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函数解析式的七种求法


函?数?解?析?式?的?七?种? 求?法? 复合函数:若 数, 其中 函数.
一、

y ? f ( u ), 又 u ? g ( x ),

且 值域与
g ( x) y ? f [ g ( x )]

f (u )

定义

域的交集不空,则函数
y ? f (u )

叫 的复合函
x

叫外层函数,

u ? g ( x)

叫内层函数,

复合函数就是由一些初等函数复合而成的 待定系数法:在已知函数解析式的构造 时,可用待定系数法。 例 1 设 是一次函数,且
f (x)
f [ f ( x )] ? 4 x ? 3

,求

f (x)

解:设

f ( x ) ? ax ? b

(a ? 0)

,则
2

f [ f ( x )] ? af ( x ) ? b ? a ( ax ? b ) ? b ? a x ? ab ? b

? a2 ? 4 ? ? ? ab ? b ? 3
? f ( x ) ? 2 x ? 1   或  

?a ? 2 ?a ? ?2  或  ? ? ? ? b ? 3 ?b ? 1
f ( x) ? ?2 x ? 3

二、

配凑法:已知复合函数

f [ g ( x )]

的表达式,求

f (x)

的解析式,

f [ g ( x )]

的表达式容易配成 的
g ( x)

运算 形式时, 常用配凑法。 但要注意所求函数 的定义域不是原复合函数的定义域, 而是 的值域。 例 2 已知 解:
? f (x ? 1 x
2

f (x)

g ( x)

f (x ?

1 x

) ? x

2

?

1 x
2

( x ? 0)

,求

f (x)

的解析式

) ? (x ?

1 x

) ?2
2



x?

1 x

? 2

? f ( x) ? x ? 2

( x ? 2)

三、 换元法: 已知复合函数 还可以用换元法求 例 3 已知 解:令
t ?
f (x)

f [ g ( x )]

的表达式时,

的解析式。与配凑法

一样,要注意所换元的定义域的变化。
f( x ? 1) ? x ? 2 x

,求
x ? ( t ? 1)

f ( x ? 1)

x ?1

,则 ,
t ?1

2

? f ( x ? 1) ? x ? 2
2

x
2

? f ( t ) ? ( t ? 1) ? 2 ( t ? 1 ) ? t

? 1,

? f ( x) ? x ? 1
2

( x ? 1)
2 2

? f ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1 ? x ? 2 x

( x ? 0)

四、相关点法:两函数存在一定的关系,一

般用相关点法。 例 4 已知:函数
( ? 2 ,3 ) g ( x)

y ? x ? x与 y ? g ( x )
2

的图象关于点 为 关

对称,求 的解析式
M ( x, y )

解: 设



y ? g ( x)

上任一点, 且

M ? ( x ?, y ? )

M ( x, y )

于点 则
?

( ? 2 ,3 )

的对称点 ,解得: 在
y ? g ( x)

? x? ? x ? ?2 ? 2 ? ? y ? y ? ? 3 2 ?

?x? ? ? x ? 4 ? ? y? ? 6 ? y





M ? ( x ?, y ? )
2



? y? ? x? ? x?



?x? ? ? x ? 4 ? ? y? ? 6 ? y
2

代入得:
2

6 ? y ? (? x ? 4) ? (? x ? 4)

整理得
2

y ? ?x ? 7x ? 6

? g (x) ? ? x ? 7 x ? 6

五、 构造方程组法: 若已知的函数关系较为 抽象简约, 则可以对变量进行置换, 设法构 造方程组,通过解方程组求得函数解析式。 例5 设
1 f ( x ) 满足 f ( x ) ? 2 f ( ) ? x , x



f (x)



1 ? f (x) ? 2 f ( ) ? x x
x ? 0,


1 x

显然

将 换成 ,得:
x

1 1 f ( ) ? 2 f (x) ? x x



解① ②联立的方程组,得:
f (x) ? ? x 3 ? 2 3x

例 6
f (x) ? g (x) ?


1 x ?1 ,

f (x)

为偶函数,
f ( x )和 g ( x )

g ( x)

为奇函数,又

试求

的解析式



? f (x)

为偶函数, 为奇函数,
g ( x)

? f ( ? x ) ? f ( x ), g ( ? x ) ? ? g ( x )

又 即

f (x) ? g (x) ?

1 x ?1

① ,
f (? x) ? g (? x) ? ? 1 x ?1

用 替换 得:
? x x
f (x) ? g (x) ? ? 1 x ?1



解① ②联立的方程组,得
f (x) ? x 1
2

?1



g (x) ?

1 x ? x
2

六、赋值法:当题中所给变量较多,且含有 “任意”等条件时,往往可以对具有“任意

性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单 化,从而求得解析式。 例 7 已知: 等式
?

f (0) ? 1

,对于任意实数 x、y, 恒成立,求
f (x)

f ( x ? y ) ? f ( x ) ? y ( 2 x ? y ? 1)

解 对于任意实数 x、y,等式 恒成立, 不妨令
f (x) ? x ? x ? 1
2

f ( x ? y ) ? f ( x ) ? y ( 2 x ? y ? 1)

x ?0

,则有
? y ? x

f ( ? y ) ? f ( 0 ) ? y ( ? y ? 1) ? 1 ? y ( y ? 1 ) ? y ? y ? 1
2

再令

得函数解析式为:

七、 递推法: 若题中所给条件含有某种递进 关系, 则可以递推得出系列关系式, 然 后通过迭加、 迭乘或者迭代等运算求得 函数解析式。 例 8 设 是定义在 上的函数, 满足
f (x)

N?

f (1) ? 1



对任意的自然数
f (x)

a,b

都有

f ( a ) ? f ( b ) ? f ( a ? b ) ? ab

,求



?

f ( a ) ? f ( b ) ? f ( a ? b ) ? ab , a , b ? N ?



?

不妨令

a ? x, b ? 1

,得:

f ( x ) ? f (1) ? f ( x ? 1) ? x





f (1) ? 1, 故 f ( x ? 1) ? f ( x ) ? x ? 1

① 得:

分别令①式中的
f (2 ) ? f (1) ? 2, f (3) ? f (2 ) ? 3, ?? f ( n ) ? f ( n ? 1) ? n ,

x ? 1,2 ? n ?1

将上述各式相加得:
? f (n) ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ? n ( n ? 1) 2

f ( n ) ? f (1) ? 2 ? 3 ? ? n



? f (x) ?

1 2

x ?
2

1 2

x, x ? N ?

课后反思:对于复合函数 为
t ? log
x a

y ? log

x a

?1

,内层函数
y ? log
( x ?1) a

,外层函数为
t ? x ?1

y ? t ?1

;复合函数
y ? log
t a



内层函数为

,外层函数为

,应先做内

层函数,再做外层函数.


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