚数,则实部为 0,虚 部不等于 0,即可求出实数 x 的值. 2 解答: 解:∵z=(2+i) (x﹣i)=2x﹣2i+xi﹣i =2x+1+(x﹣2)i, 又复数 z 为纯虚数, ∴ 解得: 故答案为: , . .

点评: 本题考查了复数的基本概念,是基础题.

13. (5 分)若向量 、 的夹角为 150°,| |=

,| |=4,则|2 + |=2.

考点: 数量积表示两个向量的夹角;向量的模. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是向量的模及平面向量数量积运算, 由向量 、 的夹角为 150°, | |= ,| |=4,我们易得 的值,故要求|2 + |我们,可以利用平方法解决.

解答: 解:|2 + | = = = =2. 故答案为:2 点评: 求 示 的有向线段 =|AB|= 常用的方法有:①若已知 的两端点 A、B 坐标,则 ③构造关于 的方程,解方程求 . ,则 = ;②若已知表

14. (5 分)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+

(n∈N ) ,则 an=

*



考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析 : 根据数列的递推关系,利用累加法和裂项法即可得到结论. 解答: 解:∵a1=1,an+1=an+ ∴an+1﹣an= 则 a2﹣a1=1﹣ , a3﹣a2= … an﹣an﹣1= ﹣ , , = ﹣
*

(n∈N ) , , (n∈N ) ,

*

等式两边同时相加得 an﹣a1=1﹣ ,

故 an= 故答案为:



点评: 本题主要考查数列项的求解, 根据数列的递推关系, 以及利用累加法和裂项法是解 决本题的关键.

15. (5 分)设 n 为正整数,

,计算得
n

,f(4)>2, (n∈N ) .
*

,f(16)>3,观察上述结果,可推测一般的结论为 f(2 )≥

考点: 归纳推理. 专题: 探究型. 分析: 根据已知中的等式: ,f(4)>2, ,f(16)>3,…,我

们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系,归纳推断后,即可得到答案. 解答: 解:观察已知中等式: 得 f(4)>2, , f(16)>3, …, 则 f(2 )≥
n



(n∈N )
n

*

故答案为:f(2 )≥

(n∈N ) .

*

点评: 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的 相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算过程) 16. (13 分)已知等差数列{an}满足:a5=5,a2+a6=8. (1)求{an}的通项公式; an (2)若 bn=an+2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)直接根据已知条件建立方程组求得首项和公差,进一步求得通项公式. (2)利用(1)的结论,根据等差和等比数列的前 n 项和公式求的结果. 解答: 解: (1)由条件 a5=5,a2+a6=8. 得知: ,

解得:



故{an}的通项公式为:an=n. (2) ,

故 Sn=b1+b2+…+bn, . 点评: 本题考查的知识要点: 等差数列通项公式的应用, 等差数列和等比数列的前 n 项和 公式的应用.属于基础题型. 17. (13 分)从 2015 届高三学生中抽取 n 名学生参加数学竞赛,成绩(单位:分)的分组 及各数据绘制的频率分布直方图如图所示,已知成绩的范围是区间 又 B 为三角形内角, ∴B= ;

(2)∵向量 =(cos2A+1,3cosA﹣4) , =(5,4) ,且 ⊥ , ∴ ? =0,即 5(cos2A+1)+4(3cosA﹣4)=0, 整理得:5cos A+6cosA﹣8=0, 解得:cosA= 或 cosA=﹣2(舍去) , 又 0<A<π,∴A 为锐角, ∴sinA= ,tanA= , 则 tan( +A)= =7.
2

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,三平面向量的数量积运算,熟练掌握定理是解本题的 关键. 19. (12 分)如图,已知 DE⊥平面 ACD,DE∥AB,△ ACD 是正三角形,AD=DE=2AB=2, 且 F 是 CD 的中点. (1)求证:AF∥平面 BCE; (2)求四棱锥 C﹣ABED 的全面积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)取 CE 中点 P,连结 FP,BP,证明 ABPF 为平行四边形,然后利用直线余平 面平行的判定定理证明 AF∥平面 BCE. (2)求出 SABED, ,S△ CDE,S△ ABC,S△ BCW,然后求出全面积.

解答: 解: (1)证明:取 CE 中点 P,连结 FP,BP ∵F 为 CD 的中点,∴ 又 ∴

∴ABPF 为平行四边形,∴AF∥BP 又∵AF?平面 BCE,BP?平面 BCE,∴AF∥平面 BCE. (2)SABED= S△ CDE= S 全=6+ . =3, =2,S△ ABC= =1,S△ BCE= , = =

点评: 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用, 几何体的表面积的求法, 考查计算能 力. ﹣lnx,m∈R.

20. (12 分)已知函数 g(x)= +lnx,f(x)=mx﹣ (1)求函数 g(x)的极值; (2)若 f(x)﹣g(x)在 mx ﹣2x+m≥0 等价于 m(1+x )≥2x,即 而
2 2 2 2





∴mx ﹣2x+m≤0 等价于 m(1+x )≤2x, 即 ∴ 在∪

=

=



即 t =1 时,

2

∴ 又∴ ∴ 点评: 求圆锥曲线的方程的一般方法是利用待定系数法; 解决直线与圆锥曲线的位置关系 一般是将直线的方程与圆锥曲线的方程联立, 消去一个未知数得到关于一个未知数的二次方 程,利用韦达定理找突破口.


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