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数学实验第十次作业


1. 题目: 用切削机床加工时, 为实时地调整机床需测定刀具的磨损程度, 每隔一小时测量刀具的 厚度得到以下的数据(见下表) ,建立刀具厚度对于切削时间的回归模型,对模型和回归系 数进行检验,并预测 7.5h 和 15h 后刀具的厚度,用(30)和(31)式两种办法计算预测区 间,解释计算结果。 时间/h 刀具厚度/cm 模型: 记刀具厚度为 y,时间为 x。用 matlab 将上表作图: plot(x,y,'+') 0 30.6 1 29.1 2 28.4 3 28.1 4 28.0 5 27.7 6 27.5 7 27.2 8 27.0 9 26.8 10 26.5

从图形直观地看,y 与 x 大致呈线性关系,即 y ? ?0 ? ?1 x ,对数据进行一元线性回归 分析。用 regress 命令可得到实验结果。 计算方法: 编写程序: >> x=0:10; y=[30.6 29.1 28.4 28.1 28.0 27.7 27.5 27.2 27.0 26.8 26.5]; >> n=11; >> X=[ones(11,1),x'];

>> [b,bint,r,rint,s]=regress(y',X); >> b,bint,s, rcoplot(r,rint) 可得到结果: b= 29.5455 -0.3291 bint = 28.9769 -0.4252 s= 0.8696 结果整理为: 回归系数 β0 β1 R?=0.8696 回归系数估计值 29.5455 -0.3291 F=60.0018 p<0.0001 回归系数置信区间 [28.9769, 30.1140] [-0.4252, -0.2330] s?=0.1985 60.0018 0.0000 0.1985 30.1140 -0.2330

从几个方面都可以检验模型是有效的:β1的置信区间不含零点;p<α;用matlab命令 finv(0.95,1,n-2)计算得到 F(1,n?2),1?? ? 5.1174 ? F 。但R?较小,说明模型精度不高。 参差及其置信区间如下图所示:

第一个点残差的置信区间不包含零点, 可以认为这个数据是异常的, 将其踢出后重新计

算。 >> x=1:10; y=[29.1 28.4 28.1 28.0 27.7 27.5 27.2 27.0 26.8 26.5]; >> n=10; >> X=[ones(10,1),x']; >> [b,bint,r,rint,s]=regress(y',X); >> b,bint,s, rcoplot(r,rint) 得到结果: b= 29.0533 -0.2588 bint = 28.8334 29.2732 -0.2942 -0.2233 s= 0.9726 283.5599 0.0000 参差及其置信区间如下图所示:

0.0195

发现第二个数据点残差异常,再次踢出后编写程序: >> x=2:10; y=[28.4 28.1 28.0 27.7 27.5 27.2 27.0 26.8 26.5]; >> n=9; >> X=[ones(9,1),x']; >> [b,bint,r,rint,s]=regress(y',X); >> b,bint,s, rcoplot(r,rint) 得到结果: b= 28.8667 -0.2333 bint = 28.7796 -0.2467 s= 1.0e+003 * 0.0010 1.7150 0.0000 0.0000 28.9537 -0.2200

参差及其置信区间如下图所示:

残差正常。

结果整理为: 回归系数 β0 β1 R?>0.99 回归系数估计值 28.8667 -0.2333 F=1715.0 p<0.0001 回归系数置信区间 [28.7796,28.9537] [-0.2467,-0.2200] s?<0.001

相比未删减数据时,精度提高了许多。 最终的回归模型:

y ? 28.8667 ? 0.2333x
将7.5,15分别带入回归模型,并利用课本(30)和(31)式给出置信区间: x=2:10; y=[28.4 28.1 28.0 27.7 27.5 27.2 27.0 26.8 26.5]; alpha=0.05; n=9; X=[ones(n,1),x']; [b,bint,r,rint,s]=regress(y',X,alpha); state=sum(r.^2)/(n-2); t=tinv(1-alpha/2,n-2); u=norminv(1-alpha/2,0,1); S=state^0.5; xbar=mean(x); Sxx=var(x); x0=[7.5,15] ; y0= b(1)+b(2).*x0 Y1=[y0-t*S*((x0-xbar).^2/Sxx+1/n+1).^0.5;y0+t*S*((x0-xbar).^2/Sxx+1/n+1).^0.5] Y2=[y0-u*S;y0+u*S] 得到结果: y0 = 27.1167 25.3667 Y1 = 26.9941 25.0105 27.2393 25.7228 Y2 = 27.0311 25.2811 27.2022 25.4522 将结果整理成下表: x 7.5 15 估计值 27.1167 25.3667 按(30)式 [26.9941, 27.2393] [25.0105, 25.7228] 按(31)式 [27.0311, 27.2022] [25.2811, 25.2811]

发现按(30)式比按(31)式得到的区间大。这是因为(31)式是n很大(无穷大)时 的情况,而实际的预测中n无法取这么大,所以(30)式给出的精度比较低。 结果分析: 刚开始工作时,刀具还没有进入稳定工作状态,或者刀具表面的性能比较差,致使开始 时磨损过快。而一段时间之后,刀具进入稳定工作状态,磨损快慢应该达到线性状态。

2. 题目: 电影剧院调电视广告费用和报纸广告费用对每周收入的影响, 得到下面的数据 (见下表) , 建立回归分析模型并进行检验,诊断异常点的存在并进行处理。 每周收入 电视广告费用 报纸广告费用 96 1 .5 5.0 90 2 .0 2.0 95 1.5 4.0 92 2.5 2.5 95 3.3 3.0 95 2.3 3.5 94 4.2 2.5 94 2.5 3.0

模型: 设每周收入为y,电视广告费为x1,报纸广告费用为x2。 选择线性回归模型。建立二元线性回归模型:

y ? ?0 ? ?1 x1 ? ?2 x2
利用matlab的相关函数,对回归模型进行分析和检测。 计算方法: 编写程序: y=[96 90 95 92 95 95 94 94]; x1=[1.5 2.0 1.5 2.5 3.3 2.3 4.2 2.5]; x2=[5.0 2.0 4.0 2.5 3.0 3.5 2.5 3.0]; n=8; m=2; X=[ones(n,1),x1',x2']; [b,bint,r,rint,s]=regress(y',X); b,bint,s rcoplot(r,rint) 得到结果: b= 83.2116 1.2985 2.3372 bint = 78.8058 87.6174 0.4007 2.1962 1.4860 3.1883 s= 0.9089 24.9408 0.0025 0.4897

结果整理为: 回归系数 β0 β1 β2 R?=0.9089 回归系数估计值 83.2116 1.2985 2.3372 F=24.9408 p=0.0025 回归系数置信区间 [78.8058,87.6174] [0.4007,2.1962] [1.4860,3.1883] s?=0.4897

从几个方面都可以检验模型是有效的:β1, β2的置信区间不含零点;p<α;用matlab命 令finv(0.95,1,n-2)计算得到 F(1,n?2),1?? ? 5.7861 ? F 。但R?较小,说明模型精度不高。 参差及其置信区间如下图所示:

第一个点有异常,踢出后编写程序: y=[90 95 92 95 95 94 94]; x1=[2.0 1.5 2.5 3.3 2.3 4.2 2.5]; x2=[2.0 4.0 2.5 3.0 3.5 2.5 3.0]; n=7; m=2; X=[ones(n,1),x1',x2']; [b,bint,r,rint,s]=regress(y',X);

b,bint,s rcoplot(r,rint) 得到结果: b= 81.4881 1.2877 2.9766 bint = 78.7878 84.1883 0.7964 1.7790 2.3281 3.6250 s= 0.9768 84.3842 结果整理为: 回归系数 β0 β1 β2

0.0005

0.1257 回归系数置信区间 [78.7878,84.1883] [0.7964,1.7790] [0.7964,1.7790] p=0.0005 s?=0.1257

回归系数估计值 81.4881 1.2877 2.9766 R?=0.9768 F=84.3842

这次的回归明显优于上一次。 参差及其置信区间如下图所示:

得到回归方程:

y ? 81.4881 ? 1.2877x1 ? 2.9766x2

11. 题目: 下表列出了某城市18位35~44岁经理的年平均收入x1(千元),风险偏好度x2和人寿保 险额y (千元) 的数据, 其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调查表综合评估得到的, 它的数值越大, 就越偏爱风险。 研究人员想研究此年龄段中的经理所投保的人寿保险额与年 均收入及风险偏好度之间的关系。 研究者预计, 经理的年均收入和人寿保险额之间存在二次 关系, 并有把握地认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应, 但对于风险偏好度对人寿保险 额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应,心中没底。 通过下表中的数据来建立一个合适的回归模型, 验证上面的看法, 并给出进一步的分析。 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 196 63 252 84 126 14 49 49 266 x1 66.290 40.964 72.996 45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.796 x2 7 5 10 6 4 5 4 6 9 序号 10 11 12 13 14 15 16 17 18 y 49 105 98 77 14 56 245 133 133 x1 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916 x2 5 2 7 4 3 5 1 8 6

模型: 根据题目的提示,建立多元二项式回归模型,用统计分析决定优劣。 按照多项式回归的方法,首先确定选择哪种多元二项式回归模型,在进行参数计算。 计算方法: 编写程序: y=[196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133]; x1=[66.29 40.964 72.996 45.01 57.204 26.852 38.122 35.84 75.796 37.408 54.376 46.186 46.13 30.366 39.06 79.38 52.766 55.916]; x2=[7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6]; x=[x1' x2']; rstool(x,y')

在弹出的窗口中,选择4种模式比较,先输出s值。得到: 模型 s Linear 9.2516 Pure Quadratic 1.8064 Interaction 9.5232 Full Quadratic 1.7430

发现Full Quadratic模型的s值最小,选择Full Quadratic模型。

y ? ?0 ? ?1x1 ? ?2 x2 ? ?3 x1x2 ? ?4 x12 ? ?5 x22
Full Quadratic的交互式画面如下:

输出各项参数值:

β0 -65.3856

β1 1.0172

β2 5.2171

β3 -0.0196

β4 0.0358

β5 0.1662

所以得到回归方程:

y ? ?65.3856 ? 1.0172x1 ? 5.2171x2 ? 0.0196x1x2 ? 0.0358x12 ? 0.1662x22
实验结果分析: 1. Pure Quadratic,Full Quadratic模型的s值差距不大,说明交互项对y的影响不大。最后的 回归曲线中,也发现β3的值比较小。说明两个自变量对人寿保险额的交互效应不大。 2. β4,β5不等于0,说明年平均收入和风险偏好度都对人寿保险额有二次效应。 3. 平均收入和风险偏好度对人寿保险额的线性效应是很明显的。

实验总结: 通过这次实验,我了解了回归分析的基本原理,掌握了matlab实现它的方法。这次的实 验对我的.这次实验对我今后的学习帮助很大,通过本章的学习,我学会了处理许多专业学 科上的数据的方法。 本次实验中忽略了次要因素、 随机因素, 抓中主要因素, 根据客观规律, 建立线性模型。这种方法值得我去仔细体会。


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