当前位置:首页 >> 数学 >>

福建省福州三中2014届高三高考考前模拟数学理试题 Word版含答案


2013~2014 学年福州三中高三数学(理科)考前模拟试卷 2014.05.24 本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 答卷前,考生务必用 0.5mm 黑色签字笔将自己的班级、姓名、座号填写在试卷和答卷的密 封线外。 请考生认真审题,将试题的答案正确书写在答卷上的指定位置,并认真检查以防止漏答、错 答。 考试中不得使用计算器。 第Ⅰ卷(选择题 共 50

分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.计算 i (1 ? i) 的值等于(
2

) C.-2i
2

A.-4

B.2

D.4i ( )

2.已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 1} , B ? {x | x ? x ? 0} ,则 A ? B 等于 A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} 3.原命题 C. {x | 0 ? x ? 1}

D. {x | 0 ? x ? 1}

2 2 p : “设 a、b、c ? R, 若a ? b, 则ac > bc ”以及它的逆命题,否命题、逆否命

题中,真命题共有( )个. A.0 B.1

C.2

D.4

2 2 4.已知角 ? 的终边与单位圆 x ? y ? 1 交于

1 P( , y 0 ) 2 ,则 cos 2? 等于(



1 1 A. 2 B . 2 ?

?
C.

3 2

D.1

π? ? ? π ? y ? sin ? 2 x ? ? ? ,π ? ? 3 ? 在区间 ? 2 ? ? 的简图是( 5.函数
y
? ? 3



y

1
? 6

1
?

? ? 2

O

x

?

?1

? ?? O 3 2 ?1

? 6

? x

A.

B.

y

y
?
? 3

1
? ? O ? ? 6 2

?

x

?

?1

? 2

? 6

1
? 3

O
D.

? x

?1

C.

6.某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是(



f ( x) ?
A.

x x

f ( x) ?
B.

cos x ? ? (? ? x ? ) x 2 2

2x ? 1 f ( x) ? x 2 ?1 C.

D. f ( x) ? x ln( x ? 1)
2 2

7.设 x 为非零实数,则 p :

x?

1 ?2 x ?1 x 是q : 成立的 ( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

x2 ? y2 ? 1 2 2 C C 3 1 8.已知曲线 : 和 C2 : x ? y ? 1, 且曲线 1 的焦点分别为 F1 、F2 , 点 M 是 C1
1F2 的形状是( 和 C2 的一个交点,则△ MF

) C.钝角三角形

A.锐角三角形 D.都有可能

B.直角三角形

x ?x ? 9.设 a ? R , 函数 f ( x) ? e ? a ? e 的导函数 f ( x ) 是奇函数, 若曲线 y ? f ( x) 的一条切线

3 的斜率是2,则切点的横坐标为( ln2 A.- 2 B.-ln2

) ln2 C. 2 D.ln2

10. 设 [ m ] 表 示 不 超 过 实 数 m 的 最 大 整 数 , 则 在 直 角 坐 标 平 面 xOy 上 满 足

[ x]2 ? 4[ y] 2 ? 100 的点 P( x, y) 所形成的图形的面积为(



A.10 B. 12 C. 10 ? D. 12 ? 第二卷 (非选择题共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置.
4 11.在 (1 ? x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) 的展开式中,含 x 的项的系数是___

5

6

7

12.若等差数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 ? 15, a1 ? 2 ,则 a4 ? ______.
正视图 侧视图

13. 已知 ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c .若△

ABC 的面积 S ? b2 ? c 2 ? a 2 ,则 tan A ? 的值是



14.若一个四棱锥的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是边长为 2 的等边三角形,则该四棱锥的四条侧棱长之和等于_____________

俯视图

第 14 题

15.已知集合 得

M ? {( x, y) y ? f ( x)}

,若对于任意实数对

( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y2 ) ? M ,使

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 为“正交点集”,给出下列集合:

1 M ? {( x, y ) y ? } M ? {( x, y ) y ? ? x 2 ? 1} M ? {( x, y) y ? cos x} x ① ;② ;③ ; 1 M ? {( x, y ) y ? x ? } x ;⑤ M ? {( x, y ) x ? y ? 1} . ④
则满足条件的“正交集合”有:_________________________(写出所有满足条件的集合的序 号) 解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分)

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0,| ? |?
某同学用“五点法”画函数 内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:

?

) 2 在某一个周期

(Ⅰ )请求出上表中的

x1 , x2 , x3 ,并直接写出函数 f ( x) 的解析式;

2 (Ⅱ ) 将 f ( x ) 的图象沿 x 轴向右平移 3 个单位得到函数 g ( x) , 若函数 g ( x) 在 x ?[0, m] (其
中 m ? (2, 4) ) 上的值域为 [? 3, 3] , 且此时其图象的最高点和最低点分别为 P, Q , 求 OP 与 OQ 夹角 ? 的大小。 17. (本小题满分 13 分) 我国政府对 PM2.5 采用如下标准: PM2.5 日均值 m(微克/立方米) 空气质量等级

m ? 35
35 ? m ? 75

一级 二级 超标

m ? 75

2 3 4 6 7

PM2.5 日均值 (微克/立方米) 8 2 8 2 1 4 5 3 8 7

某市环保局从 180 天的市区 PM2.5 监测数据中,随机抽取 l0 天的数据作为样本,监测值 如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶). (I)求这 10 天数据的中位数.

(II)从这 l0 天的数据中任取 3 天的数据,记 ? 表示空气质量达到一级的天数,求 ? 的分布列; (III) 以这 10 天的 PM2.5 日均值来估计这 180 天的空气质量情况,其中大约有多少天的空 气质量达到一级. 18.(本小题满分 13 分) 如 图 , 平 面 ABEF ? 平 面 ABC , 四 边 形 ABEF 为 矩 形 ,
F E

AC ? BC . O 为 AB 的中点, OF ? EC .
(Ⅰ)求证: OE ? FC ;
B

A

O

AC 3 ? 2 时,求二面角 F ? CE ? B 的余弦值. (Ⅱ)若 AB
19. (本小题满分 13 分)

C

第 18 题图

x2 y2 E: 2 ? 2 ?1 F,F a r ? a2 设椭圆 的焦点在 x 轴上, 1 2 分别是椭圆的左、右焦点,点 P 是椭圆
在第一象限内的点,直线 (Ⅰ)当 r ? 1 时,

F2 P 交 y 轴与点 Q ,

3 (i)若椭圆 E 的离心率为 2 ,求椭圆 E 的方程;

F P FQ (ii)当点 P 在直线 x ? y ? 1 上时,求直线 1 与 1 的夹角;
(II) 当

r ? r0 时,若总有 F1P ? FQ 1 ,猜想:当 a 变化时,点 P 是否在某定直线上,若是写出

该直线方程(不必求解过程). 20.(本小题满分 14 分)
? C : x ? y ? Rn (Rn ? 0) 与 y 轴正半轴的交点为 M , 设 n? N , 圆 n 与曲线 y ?
2 2 2

x 的交点



N ( xn , yn ) ,直线 MN 与 x 轴的交点为 A(an ,0) . xn 表示 Rn 和 an {xn } 满足 ( xn ?1)2 ? ( xn?1 ?1)( xn?1 ?1)(n ? 2), x1 ? 3, x2 ? 15
p 的值,使得数列 {an?1 ? pan } 成等比数列;

(I)用

(II)若数列 (i)求常数 (ii)比较

an 与 2 ? 3n 的大小.

21.本题设有(1) (2) (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分。

如果多做,则按所做的前两题计分。作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑,并将所选题号填入括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

?1 a ? ? ? b 0 ? 的 变 换 把 直 线 l : x? y? 1 ? 0变 换 为 另 一 直 线 设 a, b ? R , 若 矩 阵 A = ?
l? : x ? 2 y ? 1 ? 0 .
(1)求 a , b 的值; (2)求矩阵 A 的特征值. (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? ?x ? ? ? ? x ? cos ?, ?y ? ? ? y ? sin ? 已知曲线 C1: ? ( ? 为参数) ,曲线 C2: ?

2 t ? 2, 2 2 t 2 (t 为参数) .
C1?,C2?

(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 .写出

C1?,C2?

的参数方程.

C1?



C 2?

公共点的个数和 C 1 与C2 公共点的个数是否相同?说明你

的理由. (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 对于 x∈R,不等式|x-1|+|x-2|≥ a 2+ b 2 恒成立,试求 2 a + b 的最大值。

2013~2014 学年福州三中高三数学(理科)考前模拟试卷 2014.05.24 本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 答卷前,考生务必用 0.5mm 黑色签字笔将自己的班级、姓名、座号填写在试卷和答卷的密 封线外。 请考生认真审题,将试题的答案正确书写在答卷上的指定位置,并认真检查以防止漏答、错 答。 考试中不得使用计算器。 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.计算 i (1 ? i) 的值等于(
2



A.-4 【解析】B

B.2

C.-2i
2

D.4i

2.已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 1} , B ? {x | x ? x ? 0} ,则 A ? B 等于 A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1}





D. {x | 0 ? x ? 1}

【解析】A.由 B 得 0 ? x ? 1 ,因此选 A
2 2 3.原命题 p : “设 a、b、c ? R, 若a ? b, 则ac > bc ”以及它的逆命题,否命题、逆否命

题中,真命题共有( )个. A.0 B.1

C.2

D.4

【解析】C.考虑 C=0 的情形,只有逆命题和逆否命题正确,选 C
2 2 4.已知角 ? 的终边与单位圆 x ? y ? 1 交于

1 P( , y 0 ) 2 ,则 cos 2? 等于(



1 1 A. 2 B . 2 ?
1 【解析】 2 ?
5. 函 数

?
C.

3 2

D.1

y
? ? 3

y

1
? 6

1
?

? ? 2

O

x

?

?1

? ?? O 3 2 ?1

? 6

? x

A.

B.

y

y
?
? 3

1
? ? O ? ? 6 2

?

x

?

?1

? 2

? 6

1
? 3

O

? x

?1
D.

C.

π? ? ? π ? y ? s ?i x ? n ? 2 ? ,π ? ? 3 ? 在区间 ? 2 ? ? 的简图是(



? π? 3 ? ? π? ? f ( ) ? sin ? 2 ? ? ? ? 0, f (? ) ? sin ? 2? ? ? ? ? , 6 6 3? 3? 2 排除B、D, ? ? 【解析】A 排除
C.也可由五点法作图验证.∴应选 A 6.某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是

f ( x) ?
A.

x x

f ( x) ?
B.

cos x ? ? (? ? x ? ) x 2 2

2x ? 1 f ( x) ? x 2 ?1 C.

D. f ( x) ? x ln( x ? 1)
2 2

【解析】C.根据程序框图知输出的函数为奇函数,并且此函数存在零点.经验证:

f ( x) ?

x cos x f ( x) ? 2 2 x 不存在零点; f ( x) ? x ln( x ? 1) 为偶函数, x 不存在零点; 2x ? 1 2 x ? 1 的定义域为全体实数,且 f (? x) ? ? f ( x) ,故此函数为奇函数,且令

f ( x) ?


2x ? 1 f ( x) ? x 2 ? 1 ,得 x ? 0 ,函数 f ( x) 存在零点,答案 C
p:

7.设 x 为非零实数,则 A.充分不必要条件 不必要条件 【解析】B.若 条件,故选 B

x?

1 ?2 q x ? 1 成立的 ( ) x 是 :
D .既不充分也

B.必要不充分条件 C.充分必要条件

p 成立, q 不一定成立,如取 x ? 0.5 ,反之成立,故 p 是 q 的必要不充分

x2 ? y2 ? 1 2 2 C C 8.已知曲线 1 : 3 和 C2 : x ? y ? 1, 且曲线 1 的焦点分别为 F1 、F2 , 点 M 是 C1
1F2 的形状是( 和 C2 的一个交点,则△ MF

) C.钝角三角形

A.锐角三角形 D.都有可能 【解析】B.

B.直角三角形

x ?x ? 9.设 a ? R , 函数 f ( x) ? e ? a ? e 的导函数 f ( x ) 是奇函数, 若曲线 y ? f ( x) 的一条切线

3 的斜率是2,则切点的横坐标为( ln2 A.- 2 B.-ln2

) ln2 C. 2 D.ln2

x ?x ? ? ? 【解析】D 由于 f ( x) ? e ? a ? e ,故若 f ( x ) 为奇函数,则必有 f (0) ? 1 ? a ? 0 ,解得

a ? 1 , 故 f ?( x ) = e x ? e? x . 设 曲 线 上 切 点 的 横 坐 标 为 x0 , 则 据 题 意 得 f ?( x0 ) =

e x0 ? e? x0 ?

3 2 ,解得 e x0 ? 2 ,故切点横坐标

x0 ? ln 2 .故选 D
10. 设 [ m ] 表 示 不 超 过 实 数 m 的 最 大 整 数 , 则 在 直 角 坐 标 平 面 xOy 上 满 足

[ x]2 ? 4[ y] 2 ? 100 的点 P( x, y) 所形成的图形的面积为(



A.10 B. 12 C. 10 ? D. 12 ? 【解析】B 第二卷 (非选择题共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置.
4 11.在 (1 ? x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) 的展开式中,含 x 的项的系数是___

5

6

7

【解析】55

4 4 4 x 4 的项的系数是 C5 ? C6 ? C7 ? 55 ,因此填 55.

12.若等差数列 【解析】11

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 ? 15, a1 ? 2 ,则 a4 ? ______.

13. 已知 ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c . 若△ ABC 的面积

S ? b2 ? c 2 ? a 2 ,
正视图

则 tan A ? 的值是

侧视图



1 b2 ? c 2 ? a 2 S ? bc sin A ? b 2 ? c 2 ? a 2 sin A ? 4 2 2bc 【解析】 得 得 tan A ? 4 。

俯视图

14.若一个四棱锥的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是边长为 2 的等边三角 形,则该四棱锥的四条侧棱长之和等于_____________ 【解析】由三视图可知该四棱锥的四个侧面是底边长为 2,高为 2 的全等的等腰三角形,所 以每条侧棱长都等于 5 ,所以四条侧棱长之和为 4 5 ,

第 14 题

15.已知集合 得

M ? {( x, y) y ? f ( x)}

,若对于任意实数对

( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y2 ) ? M ,使

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 为“正交点集”,给出下列集合:

1 M ? {( x, y ) y ? } M ? {( x, y ) y ? ? x 2 ? 1} M ? {( x, y) y ? cos x} x ① ;② ;③ ; 1 M ? {( x, y ) y ? x ? } x ;⑤ M ? {( x, y ) x ? y ? 1} . ④
则满足条件的“正交集合”有:_________________________(写出所有满足条件的集合的序 号) 【解析】②③⑤ 解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分)

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0,| ? |?
某同学用“五点法”画函数 内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:

?

) 2 在某一个周期

(Ⅰ )请求出上表中的

x1 , x2 , x3 ,并直接写出函数 f ( x) 的解析式;

2 (Ⅱ ) 将 f ( x ) 的图象沿 x 轴向右平移 3 个单位得到函数 g ( x) , 若函数 g ( x) 在 x ?[0, m] (其
中 m ? (2, 4) ) 上的值域为 [? 3, 3] , 且此时其图象的最高点和最低点分别为 P, Q , 求 OP 与 OQ 夹角 ? 的大小。 【解析】

17. (本小题满分 13 分) 我国政府对 PM2.5 采用如下标准: PM2.5 日均值 m(微克/立方米) 空气质量等级 PM2.5 日均值 (微克/立方米) 2 8 2 一级 m ? 35 3 8 2 1 二级 35 ? m ? 75 4 4 5 6 3 8 超标 m ? 75 7 7 某市环保局从 180 天的市区 PM2.5 监测数据中,随机抽取 l0 天的数据作为样本,监测值 如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶). (I)求这 10 天数据的中位数. (II)从这 l0 天的数据中任取 3 天的数据,记 ? 表示空气质量达到一级的天数,求 ? 的分布列; (III) 以这 10 天的 PM2.5 日均值来估计这 180 天的空气质量情况,其中大约有多少天的空 气质量达到一级. 解:(I)10 天的中位数为(38+44)/2=41(微克/立方米) -----------2 分 (II)由 N ? 10, M ? 4, n ? 3 , ? 的可能值为 0,1,2,3
k 3? k C4 ? C6 P(? ? k ) ? 3 C10 (k ? 0 , 1 , 2 , 3) 即得分布列: 利用

?
p

0

1

2

3

1 6

1 2

3 10

1 30
-----------10 分

2? ? 2 B ?180, ? 5? , 得 到 (III) 一 年 中 每 天 空 气 质 量 达 到 一 级 的 概 率 为 5 , 由 ? ~ ?
2 E? ? 1 8 0? ? 7 2 5 (天) ,
一年中空气质量达到一级的天数为 72 天. 18.(本小题满分 13 分) -----------13 分

如图,平面 ABEF ? 平面 ABC ,四边形 ABEF 为矩形, AC ? BC . O 为 AB 的中点,

OF ? EC .

F

E

A

O

B

C

第 18 题图 (Ⅰ)求证: OE ? FC ;

AC 3 ? 2 时,求二面角 F ? CE ? B 的余弦值. (Ⅱ)若 AB

在的直线分别为

x, y, z 轴,建立空间直角坐标系,

则 F (0, ?1,1), E(0,1,1), B(0,1,0), C( 2,0,0), 从而 CE ? (? 2,1,1), EF ? (0, ?2,0), 设平面

的 法 向 量 -----------9 分

FCE

n ? ( x, y, z)

?C E ? 0 n ? ? n ?E F ? 0 , , 由 ? , 得 n?( 1 , 0 , cos ? ? nm n m ? 1 3
?

2 )

同理可求得平面 CEB 的法向量 m ? (1, 2,0) ,设 n, m 的夹角为 ? ,则



由 于 二 面 角

F?

C? E

为B 钝 二 面 角 , 则 余 弦 值 为

1 3

-----------13 分 19. (本小题满分 13 分)

E:
设椭圆

x2 y2 ? ?1 F,F a2 r 2 ? a2 的焦点在 x 轴上, 1 2 分别是椭圆的左、右焦点,点 P 是椭圆

在第一象限内的点,直线 (Ⅰ)当 r ? 1 时,

F2 P 交 y 轴与点 Q ,

3 (i)若椭圆 E 的离心率为 2 ,求椭圆 E 的方程;

F P FQ (ii)当点 P 在直线 x ? y ? 1 上时,求直线 1 与 1 的夹角;
(II) 当

r ? r0 时,若总有 F1P ? FQ 1 ,猜想:当 a 变化时,点 P 是否在某定直线上,若是写出

该直线方程(不必求解过程). 【解析】 (Ⅰ)(i) b ? 1 ? a , c ? 2a ?1 ,
2 2

2

2a 2 ? 1 ?

4 c 3 ? 2 a 2 ,解得 a = 5 .故椭圆 E 的方程为

5x2 y 2 ? =1 4 4 .
-----------4 分 (ii)设
2 P( x0 , y0 ) , F1 (?c,0) F2 (c,0) , x ?c, ,其中 c ? 2a ?1 .由题设知 0

将直线 y ? 1 ? x 代入椭圆 E 的方程, 由于点 ---------6 分

P( x0 , y0 ) 在第一象限, x ? a2 , y0 ? 1? a2 解得 0

y0 y0 k x ? c ,直线 F2P 的斜率 kF2 P = x0 ? c , 则直线 F1P 的斜率 F1P = 0 y0 cy0 ( x ? c) x ?c c ? x0 , 故直线 F2P 的方程为 y= 0 .当 x=0 时,y= (0,
即点 Q 坐标为

cy0 y0 ) c ? x0 .因此,直线 F1Q 的斜率为 k F1Q = c ? x0 .

y0 y ? 0 k ?k x ? c c ? x0 =-1. 所以 F1P F1Q = 0
所以 F1P⊥F1Q, -----------10 分

(3)点 P 过定直线,方程为 20.(本小题满分 14 分)

x ? y ? r0

-----------13 分

? C : x ? y ? Rn (Rn ? 0) 与 y 轴正半轴的交点为 M , 设 n? N , 圆 n 与曲线 y ?
2 2 2

x 的交点



N ( xn , yn ) ,直线 MN 与 x 轴的交点为 A(an ,0) . xn 表示 Rn 和 an {xn } 满足 ( xn ?1)2 ? ( xn?1 ?1)( xn?1 ?1)(n ? 2), x1 ? 3, x2 ? 15

(I)用

(II)若数列

{a ? pan } 成等比数列; (i)求常数 p 的值,使得数列 n?1
(ii)比较

an 与 2 ? 3n 的大小.
2 2 2 2 2 x 与圆 Cn 交于点 N ,则 Rn ? xn ? yn ? xn ? xn ,即 Rn ? xn ? xn .由题可知,

解:(I) y ?

x y ? ?1 (0, R ) N ( xn , yn ) 在直线 MN 上 a R MN n n n M 点 的坐标为 , 从而直线 的方程为 , 由点 xn yn ? ?1 2 R ? xn ? xn yn ? xn a R n 得 n ,将 n , 代入,



xn xn ? ?1 2 an xn ? xn
xn xn ? 1 xn ? 1 ? 1

,

? an ?

? 1 ? xn ? 1 ? xn


an ? 1 ? xn ? 1 ? xn

-----------4 分

(II)由 公

( xn ?1)2 ? ( xn?1 ? 1)( xn?1 ? 1) 知,{xn ? 1} 为等比数列,由 1 ? x1 ? 4 ,1 ? x2 ? 16 知,
为 4 , 故



1 ? xn ? ? 4 n?1 ? 4

n



4 所 以

an ? 4 n

? 4n

? 4n

? 2n

-----------5 分 (i)

an?1 ? p ? an ? ... ? (4 ? p) ? 4n ? (2 ? p) ? 2n ,

an?2 ? p ? an?1 ? ... ? (16 ? 4 p) ? 4n ? (4 ? 2 p) ? 2n ,


an?2 ? p ? an?1 ? q(an?1 ? pan ) 得

(16 ? 4 p) ? 4n ? (4 ? 2 p) ? 2n ? q(4 ? p) ? 4n ? (2 ? p) ? 2n
由等式 (16 ? 4 p) ? 2 ? (4 ? 2 p) ? q(4 ? p) ? 2 ? q(2 ? p)
n n

对于任意 n ? N 成立,得

?

?16 ? 4 p ? q(4 ? p) ?p ? 2 ?p ? 4 ? ? ? ?4 ? 2 p ? q(2 ? p) 解得 ?q ? 4 或 ?q ? 2
{a ? p ? an } 成公比为 4 的等比数列; 故当 p ? 2 时,数列 n?1 {a ? p ? an } 成公比为 2 的等比数列. 当 p ? 4 时,数列 n?1
(ii)由(i)知

-----------8 分

-----------9 分

an ? 4n ? 2n ,当 n ? 1 时, a1 ? 6 ? 3 ? 21 ;当 n ? 2 时, an ? 4n ? 2n ? 2 ? 3n. 事
n n ' n?1

实上,令 f ( x) ? ( x ? 1) ? x ( x ? 0) ,则 f ( x) ? n[( x ? 1)

? xn?1 ] ? 0 故

f ( x) ? ( x ? 1)n ? xn ( x ? 0) 是增函数,所以 f (3) ? f (2) ,即 4n ? 3n ? 3n ? 2n


an ? 4n ? 2n ? 2 ? 3n .

-----------14 分

21.本题设有(1) (2) (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分。 如果多做,则按所做的前两题计分。作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑,并将所选题号填入括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

?1 a ? ? ? b 0 ? 的 变 换 把 直 线 l : x? y? 1 ? 0变 换 为 另 一 直 线 设 a, b ? R , 若 矩 阵 A = ?
l? : x ? 2 y ? 1 ? 0 .
(1)求 a , b 的值; (2)求矩阵 A 的特征值. 【解】 (1)设直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上的任一点 P( x, y) 在变换作用下变成了 P ( x , y ) ,则有

? ? ?

? x? ? ?1 a ?? x ? ? x ? ay ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? y ? ? b 0 ?? y ? ? bx ? , ? x? ? x ? ay, ? ? y? ? bx.



?????1 分

P?( x?, y?) 在直线 l ? : x ? 2 y ? 1 ? 0 上,
所以 即

x ? ay ? 2bx ? 1 ? 0 , (2b ? 1) x ? ay ? 1 ? 0 ,
?????2

所以 所以

?2b ? 1 ? ?1, ? ?a ? ?1,
a ? b ? ?1 .
?????4 分

? 1 ? 1? ? ? ?1 0 ? , (2)由(1)知矩阵 A= ? ? ? ?1 1 ? ? ? 1 ??. 特征矩阵为 ?

?????5 分

? ?1 1 ? ? 2 ? ? ?1 1 ? 特征多项式为 f (? ) ? ,
? 令 f (? ) ? 0,解得矩阵 A 的特征值 1 =
1? 5 1? 5 ? ? 2 , 2 2 ,?????7 分

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? ?x ? ? ? ? x ? cos ?, ?y ? ? ? y ? sin ? 已知曲线 C1: ? ( ? 为参数) ,曲线 C2: ?

2 t ? 2, 2 2 t 2 (t 为参数) .
C1?,C2?

(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 .写出

C1?,C2?

的参数方程.

C1?



C 2?

公共点的个数和 C 1 与C2 公共点的个数是否相同?说明你

的理由. 【解】 (1)

C1 是圆, C2 是直线.

C1 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 1,圆心 C1 (0, 0) ,半径 r ? 1 .
C2 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 .
因为圆心 所以 ?????2 分

C1 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为1 ,
?????4 分

C2 与 C1 只有一个公共点.

(2)压缩后的参数方程分别为

? ?x ? ? ? x ? cos ?, ? ? ? 1 ?y ? y ? sin ? ? ? C C1? ? 2 :? ( ? 为参数) ; 2 :?
C1?
: x ? 4y ? 1,
2 2

2 t ? 2, 2 2 t 4 (t 为参数) .
1 2 x? 2 2 ,?????6 分

化为普通方程为:
2

C 2?

y?


联立消元得 2 x ? 2 2 x ? 1 ? 0 , 其判别式 ? ? (2 2) ? 4 ? 2 ?1 ? 0 ,?????7 分
2

所以压缩后的直线

C 2?

与椭圆

C1?

仍然只有一个公共点,和

C1 与 C2 公共点个数相同.

(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 对于 x∈R,不等式|x-1|+|x-2|≥ a 2+ b 2 恒成立,试求 2 a + b 的最大值。 【解析】| x -1|+| x -2|=| x -1|+|2- x |≥| x -1+2- x |=1 , ??????????? 2分 故 a 2+ b 2≤1. (2 a + b )2 ≤(22+12)( ???????????? 3 分

a 2+ b 2) ≤5. ????????????5 分
a ? 2b 1 5,



a b ? 2 1 a 2 ? b2 ? 1

?

b2 ?

5 2 5 a? 5 时等号成立.故(2 a + b )max= 5 . ???????????? 7 即取 b = 5 ,



相关文章:
福建省福州三中2014届高三高考考前模拟数学理试题 Word版含答案
福建省福州三中2014届高三高考考前模拟数学理试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。2013~2014 学年福州三中高三数学(理科)考前模拟试卷 2014.05.24 本试卷满...
福建省福州三中2014届高三高考考前模拟数学文试题 Word版含答案 - 副本
福建省福州三中2014届高三高考考前模拟数学试题 Word版含答案 - 副本_高三数学_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 157份文档 2015国家公务员考试备战攻略 ...
福建省福州三中2014届高三数学考前模拟试题 理 新人教A版
福建省福州三中2014届高三数学考前模拟试题 理 新人教A版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2013~2014 学年福州三中高三数学(理科)考前模拟试卷 2014.05.24 本...
福建省福州三中2015届高三5月份模拟考试数学(理) (Word版含答案)
福建省福州三中2015届高三5月份模拟考试数学(理) (Word版含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。福建省福州三中2015届高三5月份模拟考试数学(理) (Word版含...
福建省福州三中2014年高考考前模拟数学文试题
2013~2014 学年 福州三中高三数学(文科)考前模拟试卷 2014.05.24 本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: (1)答卷前,考生务必用 0.5mm 黑色签字...
福建省福州三中2013届高三高考模拟数学(理)试题 Word版含答案
福建省福州三中2013届高三高考模拟数学(理)试题 Word版含答案 隐藏>> 福州三中 2012—2013 学年度高三校模拟考试 数学(理)试题试卷分第 I 卷(选择题)和第 ...
福建省福州三中2014年高考考前模拟数学文试题
2013~2014 学年 福州三中高三数学(文科)考前模拟试卷 2014.05.24 本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: (1)答卷前,考生务必用 0.5mm 黑色签字...
福建省福州三中2015届高三5月份模拟考试数学(理) Word版含答案
福建省福州三中2015届高三5月份模拟考试数学(理) Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。福州三中 2015 年校模拟考试理科数学试题一、选择题:本大题共 10 小题,...
2014届高三4月高考模拟考试 数学理 Word版含答案
2014届高三4月高考模拟考试 数学理 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。高考模拟数学试题 资阳市高中 2011 级高考模拟考试 数学(理工类)本试卷分第Ⅰ 卷(选择...
更多相关标签:
福建省福州市 | 福建省福州儿童医院 | 福建省福州市仓山区 | 福建省福州市连江县 | 福建省福州市闽侯县 | 福建省福州市长乐市 | 福建省福州市福清市 | 福建省福州市鼓楼区 |