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高中数学北师大版必修同步配套课件:1-4《 数列在日常经济生活中的应用》


§4 数列在日常经济生活中的应用 1.了解银行存款的种类及存款计息方式; 2.体会“零存整取”、“定期自动转存”等日常经济 生活中的实际问题; 3.了解“教育储蓄”. 等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模 型.例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资 产折旧等问题都与其相关. 以银行存款为例,它是老百姓日常生活中最基本的经 济活动.银行存款计息方式有

两种:单利和复利,它们分别 以等差数列和等比数列为数学模型.下面分别举例说明. 单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金 所产生的利息不再计算利息.其公式为 利息=本金×利率×存期 以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表 本金与利息和(以下简称本利和),则有 S=P(1+nr). 复利 把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每 一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是 S=P(1+r)n . 例1.零存整取模型 银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每 月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以 取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不 考虑利息税). (1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推 导出到期整取时本利和的公式; (2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的 本利和是多少? (3)若每月初存入一定金额,月利率是0.3%,希望到第12个月末 整取时取得本利和2 000元.那么每月初应存入的金额是多少? 分析:零存整取储蓄业务规定每次存入的钱不计复利,即 按单利计息:利息=本金×利率×存期 解:(1)根据题意,第1个月存入的x元,到期利息为x?r?n 元; 第2个月存入的x元,到期利息为x?r?(n-1)元?? 第n个月存入的x元,到期利息为xr元. 不难看出,这是一个等差数列求和的问题.各月利息之和为 xr (1 ? 2 ? ? ? n) ? n(n ? 1)r x(元), 而本金为nx元,这样就得到本利和公式 y ? nx ? 2 n(n ? 1)r 即y ? x[n ? ](元)(n ? N + ); ① 2 n(n ? 1)r x(元) , 2 (2)每月存入500元,月利率为0.3﹪,根据①式,本利和为 36 ? 37 y ? 500 ? (36 ? ? 0.3%) ? 18?999(元); 2 (3)依题意,在①式中,y=2 000,r=0.3%,n=12, y 2 000 x? ? n(n ? 1) 12 ? 6 ? 13 ? 0.3% n? r 2 ? 163.48(元) , 答:每月应存入163.48元. 例2.定期自动转存模型 银行有另一种储蓄业务为定期存 款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后, 如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务,第2年的 本金就是第1年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业 务(暂不考虑利息税),我们来讨论以下问题: (1)如果储户存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r, 连存n年后,再取出本利和.试求出储户n年后所得本利和 的公式; (2)如果存入1万元定期存款,存期为1年,年利率为2.79%, 那么5年后共得本利和多少万元(精确到0.001)? 解:(1)记n年后得到的本利和为an,根据题意,第1年 存入的本金P元,1年后到期利息为P· r,1年后本利和为 a1=P+P· r=P(1+r)(元); 2年后到期利息为P(1+r)r元,2年后本

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