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复合函数(知识点总结、例题分类讲解)


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复合函数的定义域和解析式以及单调性
【复合函数相关知识】 1、复合函数的定义 如果 y 是 u 的函数, u 又是 x 的函数,即 y ? f (u ) , u ? g ( x) ,那么 y 关于 x 的 函数 y ? f ( g ( x)) 叫 做函数 y ? f (u ) (外函数)和 u ? g ( x) (内

函数)的复合函数,其中 u 是中间变量,自变量为 x 函 数值为 y 。 例如:函数 y ? 2 x
2

?1

是由 y ? 2u 和 u ? x 2 ? 1 复合而成立。

说明:⑴复合函数的定义域,就是复合函数 y ? f ( g ( x)) 中 x 的取值范围。 ⑵ x 称为直接变量, u 称为中间变量, u 的取值范围即为 g ( x) 的值域。 ⑶ f ( g ( x)) 与 g ( f ( x)) 表示不同的复合函数。 2.求有关复合函数的定义域 ① 已知 f ( x) 的定义域为 (a, b) ,求 f ( g ( x)) 的定义域的方法:

已知 f ( x) 的定义域为 (a, b) ,求 f ( g ( x)) 的定义域。实际上是已知中间变量的 u 的取值范围,即

u ? (a, b) , g ( x) ? (a, b) 。通过解不等式 a ? g ( x) ? b 求得 x 的范围,即为 f ( g ( x)) 的定义域。
② 已知 f ( g ( x)) 的定义域为 (a,b) ,求 f ( x) 的定义域的方法:

若已知 f ( g ( x)) 的定义域为 (a,b) ,求 即 x ? (a,b) 。先利用 a ? 3.求有关复合函数的解析式 ①已知 ②已知

f ( x) 的定义域。实际上是已知直接变量 x 的取值范围,

x ? b 求得 g ( x) 的范围,则 g ( x) 的范围即是 f ( x) 的定义域。

f ( x) 求复合函数 f [ g ( x)]的解析式,直接把 f ( x) 中的 x 换成 g ( x) 即可。 f [ g ( x)]求 f ( x) 的常用方法有:配凑法和换元法。

配凑法:就是在 成 x 而得

f [ g ( x)]中把关于变量 x 的表达式先凑成 g ( x) 整体的表达式,再直接把 g ( x) 换

f ( x) 。

换元法: 就是先设 g ( x) ? t , 从中解出 x (即用 t 表示 x ) , 再把 x (关于 t 的式子) 直接代入

f [ g ( x)]
1

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中消去 x 得到

f (t ) ,最后把 f (t ) 中的 t 直接换成 x 即得 f ( x) 。

4.求复合函数的单调性 若 u ? g ( x) 增函数 减函数 增函数 减函数 即“同增异减”法则 5.复合函数的奇偶性 一偶则偶,同奇则奇
【例题讲解】

y ? f ( x)
增函数 减函数 减函数 增函数

则 y ? f [ g ( x)] 增函数 增函数 减函数 减函数

一、复合函数定义域解析式 例1 设函数 f ( x) ? 2 x ? 3, g ( x) ? 3x ? 5 ,求 f ( g ( x)), g ( f ( x)) .

例2

已知 f (2 x ? 1) ? x 2 ? 2 x ,求 f (2 2 ? 1)

例3

①已知 f ( x) ? x 2 ? 1, 求 f ( x ? 1) ; ②已知 f ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ,求 f ( x) .

例4

⑴若函数 f ( x) 的定义域是[0,1],求 f (1 ? 2 x) 的定义域; ⑵若 f (2 x ? 1) 的定义域是[-1,1],求函数 f ( x) 的定义域; ⑶已知 f ( x ? 3) 定义域是 ?? 4,5? ,求 f (2 x ? 3) 定义域.

2

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例5

1 ①已知 f ( x ? 1) ? x ? ,求 f ( x) ; x 1 1 2 ②已知 f ( x ? ) ? x ? 2 ,求 f ( x ? 1) . x x

例6

①已知 f ( x) 是一次函数,满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) ;
1 ②已知 3 f ( x) ? 2 f ( ) ? 4 x ,求 f ( x) . x

二、复合函数单调性及其值域 ①初等函数复合求单调区间与值域 例1

?1? 已知函数 y ? ? ? ?3?

x2 ? 2 x ?5

,求其单调区间及值域。

变式练习 1 1.求函数 f ( x) = 0.51? 2 x ? x 的单调区间及值域
1 2
2

2.求函数 y ? 4

x?

? 3 ? 2 x ? 5 的单调区间和值域.

例2

求 f ( x) = 5 - 4 x - x 2 的单调区间及值域

变式练习 2 求函数 f(x)= 2
1? x 2

的单调区间及值域
3

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例3

1 求 y ? (log 1 x)2 ? log 1 x ? 5在区间[2,4]上的最大值和最小值 2 2 2

变式练习 3 1.求函数 f ( x) ? log 2 (5 ? 4 x ? x 2 ) 的单调区间及值域

2.求函数 y ? log 2

x x · log 2 ( x ?[1,8]) 的最大值和最小值. 4 2

②含参数的复合函数单调性与值域问题 例4 已知函数 f ( x) ? log a (3x 2 ? 5x ? 2) ( a ? 0 且 a ? 1 )试讨论其单调性。

例5

求函数 y ? log a (2 ? ax ? a 2 x ) 的值域。

变式练习 4 1.讨论函数 y ? log a (a x ?1) 的单调性其中 a ? 0 ,且 a ? 1 .
4

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③根据复合函数单调性或值域求参数取值范围 例6 设函数 f ( x) ? lg( ax2 ? 2 x ? 1) ,若 f ( x) 的值域为 R ,求实数 的取值范围.

例7

已知 y ? log a (2 ? ax) 在区间 [0,1] 上时减函数,求 a 的取值范围.

例8

若函数 y ? log a ( x 2 ? ax ? 3) 在区间 ( ?? , a ] 上为减函数,求实数 a 的取值范围.

1 2

变式练习 5 已知函数 y ? 2 ? x
2

? ax?1

在区间 ?? ?,3? 上是增函数,求 a 的范围.

解:令 u ? ? x 2 ? ax ? 1 ,则原函数是由 u ? ? x 2 ? ax ? 1 与 y ? 2u 复合而成.? 原函数在区间 ?? ? ,3? 上是 增函数 ,而外层函数 y ? 2u 始终是增函数 , 则易知内层函数 u ? ? x 2 ? ax ? 1 在区间 ?? ? ,3? 上也是增
a? a? a ? ? 函数.而实质上原函数的最大单调增区间是 ? ? ?, ? ,由 ?? ?,3? ? ? ? ?, ? 得 ? 3 ,即 a ? 6 . 2? 2? 2 ? ?

【过关检测】
1. (1) f ( x) ?

x 2 ? 5x ? 4 ;

2) g ( x) ? ( ) ? 4( ) ? 5
x x

1 4

1 2

5

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?1? 2.求下列函数的单调递增区间: (1) y ? ? ? ?2?

6? x ?2 x 2

;(2) y ? 2

x 2 ? x ?6

.

3.已知函数 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) ,如果对于任意 x ?[3,??) x 都有 f ( x ) ? 1 成立,试求 a 的取值范围.

4.已知函数 f ( x) ? log a ( x 2 ? ax ? a) f(x)=log2(x -ax-a)在区间 (??,1 ? 3] 上是单调递减函数.求实数 a
2

的取值范围.

5 求函数 y ?

1 log 0.5 ( x 2 ? 2 x ? 3)

的单调区间

【考试链接】
1.(2008 山东临沂模拟理,5 分)若 a ? 1 ,且 a ? x ? log a x ? a ? y ? log a y ,则 x 与 y 之间的大小关系是( A. x ? y ? 0 B. x ? y ? 0 C. y ? x ? 0 D.无法确定 )

2.函数 y ? e |ln x| ? | x ? 1 | 的图象大致是(



6

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3. (2008 江苏南通模拟, 5 分) 设 f ( x) ? o g l
3 3

a

( a ? 0 且 a ? 1) , 若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) ? 1 ( xi ? R ? , x
3

,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n ) 的值等于________。 i ? 1,2,?, n )
2 4. (2008 海南海口模拟文、 理, 5 分) 若函数 y=log( 的定义域为 R, 则实数 k 的取值范围是________。 2 kx +4kx+3)

5. (2008 江苏无锡模拟,5 分)给出下列四个命题: ①函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )与函数 y ? log a a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的定义域相同;
x

②函数 y ? x 和 y ? 3 的值域相同;
3

x

(1 ? 2 x ) 2 1 1 ③函数 y ? ? x 与y? 都是奇函数; 2 2 ?1 x ? 2x
④函数 y ? ( x ? 1) 与 y ? 2
2

x ?1

在区间 [0,??) 上都是增函数。

其中正确命题的序号是:__________。 (把你认为正确的命题序号都填上)

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