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2014届高考数学一轮复习方案 第27讲 平面向量的应用举例课时作业 新人教B版


课时作业(二十七)
基础热身

[第 27 讲

平面向量的应用举例]

(时间:45 分钟 分值:100 分)

→ → 1.若向量OF1=(2,2),OF2=(-2,3)分别表示两个力 F1 与 F2,则|F1+F2|为( A.2.5 B.4 2 C.2 2 D.5 )

/>)

→ → → → 2.在四边形 ABCD 中,AB=DC,且AC·BD=0,则四边形 ABCD 是( A.矩形 B.菱形 D.等腰梯形

C.直角梯形

→ → → 3.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若OC=a1OA+a200OB,且 A,B,C 三点共线(该直 线不过原点),则 S200=( A.100 B.101 C.200 D.201 → → 4.平面直角坐标系 xOy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满足OP·OA=4,则点 P 的 轨迹方程是________. )

能力提升 5.[2012·昆明一中一摸] 已知 a=(m,1),b=(1,n-1)(其中 m,n 为正数),若 a·b 1 1 =0,则 + 的最小值是(

m n

)

A.2 B.2 2 C.4 D.8 → → 6.[2012·石家庄质检] 在△ABC 中,∠C=90°,且 CA=CB=3,点 M 满足BM=2AM, → → 则CM·CA=( A.18 B.3 C.15 D.12 → → 2 2 2 2 2 7.直线 ax+by+c=0 与圆 x +y =9 相交于两点 M,N,若 c =a +b ,则OM·ON (O 为坐标原点)等于( A.-7 B.-14 C.7 D.14 ) )

1

8. [2013·湖南十二校联考] 设△ABC 的三个内角为 A, , , B C 向量 m=( 3sinA, B), sin

n=(cosB, 3cosA),若 m·n=1+cos(A+B),则 C=(
A. C. π 6 2π 3 π B. 3 5π D. 6

)

9.已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( 3,-1),n=(cosA, sinA).若 m⊥n,且 acosB+bcosA=csinC,则角 A,B 的大小分别为( A. C. π π , 6 3 π π , 3 6 2π π B. , 3 6 π π D. , 3 3 )

→ → 10. 已知 M 是△ABC 内的一点, AB· =2 3, BAC=30°, 且 AC ∠ 若△MBC, MCA 和△MAB △ 1 1 4 的面积分别为 ,x,y,则 + 的最小值是________. 2 x y 11.已知在平面直角坐标系中,O(0,0),M(1,1),N(0,1),Q(2,3),动点 P(x,y) → → → → → → 满足不等式 0≤OP·OM≤1,0≤OP·ON≤1,则 z=OQ·OP的最大值为________. → → → 12.在△ABC 中,AB= 3,BC=2,∠A=90°,如果不等式|BA-tBC|≥|AC|恒成立, 则实数 t 的取值范围是________________. 1 → 1 → 3→ → → 13.在四边形 ABCD 中,AB=DC=(1,1), BA+ BC= BD,则四边形 ABCD → → → |BA| |BC| |BD| 的面积为________. 14.(10 分)已知圆 C:(x-3) +(y-3) =4 及点 A(1,1),M 是圆 C 上的任意一点,点
2 2

N 在线段 MA 的延长线上,且MA=2AN,求点 N 的轨迹方程.





2

3A 3A 15.(13 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 m=cos ,sin , 2 2

A A n=cos ,sin ,且满足|m+n|= 3.
2 2 (1)求角 A 的大小; → → → (2)若|AC|+|AB|= 3|BC|,试判断△ABC 的形状.

难点突破 16.(12 分)[2012·杭州二模] 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 1 向量 m=a, ,n=(cosC,c-2b),且 m⊥n. 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 a=1,求△ABC 的周长的取值范围.

3

课时作业(二十七) 【基础热身】 1.D [解析] ∵F1+F2=(2,2)+(-2,3)=(0,5),∴|F1+F2|= 0+5 =5. → → 2.B [解析] 由AB=DC知四边形 ABCD 为平行四边形, → → 又因为AC·BD=0, 即?ABCD 的两条对角线垂直, 所以四边形 ABCD 为菱形. 200(a1+a200) 3.A [解析] 依题意,a1+a200=1,S200= =100. 2 → → 4.x+2y-4=0 [解析] ∵OP·OA=4,∴(x,y)·(1,2)=4,∴x+2y-4=0. 【能力提升】 5.C [解析] 因为 a·b=0,所以 m×1+1×(n-1)=0, 即 m+n=1.又 m,n 为正数, 1 1 ?1 1? 所以 + =? + ?(m+n)
2

m n ?m n? n m m n

=2+ + ≥2+2

n m · =4, m n

n m 1 当且仅当 = ,即 m=n= 时等号成立. m n 2
1 1 故 + 的最小值是 4.

m n

6.A [解析]由题意,如图建立直角坐标系,则 A(3,0),B(0,3), → → ∵BM=2AM,∴A 是 BM 的中点,∴M(6,-3), →

CM=(6,-3),CA=(3,0),CM·CA=18.







→ → 7.A [解析] 记OM,ON的夹角为 2θ .依题意得,圆心(0,0)到直线 ax+by+c=0 的 距离等于 2 1 7 → → ?1? 2 =1,∴cosθ = ,∴cos2θ =2cos θ -1=2×? ? -1=- ,∴OM·ON= 2 2 3? 3 9 ? a +b |c|

4

3×3cos2θ =-7,选 A. 8.C [解析] 依题意得 3sinAcosB+ 3cosAsinB=1+cos(A+B), 3sin(A+B)=1 π 7π ? π? ? π? 1 π 3sinC+cosC=1,2sin?C+ ?=1,sin?C+ ?= .又 <C+ < , 6? 6? 2 6 6 6 ? ?

+cos(A+B),

π 5π 2π 因此 C+ = ,C= . 6 6 3 9.C [解析] 方法一:∵m⊥n,∴ 3cosA-sinA=0, π π π ? π? ∴cos?A+ ?=0,又∵0<A<π ,∴A+ = ,∴A= . 6? 6 2 3 ? 在△ABC 中,结合正弦定理得 sinAcosB+sinBcosA=sin C, ∴sin(A+B)=sin C,又 sin(A+B)=sinC≠0,∴sinC=1, π π ∴C= ,故 B= . 2 6 π 方法二:接方法一中,A= ,在△ABC 中,由余弦定理得 3
2 2

a2+c2-b2 b2+c2-a2 a· +b· =csinC, 2ac 2bc
∴ 2c π π =c=csinC,∴sinC=1,∴C= ,故 B= . 2c 2 6
2

→ → 10.18 [解析] ∵AB·AC=2 3,∴bccosA=2 3, ∵∠BAC=30°,∴bc=4, 1 ∴S△ABC=1,∴x+y= , 2 1

x y

4 2(x+y) 8(x+y) ?2y 8x? + = + =? + ?+10≥18.

x

y

?x

y?

?2xy=8yx, ? 1 1 等号成立时,? ∴x= ,y= , 6 3 1 ?x+y=2, ?
1 1 1 4 ∴当 x= 且 y= 时, + 取得最小值 18. 6 3 x y → → → 11.3 [解析] 由题意OP= (x,y),OM=(1,1),ON=(0,1),
? ?0≤x+y≤1, → → → → → → ∴OP·OM=x+y,OP·ON=y,即在? 条件下,求 z=OQ·OP=2x+3y 的最 ? ?0≤y≤1

大值,由线性规划知当 x=0,y=1 时有最大值 3. 1? ? 12.?-∞, ?∪[1,+∞) [解析] 由 AB= 3,BC=2,∠A=90°可知∠B=30°,则 2? ?

5

1 → 2 → → → 2 2 → 2 2 由题意知|BA| +t |BC| -2tBA·BC≥|AC| ,即 4t -6t+2≥0,解得 t≥1 或 t≤ . 2 13. 3 [解析] 已知 → → BC BD + = 3 ,由单位向量得(如图)∠ABC=60°. → → → |BA| |BC| |BD|

BA



→ → ∵AB=DC=(1,1),∠ABC=60°,AC⊥BD, ∴S=2× 3 2 ×( 2) = 3. 4

14.解:设 M(x0,y0),N(x,y). → → 由MA=2AN得(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1), ∴?
?x0=3-2x, ? ? ?y0=3-2y.

∵点 M(x0,y0)在圆 C 上, ∴(x0-3) +(y0-3) =4, 即(3-2x-3) +(3-2y-3) =4.∴x +y =1. ∴所求点 N 的轨迹方程是 x +y =1. 15.解:(1)由|m+n|= 3,得 m +n +2m·n=3, 3A A? ? 3A A 即 1+1+2?cos cos +sin sin ?=3, 2 2 2 2? ? 1 ∴cosA= , 2 π ∵0<A<π ,∴A= . 3 → → → (2)∵|AC|+|AB|= 3|BC|, ∴b+c= 3a, ∴sinB+sinC= 3sinA, ∴sinB+sin? 即
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?2π -B?= 3× 3, ? 2 ? 3 ?

3 1 3 sinB+ cosB= , 2 2 2

3 2π ? π? ∴sin?B+ ?= ,又∵0<B< , 6? 2 3 ?

6



π π 5π <B+ < , 6 6 6

π π 2π π π ∴B+ = 或 ,故 B= 或 , 6 3 3 6 2 π π π π 当 B= 时,C= ;当 B= ,C= . 6 2 2 6 故△ABC 是直角三角形. 【难点突破】 1 16.解:(1)由题意知:acosC+ c=b, 2 1 结合正弦定理得 sinAcosC+ sinC=sinB. 2 又 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, 1 所以 sinC=cosAsinC. 2 1 因为 sinC≠0,所以 cosA= . 2 π 又因为 0<A<π ,所以 A= . 3 (2)方法一:由正弦定理得 b=

asinB 2 2 = sinB,c= sinC, sinA 3 3

l=a+b+c=1+
=1+ 2 3

2 3

(sinB+sinC)

(sinB+sin(A+B))

=1+2

3 1 π sinB+ cosB=1+2sinB+ . 2 2 6

π 2π 因为 A= ,所以 B∈0, , 3 3 π π 5π 所以 B+ ∈ , , 6 6 6 π 1 所以 sinB+ ∈ ,1,2<l≤3. 6 2 故△ABC 的周长 l 的取值范围为(2,3]. 方法二:周长 l=a+b+c=1+b+c, 由(1)及余弦定理 a =b +c -2bccosA, 可得 b +c =bc+1,
2 2 2 2 2

7

所以(b+c) =1+3bc≤1+3 解得 b+c≤2,所以 l≤3.

2

b+c2
2



又 b+c>a>1,所以 l=a+b+c>2. 故△ABC 的周长 l 的取值范围为(2,3].

8


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