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2-6第二章 函数、导数及其应用


课后课时作业
[A 组· 基础达标练] 1.函数 f(x)= log0.5?4x-1?的定义域为( 1? ? A.?-∞,2?
? ? ?1 1? C.?4,2? ? ? ?

)
? ?

?1 ? B.?2,+∞? ?1 ? D.?4,+∞? ?

答案 解析

C<

br />? ?log0.5?4x-1?≥0 由题意易知? ?4x-1>0 ?

1 1 整理得 0<4x-1≤1,解得4<x≤2,即函数 f(x)= log0.5?4x-1?的
?1 1? 定义域为?4,2?,故选 C. ? ?

2.[2015· 重庆高考]“x>1”是“log1 (x+2)<0”的( 2 A.充要条件 C.必要而不充分条件 答案 解析 B

)

B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

由 log1 (x+2)<0,得 x+2>1,解得 x>-1,所以“x>1”是 2

“log1 (x+2)<0”的充分而不必要条件,故选 B. 2 3.[2015· 石家庄一模]设函数 f(x)为偶函数,当 x∈(0,+∞)时, f(x)=log2x,则 f(- 2)=( 1 A.-2 C.2 答案 解析 故选 B. B 1 因为函数 f(x)是偶函数,所以 f(- 2)=f( 2)=log2 2=2, ) 1 B.2 D.-2

4.函数 f(x)=2x+1 和函数 g(x)=log2(x+3)的图象的交点一定在 ( ) A.第一象限 C.第三象限 答案 解析 B 函数 f(x)=2x+1,g(x)=log2(x+3)的图象可以由基本的指数 B.第二象限 D.第四象限

函数 f(x)=2x 和对数函数 g(x)=log2x 的图象分别向左平移 1 个单位和 3 个单位得到,由 f(x)=2x+1,g(x)=log2(x+3)的图象可知,其交点在第 二象限,选 B. 1 -3 1 1 5. [2014· 辽宁高考]已知 a=2 , b=log23, c=log1 3, 则( 2 A.a>b>c C.c>a>b 答案 解析 C 0<a=2 1 -3 = 2 ∴c>a>b. 6.[2014· 福建高考]若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象如图所 示,则下列函数图象正确的是( ) 1 1 1 <1 , b = log 2 <0 ,c =log 1 1 3 3=log23>1. 2 3 B.a>c>b D.c>b>a )

答案 解析

B 由题图可知 y=logax 的图象过点(3,1),

∴loga3=1,即 a=3.
?1? A 项,y=?3?x 在 R 上为减函数,错误; ? ?

B 项,y=x3 符合; C 项,y=(-x)3=-x3 在 R 上为减函数,错误; D 项,y=log3(-x)在(-∞,0)上为减函数,错误. 7.[2016· 云南名校联考]设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: c c ①a>b;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c), 其中所有的正确结论的序号是( A.① C.②③ 答案 解析 D 1 1 c c 由 a>b>1 知a<b,又 c<0,所以a>b,①正确;由幂函数的 ) B.①② D.①②③

图象与性质知②正确;由 a>b>1,c<0 知 a-c>b-c>1-c>1,由对数

函数的图象与性质知③正确,故选 D. 8.[2016· 河北五校质监]函数 y=loga(x+3)-1(a>0,且 a≠1)的图 象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+2=0 上,其中 m>0,n>0,则 2 1 m+n的最小值为( A.2 2 5 C.2 答案 解析 D 由函数 y=loga(x+3)-1(a>0,且 a≠1)的解析式知:当 x ) B.4 9 D.2

=-2 时,y=-1,所以点 A 的坐标为(-2,-1),又因为点 A 在直 线 mx+ny+2=0 上,所以-2m-n+2=0,即 2m+n=2,又 m>0, 2 1 2m+n 2m+n n m 1 5 9 n>0,所以m+n= m + 2n =2+m+ n +2≥2+2=2,当且仅当 2 2 1 9 m=n=3时等号成立.所以m+n的最小值为2,故选 D. 9.若 f(x)=lg x,g(x)=f(|x|),则 g(lg x)>g(1)时,x 的取值范围是 ________. 1? ? 答案 ?0,10?∪(10,+∞)
? ?

解析

当 g(lg x)>g(1)时,f(|lg x|)>f(1),由 f(x)为增函数得|lg x|>1,

1 从而 lg x>1 或 lg x<-1,解得 0<x<10或 x>10. 10.已知函数 y=f(x)是周期为 2 的奇函数,当 x∈[2,3)时,f(x)= log2(x-1),给出以下结论: ①函数 y=f(x)的图象关于点(k,0)(k∈Z)对称; ②函数 y=|f(x)|是以 2 为周期的周期函数; ③当 x∈(-1,0)时,f(x)=-log2(1-x); ④函数 y=f(|x|)在(k,k+1)(k∈Z)上单调递增. 其中,正确结论的序号是________. 答案 ①②③

解析

因为 f(x)是周期为 2 的奇函数, 奇函数的图象关于原点(0,0)

对称, 故函数 y=f(x)的图象也关于点(2,0)对称, 先作出函数 f(x)在(1,3) 上的图象,左右平移即得到 f(x)的草图如图所示,由图象可知 f(x)关于 点(k,0)(k∈Z)对称,故①正确;由 y=f(x)的图象可知 y=|f(x)|的周期为 2, 故②正确; 当 x∈(-1,0)时, 2<2-x<3, f(2-x)=log2(1-x)=-f(x), 即 f(x)=-log2(1-x),故③正确;y=f(|x|)在(-1,0)上为减函数,故④ 错误. 11.[2015· 珠海月考]函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(0)=0, 当 x>0 时,f(x)=log1 x. 2 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)解不等式 f(x2-1)>-2. 解 (1)当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=log1 (-x). 2

因为函数 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x). 所以函数 f(x)的解析式为

? ? f(x)=?0,x=0, log1 ?-x?,x<0. ? ? 2
(2)因为 f(4)=log1 4=-2,f(x)是偶函数, 2 所以不等式 f(x2-1)>-2 可化为 f(|x2-1|)>f(4). 又因为函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数,

log1 x,x>0, 2

所以 0<|x2-1|<4,解得- 5<x< 5且 x≠± 1, 又当 x2-1=0 即 x=± 1 时,f(0)=0>-2 符合题意. ∴不等式的解集为(- 5, 5). 12.已知函数 f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数 y=g(x)的图象上任意 一点 P 关于原点对称的点 Q 的轨迹恰好是函数 f(x)的图象. (1)写出函数 g(x)的解析式; (2)当 x∈[0,1)时总有 f(x)+g(x)≥m 成立,求 m 的取值范围. 解 x+1), 即 y=-loga(1-x)(x<1). 所以 g(x)=-loga(1-x)(x<1). 1+x (2)f(x)+g(x)≥m,即 loga ≥m. 1-x 1+x 设 F(x)=loga ,x∈[0,1). 1-x 由题意知,只要 F(x)min≥m 即可. 因为 F(x)在[0,1)上是增函数,所以 F(x)min=F(0)=0. 故 m 的取值范围是(-∞,0]. [B 组· 能力提升练]
? ?log2x,x>0, 1. 已知函数 f(x)=? x 且函数 h(x)=f(x)+x-a 有且只 ?3 ,x≤0, ?

(1)设 P(x,y)为 g(x)图象上任意一点,则 Q(-x,-y)是点 P

关于原点的对称点, 因为 Q(-x, -y)在 f(x)的图象上, 所以-y=loga(-

有一个零点,则实数 a 的取值范围是( A.[1,+∞) C.(-∞,1) 答案 B

) B.(1,+∞) D.(-∞,1]

解析

如图所示,在同一坐标系中分别作出 y=f(x)与 y=-x+a

的图象,其中 a 表示直线在 y 轴上的截距,由图可知,当 a>1 时,直 线 y=-x+a 与 y=f(x)只有一个交点.故选 B. 2.定义函数 y=f(x),x∈D,若存在常数 c,对任意 x1∈D,存在 唯一的 x2∈D,使得 f?x1?+f?x2? =c,则称函数 f(x)在 D 上的均值为 c. 2

已知 f(x)=ln x,x∈[1,e2],则函数 f(x)=ln x 在 x∈[1,e2]上的均值为 ( ) 1 A.2 C.e 答案 解析 B e2 只有 x1x2=e ,才有 x1∈[1,e ]时,x2=x ∈[1,e2],所以 1
2 2 2

B.1 1+e2 D. 2

ln x1+ln x2 ln ?x1x2? ln e2 函数 f(x)=ln x 在 x∈[1,e ]上的均值为 = 2 = 2 = 2 1.
? ?|2x+1|,x<1, 3.[2016· 山西质检]已知函数 f(x)=? ? ?log2?x-m?,x>1,

若 f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1,x2,x3 互不相等),且 x1+x2+x3 的取值范 围为(1,8),则实数 m 的值为________. 答案 解析 1 作出 f(x)的图象,如图所示,可令 x1<x2<x3,则由图知点

1 (x1,0), (x2,0)关于直线 x=-2对称, 所以 x1+x2=-1.又 1<x1+x2+x3<8,

所以 2<x3<9.由 f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1,x2,x3 互不相等),结合图象可知 点 A 的坐标为(9,3),代入函数解析式,得 3=log2(9-m),解得 m=1.

4.已知函数 f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x. (1)当 x∈[1,4]时,求函数 h(x)=[f(x)+1]· g(x)的值域; (2)如果对任意的 x∈[1,4],不等式 f(x2)· f( x)>k· g(x)恒成立,求实 数 k 的取值范围. 解 (1)h(x)=(4-2log2x)· log2x=-2(log2x-1)2+2, 因为 x∈[1,4],所以 log2x∈[0,2], 故函数 h(x)的值域为[0,2]. (2)由 f(x2)· f( x)>k· g(x), 得(3-4log2x)(3-log2x)>k· log2x, 令 t=log2x,因为 x∈[1,4],所以 t=log2x∈[0,2], 所以(3-4t)(3-t)>k· t 对一切 t∈[0,2]恒成立, ①当 t=0 时,k∈R; ②当 t∈(0,2]时,k< ?3-4t??3-t? 9 恒成立,即 k <4 t + t t -15,因为

9 9 3 9 4t+ t ≥12,当且仅当 4t= t ,即 t=2时取等号,所以 4t+ t -15 的最 小值为-3,综上,k∈(-∞,-3).


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