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2016届高二年级导数基础练习题教案


2016 届高二年级导数基础练习题教案 1. [2014· 北京卷] -x A.y=e 1.B 2. [2014· 湖南卷] 1 A.f(x)= 2 x 2.A 下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( B.y=x3 C.y=ln x D.y=|x| )

下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( B.f(x)=x +1
2

)

C.f(x)=x

3

D.f(x)=2

-x

3. (福建 11) 如果函数 y=f(x)的图象如右图, 那么导函数 y ? f / ( x) 的图象可能是 ( A )

4. (辽宁 6)设 P 为曲线 C: y ? x2 ? 2x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取 值范围为 ?0, ? ,则点 P 横坐标的取值范围为( A )

? ?? ? 4?

A. ? ?1 , ? ? 2

? ?

1? ?

B. ?1 , 0
3

?

?

C. 0, 1

? ?

D. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

5. (全国Ⅰ4)曲线 y ? x ? 2x ? 4 在点 (1 , 3) 处的切线的倾斜角为( B ) A.30° B.45°
2

C.60°

D.120°

6. (全国Ⅱ7) 曲线 y ? ax 在点 (1,a ) 处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行, 则 a ?( A ) A.1 B.

1 2
9 2 B. 2

C. ?

1 2
11 2 C. 2

D. ?1 )

7. 曲线 y=2x-x3 在横坐标为-1 的点处的切线为 l,则点(3,2)到 l 的距离等于( 7 2 A. 2 9 10 D. 10

8. 函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,其中 a,b,c 为实数,当 a2-3b<0 时,f(x)在 R 上是 ( A.增函数 B.减函数 C.常数

)

D.既不是增函数也不是减函数

9. 设 f '(x)是函数 f(x)的导函数,y=f '(x)的图象如右图所示,则 y=f(x)的图象最有可能的是

y

y

y

y

y

O

1

2

x

O 1

2

x

2

O

1

2

x

1

x

O 1 2

x

A

B

C )

D

10. 若曲线 y ? x 4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程是( A. 4 x ? y ? 3 ? 0 B . x ? 4 y ? 5 ? 0 C . 4 x ? y ? 3 ? 0 11. 过点 ?? 1,0? 且与抛物线 y ? x 2 ? x ? 1相切的一条切线是( A. 2 x ? y ? 2 ? 0 B . 3 x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

D. x ? 4 y ? 3 ? 0 ) D. x ? y ? 1 ? 0

12. 在函数 y ? x 3 ? 8x 的图象上,切线的倾斜角小于

A. 3 B. 2 C. 1 12. [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则 k 的取值范 围是( ) A.(-∞,-2] B.(-∞,-1] C.[2,+∞) D.[1,+∞) 12.D 13. 过点 P?? 1,2? 且与抛物线 y ? 3x 2 ? 4x ? 2 在点 M ?1,1? 处的切线平行的直线方程是 14.若曲线 y ? x 3 ? 3 ? 3 x 在点 P 处的切线的倾斜角为

? 的点中,坐标为整数的点的个数是 4 D. 0

?

?

? ,则切点 P 的横坐标为 3
y

15 . (北京 13 )如图,函数 f ( x ) 的图象是折线段 ABC ,其中 A,B,C 的坐标分别为

(0,,,,, 4) (2 0) (6 4) ,则 f ( f (0)) ? _________;2
函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的导数 f ?(1) ? _________. ?2

B 16. [2014· 天津卷] 函数 f(x)=lg x2 的单调递减区间是________. O 1 2 3 4 5 6 16.(-∞,0) 17、[2014· 广东卷] 曲线 y=-5ex+3 在点(0,-2)处的切线方程为________. 17.5x+y+2=0

4 3 2 1

A

C

x

b 18. [2014· 江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中, 若曲线 y=ax2+ (a, b 为常数)过点 P(2, x -5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是________. 18.-3 m 19.[2014· 陕西卷] 设函数 f(x)=ln x+ ,m∈R. x (1)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; x (2)讨论函数 g(x)=f′(x)- 零点的个数; 3 x-e e 解:(1)由题设,当 m=e 时,f(x)=ln x+ ,则 f′(x)= 2 ,∴当 x∈(0,e)时,f′(x)<0, x x f(x)在(0,e)上单调递减;当 x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(e,+∞)上单调递增. e ∴x=e 时,f(x)取得极小值 f(e)=ln e+ =2,∴f(x)的极小值为 2. e

x 1 m x 1 (2)由题设 g(x)=f′(x)- = - 2- (x>0), 令 g(x)=0,得 m=- x3 3 x x 3 3 1 +x(x>0),设 φ(x)=- x3+x(x≥0),则 φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1), 3 当 x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增; 当 x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减.∴x=1 是 φ(x)的唯一极值点, 2 且是极大值点,因此 x=1 也是 φ(x)的最大值点,∴φ (x)的最大值为 φ(1)= . 3 2 又 φ(0)=0,结合 y=φ(x)的图像(如图所示),可知①当 m > 时,函数 g(x)无零点; 3 2 2 ②当 m= 时,函数 g(x)有且只有一个零点;③当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点; 3 3 ④当 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点. 2 2 综上所述,当 m> 时,函数 g(x)无零点;当 m= 或 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零 3 3 2 点;当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点. 3 20. ( 北 京 17 ) ( 本 小 题 共 13 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3bx ? c(b ? 0) , 且

g ( x) ? f ( x) ? 是奇函数. 2
(Ⅰ)求 a , c 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间. 解: (Ⅰ)因为函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 为奇函数,所以,对任意的 x ? R , g (? x) ? ? g ( x) , 即

f ( ? x) ? 2 ? ? f ( x) ? 2 ? a3 2 x ? 2b ? x


3



f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3bx ? c





? x3

? c

?a ? ?a, 3 ?2 . ?所 x 以 2 ?? a x ? b解 ? 得 x ?c ? 2 ? ?c ? 2.
2

? c

a ? 0,c ? 2 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? x ? 3bx ? 2 .所以 f ?( x) ? 3x ? 3b(b ? 0) .当 b ? 0 时,由
3

f ?( x) ? 0 得 x ? ? ?b . x 变化时, f ?( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(??, ? ?b )

? ?b
0

(? ?b,?b )

?b ( ?b, ? ?)
0

?

?

?

所以,当 b ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (??, ? ?b ) 上单调递增,在 (? ?b,?b ) 上单调递减, 在 ( ?b, ? ?) 上单调递增. ? ?) 上单调递增.当 b ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 (??,

21.(福建 21)(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? mx2 ? nx ? 2 的图象过点(-1,-6) , 且函数 g ( x) ? f ?( x) ? 6 x 的图象关于 y 轴对称. (Ⅰ)求 m、n 的值及函数 y=f(x)的单调区间; 解: (1)由函数 f(x)图象过点(-1,-6) ,得 m-n=-3, ……① 3 2 2 由 f(x)=x +mx +nx-2,得 f′(x)=3x +2mx+n,则 g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n; 而 g(x) 图象关于 y 轴对称,所以-

2m ? 6 =0,所以 m=-3,代入①得 n=0.于是 f′(x)= 2?3

3x2-6x=3x(x-2).由 f′(x)>得 x>2 或 x<0,故 f(x)的单调递增区间是(-∞,0) , (2,+∞) ; 由 f′(x)<0 得 0<x<2,故 f(x)的单调递减区间是(0,2). 22、[2014· 安徽卷] 设函数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中 a>0. (1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; 解: (1)f(x) 的定义域为 ( -∞,+∞) , f ′ (x) = 1 + a - 2x - 3x2. 令 f′(x) = 0 ,得 x1 = -1- 4+3a -1+ 4+3a , x2= ,且 x1<x2,所以 f′(x)=-3(x-x1)(x-x2). 3 3 -1- 4+3a? ? 当 x<x1 或 x>x2 时,f′(x)<0;当 x1<x<x2 时,f′(x)>0.故 f(x)在?-∞, ?和 3 ? ?

?-1+ 4+3a ? ?-1- 4+3a -1+ 4+3a?内单调递增. ? ? ,+∞?内单调递减,在? , 3 3 3 ? ? ? ?
23、[2014· 北京卷] 已知函数 f(x)=2x3-3x. (1)求 f(x)在区间[-2,1]上的最大值; 解:(1)由 f(x)=2x3-3x 得 f′(x)=6x2-3.令 f′(x)=0,得 x=- 因为 f(-2)=-10,f?- 2 2 或 x= . 2 2

?

2? 2 = 2,f? ?=- 2,f(1)=-1,所以 f(x)在区间[-2,1] 2? ?2?

上的最大值为 f?-

?

2? = 2. 2?

24、 [2014· 福建卷] 已知函数 f(x)=ex-ax(a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A, 曲线 y=f(x) 在点 A 处的切线斜率为-1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; 解: (1)由 f(x)=ex-ax,得 f′(x)=ex-a.又 f′(0)=1-a=-1,得 a=2.所以 f(x)=ex-2x, f′(x)=ex-2.令 f′(x)=0,得 x=ln 2.当 x<ln 2 时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当 x>ln 2 时,f′(x) >0,f(x)单调递增.所以当 x=ln 2 时,f(x)有极小值,且极小值为 f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2- ln 4, f(x)无极大值. 25.(宁夏 21) (本小题满分 12 分)设函数 f ( x ) ? ax ? 的切线方程为 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 . (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? x 所围成的三角形面 积为定值,并求此定值.

b ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处 x

解: (Ⅰ) 方程 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 可化为 y ?

7 1 b x ? 3. 当 x ? 2 时,y ? . 又 f ?( x ) ? a ? 2 , 4 2 x

b 1 ? 2a ? ? , ? ?a ? 1, 3 ? 2 2 于是 ? 解得 ? 故 f ( x) ? x ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 x ?b ? 3. ?a ? b ? 7 , ? ? 4 4
1-a 2 26.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 设函数 f(x)=aln x+ x -bx(a≠1),曲线 y=f(x)在点(1, 2 f(1))处的切线斜率为 0. (1)求 b; a 解:(1)f′(x)= +(1-a)x-b.由题设知 f′(1)=0,解得 b=1, x x-1 27. [2014· 山东卷] 设函数 f(x)=aln x+ ,其中 a 为常数. x+1 (1)若 a=0,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; x-1 解:(1)由题意知,当 a=0 时,f(x)= ,x∈(0,+∞). x+1 此时 f′(x)= 2 1 ,所以 f′(1)= . 2 (x+1)2

又 f(1)=0,所以曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为 x-2y-1=0. 2 28.[2014· 天津卷] 已知函数 f(x)=x2- ax3(a>0),x∈R. 3 (1)求 f(x)的单调区间和极值; 1 解:(1)由已知,有 f′(x)=2x-2ax2(a>0).令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x= . a 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 1 ?0,1? ?1,+∞? x 0 (-∞,0) a a ? ? ?a ? 0 0 f′(x) - + - 1 f(x) 0 ? ? ? 3a2 1? ?1 ? 所以,f(x)的单调递增区间是? ?0,a?;单调递减区间是(-∞,0),?a,+∞?. 当 x=0 时,f(x)有极小值,且极小值 f(0)=0; 1? 1 1 当 x= 时,f(x)有极大值,且极大值 f? ?a?=3a2. a 29. [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 已知函数 f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线 y=f(x)在点(0,2)处的 切线与 x 轴交点的横坐标为-2. (1)求 a; (2)证明:当 k<1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点. 解:(1)f′(x)=3x2-6x+a,f′(0)=a.曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为 y=ax+2.由题 2 设得- =-2,所以 a=1. a (2)证明:由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2.设 g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4, 由题设知 1-k>0.当 x≤0 时, g′(x)=3x2-6x+1-k>0, g(x)单调递增, g(-1)=k-1<0, g(0)=4,所以 g(x)=0 在(-∞,0]上有唯一实根.当 x>0 时,令 h(x)=x3-3x2+4, 则 g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x). h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上单调递减,在

(2,+∞)上单调递增,所以 g(x)>h(x)≥h(2)=0,所以 g(x)=0 在(0,+∞)上没有实根.综 上,g(x)=0 在 R 有唯一实根,即曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点. x a 3 30.[2014· 重庆卷] 已知函数 f(x)= + -ln x- , 其中 a∈R, 且曲线 y=f(x)在点(1, f(1)) 4 x 2 1 处的切线垂直于直线 y= x. 2 (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 1 a 1 1 解:(1)对 f(x)求导得 f′(x)= - 2- ,由 f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y= x 知 4 x x 2 3 5 f′(1)=- -a=-2,解得 a= . 4 4 x2-4x-5 x 5 3 (2)由(1)知 f(x)= + -ln x- ,则 f′(x)= .令 f′(x)=0,解得 x=-1 或 x=5. 4 4x 2 4x2 因为 x=-1 不在 f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当 x∈(0,5)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,5)上为减函数;当 x∈(5,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(5,+∞)上为增函数.由此知函数 f(x)在 x=5 时取得极小值 f(5)=-ln 5. 31.(山东 21)(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x2e x?1 ? ax3 ? bx2 ,已知 x ? ?2 和 x ? 1 为

f ( x) 的极值点.
(Ⅰ)求 a 和 b 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性; 解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? ex?1 (2 x ? x2 ) ? 3ax2 ? 2bx ? xex?1 ( x ? 2) ? x(3ax ? 2b) , 又 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点,所以 f ?(?2) ? f ?(1) ? 0 ,因此 ? 解方程组得 a ? ? , b ? ?1 .

??6a ? 2b ? 0, ?3 ? 3a ? 2b ? 0,

1 3 1 x ?1 (Ⅱ) 因为 a ? ? ,b ? ?1 , 所以 f ?( x) ? x( x ? 2)(e ?1) , 令 f ?( x ) ?0 ,解得 x1 ? ?2 , 3
? 2) ?(0, 1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (?2, 0) ? (1, ? ?) 时, x2 ? 0 , x3 ? 1 .因为当 x ? (??, f ?( x) ? 0 .所以 f ( x) 在 (?2, 0) 和 (1 , ? ?) 上是单调递增的;在 (??, ? 2) 和 (0, 1) 上是单调
递减的.


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