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2015年复旦附中自主招生数学试题


2015 年复旦附中自招数学试卷
填空 A
2 2 1、若 x ? ab,y ? a 2 ? b2 ,则 (x ? y) ? (x ? y) ? ______________

2、 x1 ? x2 ?

3 ,求 x1、x2 的方差 ______________

3、从 1,4,7…… 295,2

98(隔 3 的自然数)中任选两个数相加,和的不同值有 __________个

4、解方程:

x 2 ? ? ?1 x?2 x?2

5、 x ? 3

x2 ?8 x ?15 x?2

? 1 的解有 _________个。

6、 ?

?3mx ? 7 ? 5 ? mx 有正数解,求 m 的取值范围 __________ ?3mx ? x ? 1 ? (1 ? 2m) x ? 8

7、 y ? x 2 ? 10 x ? 4m 与 x 轴两个交点在 x 的正半轴,求 m 的取值范围。

8、

x x?4 y ?9 x?5 ? ? 时,求 的值 y 2 z ?3 z ?5

9、矩形 ABCD 中, AB ? 3BC ,将矩 形折叠,点 B 落在边 AD 上的点 M 处,

N D M E C

EC ? FB C 落在 N 处,求 AM

A

F

B

填空 B 1、 扫雷游戏 5 3 1 1 2、 已知不等式:y ? ? x 2 ? px ? 1 求能使 x ? y 最大值为 2 的负实数 p 的取值范围。 1

3、如图所示,直线 l 经过点 P ,且垂直于 AB ,当长方形 AOBP 的周长为 20 时,请求出 无论图形如何变化, l 始终经过的定点坐标 ___________。
y A

P

x O B

4、在反比例函数 y ?

k 上存在点 C ,以点 C 为圆心,1 为半径画圆,圆上存在两点到 O 点 x

距离为 2,则 k 的取值范围 ______________

5、 已知直线 MA、NB 均与线段 MN 为直径的半圆相切, 直线 AB 与半圆相切于点 F ,P 在 线段 MN 上且 PF ? MN ,当直线 AB 变化时,求

PA+PB 的最大值 AB

6、在 1,2,3…… ,39,40 数列中能找出 __________对数字使它们的差的绝对值为质数。

解答题: 1、已知在 ?BAC 的内部存在一点 M ,在不画出 A 点的情况下过 M 点作一条直线,使它 经过 A 点。

M

2、设 x1、x2 为 x 2 ? 2 px ? p ? 0 的两根, ①求证: 2 px1 ? x2 ? 3 p ? 0
2

p 为实数

②当 x1 ? x2 ? 2 p ? 3 时,求

p 的最大值

3、实数 a1、a2 ① a1 ? a2 ?

an 满足: ? an =0
② a1 ? a2 ?

? an ? 1

(k ? 1, 2, 3, 求证: k 个数

n) , a1 ? a2 ?

? ak ?

1 2

4 、 锐 角 ?ABC 中 , AD,BE,CF 分 别 为

A F E

BC,AC,AB 边上的高, 设 BC ? a ,AC ? b , AB ? c , BD ? x , EC ? y , AF ? z
① 用 a、b、c 表示 x ② 当 a、b、c 满 足 什 么 关 系 时 , 有

2( x ? y ? z ) ? a ? b ? c

B

D

C

2015 年复旦附中自招数学试卷 (2)
一、 1. 2. 填空: 已知实数 x , y , z 满足 x ? y ? 4 , | z ? 1|? xy ? 2 y ? 9 ,则 3x ? 2 y ? z ? 。

抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 与 x 轴交于 A 、 B 两点,与 y 轴交于点 C ,若 ?ABC 是直角 三角形,则 ac 的值等于 。
C S3

3.

如图 ?ABC 是直角三角形,S1 ,S 2 ,S3 为正方形, 已知 a , b ,c 分别是 S1 , S2 ,
S3 的边长,则 a , b , c 满足的关系式

S1 A

S2 B





4.

? x ? ?1或x ? 2 ? 若满足关于 x 的不等式组 ? 5 的整数解只有 ?2 一个,则实数 a 的取值范 ? ?x?a ? ? 2

围为 5.



已知关于 x 的方程 ? a ? 1? x2 ? 2 x ? ? a ? 1? ? 0 的根都是整数,则满足条件的整数 a 的 值为 。
D B E

6.

如图,在 Rt ?ABC 中, AC ? 3 , BC ? 4 ,点 D 为斜边 AB 上 的一个动点,过 D 作 DE ? BC , DF ? AC ,垂足分别为 E 、
F ,则线段 EF 长度的最小值为


A F C

7.

从 1 到 100 的自然数中,每次取出不同的两个数,使它们的和大于 100 ,则可有 种不同的取法。
A

8.

…,xn 中每一个数值只能取 ?2 ,0 , 已知 x1 ,x2 ,x3 ,
1 中的一个,且满足 x1 ? x2 ? … ? xn ? ?17 ,
2 2 3 3 x12 ? x2 ? … ? xn ? 37 ,则 x13 ? x2 ? … ? xn =

1


2

B

C

9.

如图,半径分别为 1 和 2 的两个圆外切,且两圆 与等腰三角形 ?ABC 的两腰 AB 和 AC 都相切, 则 ?ABC 的面积为 。
E F

A

G

B H

10. 如图, ABCDE 是正五边形,已知 AG ? 1 ,则
FG ? JH ? CD ?



J I D

C

二、

解答题:

11. 如图, ?ABC 内接于圆 O , AB ? BC , AO ? BC ,垂足为 D 。 ⑴ 求证: ?ABC 是等边三角形; ⑵ 若 AB ? 1 ,P 是劣弧 BC 上的动点 (点 P 与 B 、C 不重合) ,PA 交 BC 于点 E , 设 AE ? x , EP ? y ,求 y 关于 x 的函数关系式,并写出自变量 x 取值范围; ⑶ 在⑵的前提下, 令 ?PAC ? ? ,?APC ? ? , 当 y 取何值时,sin 2 ? ? sin 2 ? ? 1 。
A

O B D E P C

12. 定义 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,如 ? 2.3? ? 2 , ? ?0.4? ? ?1 。 ⑴ 若 0 ? x ? 4 ,解方程: x2 ? 2 ? x? ? x ? 0 ;
3 ⑵ 求所有的实数 x ,使得 ? ?x ? ? ? 4x ? 3 。


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