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【组卷】高中数学组卷—圆锥曲线


强强专用

高中数学组卷—圆锥曲线
参考答案与试题解析

解答题(共 12 小题) 1. (2016?石家庄二模)已知椭圆 C: (a>b>0)的离心率为 ,过点 M(1, .

0)的直线 1 交椭圆 C 于 A,B 两点,|MA|=λ|MB|,且当直线 l 垂直于 x 轴时,|AB|= (1)求椭圆 C 的

方程; (2)若 λ∈[ ,2],求弦长|AB|的取值范围.

【解答】解: (1)由题意可得,

,即





,则 a =2b ,①

2

2

把 x=1 代入

,得 y=




2

,②
2

联立①②得:a =2,b =1. ∴椭圆 C 的方程为 ;

(2)如图,当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 方程为 y=k(x﹣1) ,
2 2 2

联立

,得(1+2k )y +2ky﹣k =0.

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 ,③

由|MA|=λ|MB|,得



∴(1﹣x1,﹣y1)=λ(x2﹣1,y2) ,则﹣y1=λy2,④ 把④代入③消去 y2 得: 当 λ∈[ ,2]时, 解得: .
第 1 页(共 15 页)

, ∈[0, ].

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|AB|=

=

=

=



∴弦长|AB|的取值范围为



2. (2016?河东区一模)已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,且经过点 ,过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存直线 l,满足 理由. ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明

【解答】解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

,由题意得

解得 a =4,b =3,故椭圆 C 的方程为

2

2



(Ⅱ)若存在直线 l 满足条件,由题意可设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2)+1,
2 2 2



得(3+4k )x ﹣8k(2k﹣1)x+16k ﹣16k﹣8=0.

因为直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B,设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2, y2) , 2 2 2 所以△ =[﹣8k(2k﹣1)] ﹣4?(3+4k )?(16k ﹣16k﹣8)>0. 整理得 32(6k+3)>0.
第 2 页(共 15 页)

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解得









且 所以

,即 .即 .



所以

,解得



所以

.于是存在直线 l 满足条件,其的方程为



3. (2016?抚顺一模)已知椭圆

的左顶点为 A1,右焦点为 F2,过点

F2 作垂直于 x 轴的直线交该椭圆于 M、N 两点,直线 A1M 的斜率为 . (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)若△ A1MN 的外接圆在 M 处的切线与椭圆相交所得弦长为 ,求椭圆方程.

【解答】解: (Ⅰ)由题意

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1 分)

因为 A1(﹣a,0) ,所以 将 b =a ﹣c 代入上式并整理得 所以
2 2 2

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) (或 a=2c)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分)

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 a=2c,

(或

)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分)

第 3 页(共 15 页)

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所以 A1(﹣2c,0)

,外接圆圆心设为 P(x0,0)

由|PA1|=|PM|,得 (6 分) 解得: ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分)

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

所以

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分)

所以△ A1MN 外接圆在 M 处切线斜率为 则切线 MC 方程为 分)
2 2 2 2

,设该切线与椭圆另一交点为 C ,即 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9
2

与椭圆方程 3x +4y =12c 联立得 7x ﹣18cx+11c =0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) 解得 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分)

由弦长公式



﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣(12 分) 解得 c=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13 分) 所以椭圆方程为 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14 分)

4. (2016?天津一模)已知椭圆 C:
2 2

+

=1(a>b>0)的离心率为

,长轴长为等于圆

R:x +(y﹣2) =4 的直径,过点 P(0,1)与椭圆 C 交于两点 A,B,与圆 R 交于两点 M, N (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求证:直线 RA,RB 的斜率之和等于零; (Ⅲ)求|AB|?|MN|的取值范围. 2 2 【解答】解: (Ⅰ)因为椭圆 C 长轴长等于圆 R:x +(y﹣2) =4 的直径, 所以 2a=4,a=2; …(1 分) 由离心率为 ,得 e =
2

=

= ,

所以

=

= ,得 b =2;…(2 分)
第 4 页(共 15 页)

2

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所以椭圆 C 的方程为

+

=1;…(3 分)

(Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时,∠ARP=∠BRP=0,符合题意;…(4 分) 当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y=kx+1,与 消去 y,得(1+2k )x +4kx﹣2=0; 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 x1+x2=﹣ 由 R(0,2) ,得 kRA+kRB= + ,x1x2=﹣ ,…(5 分)
2 2

+

=1 联立,

= =2k﹣(

+ + )

=2k﹣

=2k﹣

=0.…(7 分)

所以 kRA=﹣kRB,即∠ARP=∠BRP; 综上,∠ARP=∠BRP 成立;…(8 分) (Ⅲ)当直线 l 的斜率不存在时,|AB|=2 当直线 l 的斜率存在时, |AB|= = = ?|x1﹣x2| ?

,|MN|=4,|AB|?|MN|=8

;…(9 分)

=

?

=

?



第 5 页(共 15 页)

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|MN|=2

=2

,…(11 分)

所以|AB|?|MN|=

?

×2

=4

?



因为直线 l 过点 P(0,1) ,所以直线 l 与椭圆 C 和圆 R 均交于两点, 2 令 1+2k =t,则 t≥1, 所以|AB|?|MN|=4 ? =4 ? <8 ,

又 y=4

?

在 t≥1 时单调递增,

所以|AB|?|MN|=4

≥4



当且仅当 t=1,k=0 等号成立;…(13 分) 综上,|AB|?|MN|的取值范围是[4 ,8 ].…(14 分)

5. (2016?普陀区一模)如图,椭圆

+

=1 的左、右两个焦点分别为 F1、F2,A 为椭圆

的右顶点,点 P 在椭圆上且∠PF1F2=arccos (1)计算|PF1|的值 x (2)求△ PF1A 的面积.

【解答】解: (1)∵椭圆

+

=1 的左、右两个焦点分别为 F1、F2,P 为椭圆上一点, =8,
第 6 页(共 15 页)

|PF1|=x,则|PF2|=10﹣x,|F1F2|=2

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∵∠PF1F2=arccos ,

故 cos∠PF1F2= = 解得:x=6,



(2)由∠PF1F2=arccos ,可得:sin∠PF1F2= 故△ PF1F2 的面积 S= (5+ 故 P 到 x 轴的距离 d= = )?(5﹣ , × = )? =

= ,



由|F1A|=a+c=9,可得△ PF1A 的面积为:

6. (2016?重庆校级模拟)椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,作直线 l 交椭圆于 P,Q 两点.M

为线段 PQ 的中点, O 为坐标原点, 设直线 1 的斜率为 k1, 直线 OM 的斜率为 k2, k1k2=﹣ . (I)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设直线 l 与 x 轴交于点 D(﹣5,0) ,且满足 圆 C 的方程. 【解答】解: (I)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,M(x0,y0) , 由题意可得 + =1, + =1, =2 ,当△ 0PQ 的面积最大时,求椭

两式相减可得,

+

=0,

由 k1=

,k2=

=



即有 k1k2=﹣
2 2

=﹣ ,
2 2

即为 2a =3b =3(a ﹣c ) , 即 c = a ,e= =
2 2


2 2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,a =3c ,b =2c , 2 2 2 椭圆的方程为 2x +3y =6c ,① 可设直线 l 的方程为 x=my﹣5②, 2 2 2 将②代入①中整理得(3+2m )y ﹣20my+50﹣6c =0,
第 7 页(共 15 页)

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因为直线 l 与椭圆交于 P,Q 两点,所以△ =4(12m c +18c ﹣150)>0, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 则 y1+y2= ,y1y2= ,

2 2

2

|y1﹣y2|=

=



=2

,可得(x1+5,y1)=2(﹣5﹣x2,﹣y2) ,

即为 y1=﹣2y2,代入韦达定理,可得 c=
2



即有|y1﹣y2|=

=



=5



当且仅当 2|m|=

,即为 m=±

时,取得等号. ,

又△ 0PQ 的面积为 S= |OD|?|y1﹣y2|= |y1﹣y2|的最大值为 此时,m = ,c =
2 2 2

=
2



所求椭圆的方程为 2x +3y =250, 即 + =1.

7. (2016?潍坊一模)已知椭圆
2 2 2

的离心率

,过椭圆的左焦

点 F 且倾斜角为 30°的直线与圆 x +y =b 相交所得弦的长度为 1. (I)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若动直线 l 交椭圆 E 于不同两点 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,设 =(bx1,ay1) , =

( (bx2,ay2) ,O 为坐标原点.当以线段 PQ 为直径的圆恰好过点 O 时,求证:△ MON 的 面积为定值,并求出该定值. 【解答】解: (I)由题意可得 e= = , (x+c) ,

过椭圆的左焦点 F(﹣c,0)且倾斜角为 30°的直线方程为:y= 由直线与圆 x +y =b 相交所得弦的长度为 1, 可得 2 =2 =1,
2 2 2

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又 a ﹣b =c , 解方程可得 a=2,b=1,c= 即有椭圆的方程为
2

2

2

2



+y =1;

(Ⅱ)证明: (1)当 MN 的斜率不存在时,x1=x2,y1=﹣y2, 以线段 PQ 为直径的圆恰好过点 O,可得 即有 ? =0,即有 b x1x2+a y1y2=0,
2 2 2 2





即有 x1x2+4y1y2=0,即 x1 ﹣4y1 =0, 2 2 又(x1,y1)在椭圆上,x1 +4y1 =4, 可得 x1 =2,|y1|=
2

, ? =1;
2

S△ OMN= |x1|?|y1﹣y2|= ?
2 2

(2)当 MN 的斜率存在,设 MN 的方程为 y=kx+t, 代入椭圆方程(1+4k )x +8ktx+4t ﹣4=0, 22 2 2 2 2 △ =64k t ﹣4(1+4k ) (4t ﹣4)=4k ﹣t +1>0, x1+x2=﹣ ,x1x2= ,



?

=0,即有 x1x2+4y1y2=0,

y1=kx1+t,y2=kx2+t, 2 2 (1+k )x1x2+4kt(x1+x2)+4t =0, 2 2 代入整理,可得 2t =1+4k , 即有|MN|= ?

=

?

=

?



又 O 到直线的距离为 d=



S△ OMN= d?|MN|= |t|? = |t|? =1.

故△ MON 的面积为定值 1.

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8. (2016?衡阳一模)已知椭圆 C: 别为 F1、F2,|F1F2|=2

+

=1(a>b>0)的离心率为 e=

,其左右焦点分

.设点 M(x1,y1) ,N(x2,y2)是椭圆上不同两点,且这两点与

坐标原点的连线斜率之积﹣ . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求证:x1 +x2 为定值,并求该定值. 【解答】解: (Ⅰ)根据题意,|F1F2|=2c=2 ,则 c= e= = ,则 a=2,b =a ﹣c =1, +y =1;
2 2 2 2 2 2



故椭圆的方程为

(Ⅱ)根据题意,点 M(x1,y1) ,N(x2,y2)与坐标原点的连线斜率之积﹣ ,
2 2



×

=﹣ ,﹣4y1y2=x1x2,即(x1x2) =16(y1y2) ,

又由

+y1 =1,

2

+y2 =1,

2

则 1﹣

=y1 ,1﹣

2

=y2 ,

2

即可得(1﹣

) (1﹣
2 2

)=(y1y2) ,
2

2

变形可得(4﹣x1 ) (4﹣x2 )=(x1x2) , 2 2 展开可得 x1 +x2 =4, 2 2 即 x1 +x2 为定值 4. 9. (2016?扬州一模)如图,已知椭圆 椭圆上一点,M 在 PF1 上,且满足 (a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,P 是 (λ∈R) ,PO⊥F2M,O 为坐标原点.

(1)若椭圆方程为

,且

,求点 M 的横坐标;

(2)若 λ=2,求椭圆离心率 e 的取值范围.

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【解答】解: (1)∵椭圆的方程为 ∴ ∴直线 F2M 的方程为: ,

∴F1(﹣2,0) ,F2(2,0) ,

,直线 F1M 的方程为:





解得:



∴点 M 的横坐标为 ; (2)设 P(x0,y0) ,M(xM,yM) , ∵ ∴ ∵PO⊥F2M, ∴ 即 , ∴ ,

联立方程得:

,消去 y0 得: ,

解得: ∵﹣a<x0<a,∴x0=



, ∈(0,a) , ,

∴0<a ﹣ac<ac 解得:

2

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综上,椭圆离心率 e 的取值范围为( ,1) . 10. (2016?福建校级模拟)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,左顶点为 A, 左焦点为 F1(﹣2,0) ,点 B(2, )在椭圆 C 上,直线 y=kx(k≠0)与椭圆 C 交于 E, F 两点,直线 AE,AF 分别与 y 轴交于点 M,N; (1)求椭圆 C 的方程; (2)以 MN 为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标,若不经过,请说明理由. 【解答】解: (1)由题意可设椭圆方程为 ,



,解得:a =8,b =4.

2

2

∴椭圆 C 的方程为



(2)如图,设 F(x0,y0) ,E(﹣x0,﹣y0) , 则 A(﹣ , ,0) , ,取 x=0,得 ,

AF 所在直线方程

∴N(0,

) ,

AE 所在直线方程为

,取 x=0,得 y=



则以 MN 为直径的圆的圆心坐标为(0,

) ,

半径 r=



圆的方程为

=







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取 y=0,得 x=±2. ∴以 MN 为直径的圆经过定点(±2,0) .

11. (2016?佛山一模)已知椭圆:

+

=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0) ,且焦距

为 2,直线 l 交椭圆于 E、F 两点(E、F 与 A 点不重合) ,且满足 AE⊥AF. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)O 为坐标原点,若点 P 满足 2 = + ,求直线 AP 的斜率的取值范围.

【解答】解: (Ⅰ)由题意可得 a=2,2c=2,即 c=1, b= = ,

则椭圆的标准方程为

+

=1;

(Ⅱ)设直线 AE 的方程为 y=k(x﹣2) , 代入椭圆方程,可得(3+4k )x ﹣16k x+16k ﹣12=0, 由 2+xE= ,可得 xE= ,
2 2 2 2

yE=k(xE﹣2)=



由于 AE⊥AF,只要将上式的 k 换为﹣ ,

可得 xF=

,yF=



由2

=

+

,可得 P 为 EF 的中点, , ) ,

即有 P(

则直线 AP 的斜率为 t=

=


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当 k=0 时,t=0;

当 k≠0 时,t=



再令 s= ﹣k,可得 t=

, = ,

当 s=0 时,t=0;当 s>0 时,t=



当且仅当 4s= 当 s<0 时,t=

时,取得最大值; ≥﹣ ,

综上可得直线 AP 的斜率的取值范围是[﹣



].

12. (2016?无锡一模)已知椭圆 M:

+
2

=1(a>b>0)的离心率为 ,一个焦点到相应
2 2 2

的准线的距离为 3,圆 N 的方程为(x﹣c) +y =a +c (c 为半焦距) ,直线 l:y=kx+m(k >0)与椭圆 M 和圆 N 均只有一个公共点,分别为 A,B. (1)求椭圆方程和直线方程; (2)试在圆 N 上求一点 P,使 =2 .

【解答】解: (1)由题意有

,解得 a=2,c=1,

从而 b=

, + =1;

∴椭圆的标准方程为

圆 N 的方程为(x﹣1) +y =5,圆心到直线的距离 d=

2

2

=



直线 l:y=kx+m 代入
2 2

+

=1,整理可得(3+4k )x +8kmx+4m ﹣12=0,

2

2

2

∴△=0,可得 m =3+4k ,② 由①②,k>0,可得 m=2,k= ,

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∴直线方程为 y=



(2)由(1) ,可得 A(﹣1,1.5) ,B(0,2) , 2 2 2 2 2 2 设 P(x,y) ,则 x +(y﹣2) =8(x+1) +8(y﹣1.5) ,∴7x +7y +16x﹣20y+22=0 与(x﹣1) +y =5 联立,可得 x=﹣1,y=1 或 x=﹣ ∴P(﹣1,1)或(﹣ ,y= ) .
2 2

,y=



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