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高一数学《平面向量的数量积2》《平面向量的数量积的坐标表示》


例3. 求证: ? ? 2 ?2 ? ? ?2 (1) (a ? b ) ? a ? 2a ? b ? b ; ? ? ? ? ?2 ?2 ( 2) ( a ? b ) ? ( a ? b ) ? a ? b .

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例4. 已知 | a |? 3, | b |? 4, 且a与 b不共线.k为何值时,向量a ? kb与 a ? kb互相垂直?

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平面向量的数量积

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一、复习巩固

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一、复习巩固
1. 向量的数量积的定义是什么?

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一、复习巩固
1. 向量的数量积的定义是什么?

? ? 2. 向量数量积a ? b 的几何意义是什么 ?

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3. 向量数量积的运算律:

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3. 向量数量积的运算律: ? ? ? ? (1) a ? b ? b ? a

? ? ? ? ? ? ( 2 ) ( ?a ) ? b ? ? ( a ? b ) ? a ? ( ?b ) ? ? ? ? ? ? ? ( 3) ( a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c

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3. 向量数量积的运算律: ? ? ? ? (1) a ? b ? b ? a

? ? ? ? ? ? ( 2 ) ( ?a ) ? b ? ? ( a ? b ) ? a ? ( ?b ) ? ? ? ? ? ? ? ( 3) ( a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c

平面向量的数量积不满足结合律
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二、新课讲授

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二、新课讲授
1. 数量积的重要性质:

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二、新课讲授
1. 数量积的重要性质: ? ? ? ? 设 a、 都是非零向量 e 是与b b , ? ? 方向相同的单位向量? 是 a与e 的 ,
夹角, 则
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? ? ? ? (1) e ? a ? a ? e ?

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? ? ? ? ? (1) e ? a ? a ? e ? | a | cos?

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? ? ? ? ? (1) e ? a ? a ? e ? | a | cos? ? ? ( 2) a ? b ?

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? ? ? ? (1) e ? a ? a ? e ? ? ? ( 2) a ? b ?

? | a | cos?
? ? a ?b ? 0

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? ? ? ? ? (1) e ? a ? a ? e ? | a | cos? ? ? ? ? ( 2) a ? b ? a ?b ? 0 ? ? ( 3) 当a与b 同向时, ? ? a ?b ?

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? ? ? ? ? (1) e ? a ? a ? e ? | a | cos? ? ? ? ? ( 2) a ? b ? a ?b ? 0 ? ? ( 3) 当a与b 同向时, ? ? ? ? a ? b ? | a || b |

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? ? ? ? ? (1) e ? a ? a ? e ? | a | cos? ? ? ? ? ( 2) a ? b ? a ?b ? 0 ? ? ( 3) 当a与b 同向时, ? ? ? ? a ? b ? | a || b | ? ? 当a与b 反向时, ? ? a ?b ?
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? ? ? ? ? (1) e ? a ? a ? e ? | a | cos? ? ? ? ? ( 2) a ? b ? a ?b ? 0 ? ? ( 3) 当a与b 同向时, ? ? ? ? a ? b ? | a || b | ? ? 当a与b 反向时, ? ? ? ? a ? b ? ? | a || b |
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? ? 特别地,a ? a ?

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? 2 ? ? 特别地,a ? a ? | a |

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? 2 ? ? 特别地,a ? a ? | a |
? 或 | a |?

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? 2 ? ? 特别地,a ? a ? | a |
? 或 | a |?

? ? a ?a

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? 2 ? ? 特别地,a ? a ? | a |
? 或 | a |?
(4) cos? ?

? ? a ?a

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? 2 ? ? 特别地,a ? a ? | a |
? 或 | a |?

a ?b (4) cos? ? ? ? | a || b |

? ? a ?a ? ?

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? 2 ? ? 特别地,a ? a ? | a |
? 或 | a |?

a ?b (4) cos? ? ? ? | a || b | ? ? ? ? (5) | a ? b |?| a || b |
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? ? a ?a ? ?

2. 利用性质求向量的模:

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2. 利用性质求向量的模:

? ? 例 1. 已知a与b 都为单位向量, ? ? 它们的夹角为60? ,则 a ? 3b ? ( ) A. 7
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B. 10

C. 13

D. 4
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(04全国)

练 习
已知向量a ? (cos x , sin x ),向量b ? ( 3 ,?1), 则|2a ? b|的最大值, 最小 值分别为: A. 4 2 , 0 C. 16, 0
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B. 4, 2 2 D. 4, 0
(04湖南)
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3. 向量的夹角:

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3. 向量的夹角:
? ? 例2. 设m、n是两个单位向量 其 , ? ? ? ? 夹角为 60?, 试求向量 a ? 2m ? n与b ? ? ? 2n ? 3m的夹角.
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练 习
已知向量a , b 非零且满足(a ? 2b) ? a , (b ? 2a ) ? b则a与b 的夹角为________ π A. 6
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π B. 3

2π C. 3

5π D. 6
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(04福建)

4. 向量垂直问题:

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4. 向量垂直问题:

? ? ? 例3. 已知 | a |? 3, | b |? 4, 且a与b ? ? 不共线, 当且仅当k为何值时, a ? kb ? ? 与a ? kb 相互垂直?
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练 习
若 m ? a(b ? c ) ? b(a ? c ), 求证: ? c m
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平面向量的数量积的

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一、复习:

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一、复习:
平面向量的坐标表示及加、减、实数 与向量的乘积的坐标表示:

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一、复习:
平面向量的坐标表示及加、减、实数 与向量的乘积的坐标表示: ? 如果已知两个非零向量 a ? ( x1 , y1 ), ? b ? ( x2 , y2 ), 我们 ? ? 有: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? ?a ? (?x1 , ?y1 )
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二、提出问题,探索规律:

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二、提出问题,探索规律:
? ? 能否用向量坐标表示a ? b 呢?

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二、提出问题,探索规律:
? ? 能否用向量坐标表示a ? b 呢?
? ? 设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), x 轴上 ? ? 单位向量 i , y轴上单位向量 j , 则: ? ? ? ? ? ? ? ? i ? i ? 1, j ? j ? 1, i ? j ? j ? i ? 0
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1. 推导坐标公式:

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1. 推导坐标公式:

? ? ? ? ? ? ? a ? x1i ? y1 j , b ? x2 i ? y2 j , ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? ( x1i ? y1 j )( x2 i ? y2 j ) ?2 ? ? ? ? ?2 ? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? y1 x2 j ? i ? y1 y2 j ? x1 x2 ? y1 y2

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1. 推导坐标公式:

? ? ? ? ? ? ? a ? x1i ? y1 j , b ? x2 i ? y2 j , ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? ( x1i ? y1 j )( x2 i ? y2 j ) ?2 ? ? ? ? ?2 ? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? y1 x2 j ? i ? y1 y2 j ? x1 x2 ? y1 y2

? ? 从而 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2
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2. 长度、角度、垂直的坐标表示:

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2. 长度、角度、垂直的坐标表示:

? ?2 2 2 (1) a ? ( x , y ) ? a ? x ? y ? 2 2 ?a? x ?y

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2. 长度、角度、垂直的坐标表示:

? ?2 2 2 (1) a ? ( x , y ) ? a ? x ? y ? 2 2 ?a? x ?y
(2) 若A ? ( x1 , y1 ), B ? ( x2 , y2 ), 则 AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )
2
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2

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? ? a ?b ( 3) cos? ? ? ? ? ab

x1 x2 ? y1 y2 2 2 2 2 x1 ? y1 x2 ? y2

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? ? a ?b ( 3) cos? ? ? ? ? ab

x1 x2 ? y1 y2 2 2 2 2 x1 ? y1 x2 ? y2

? ? ? ? ( 4) ? a ? b ? a ? b ? 0 即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0
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三、理解性质,初步应用:
? ? 例 1. 已知 a ? (1, 3 ), b ? ( 3 ? 1, 3 ? 1), ? ? 则 a 与 b 的夹角是多少?

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已知向量a ? (1, 2), b ? ( ?2, ? 4), 5 | c |? 5 , 若(a ? b ) ? c ? , 则a与c 的夹 2 (05江西) 角为 _____ A. 30
Ο Ο

B. 60

Ο Ο

C. 120
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D. 150

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? 例2. 若将向量a ? ( 2, 1)绕原点按 ? ? 逆时针方向旋转 , 得到向量b , 求b 4 的坐标.(99上海)

?

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已知向量a ? (4,?3), | b |? 1, 若a ? b ? 5, 求向量b 的坐标.
(04江苏)
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例3. 在?ABC中, AB ? (2, 3), AC ? (1, k ), 且?ABC的一个内角为直角求 k , 的值.

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