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广东省佛山一中2015届高三上学期期中数学试卷(文科)


广东省佛山一中 2015 届高三上学期期中数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题的 4 个选项中,只有 1 项是 正确的.请把答案填涂在答题卡上). 1. (5 分)设集合 A={x|x ﹣3x+2=0},则满足 A∪B={0,1,2}的集合 B 的个数是() A.1 B. 3 C. 4 D.6 2. (5 分)已知复数

z 满足(3+4i)z=25,则 z=() A.3﹣4i B.3+4i C.﹣3﹣4i 3. (5 分)函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 的值分别是() <φ<
2

D.﹣3+4i )的部分图象如图所示,则 ω,φ

A.

B.

C.

D.

4. (5 分)设 x,y∈R,向量 =(x,1) =(1,y) , =(2,﹣4)且 ⊥ , ∥ ,则 x+y= () A.0 5. (5 分)已知 A.﹣ B. ﹣

B. 1

C. 2 ,则 sin2α=() C.

D.﹣2

D.

6. (5 分)若 a=2 ,b=log A.充分不必要条件 C. 充要条件

x

x,则“a>b”是“x>1”的() B. 必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

7. (5 分)如图所示的程序框图,它的输出结果是()

A.3

B. 4

C. 5

D.6

8. (5 分)在区间[0,10]内随机取出两个数,则这两个数的平方和也在区间[0,10]内的概率 是() A. B. C. D.

9. (5 分)设函数 值域是() A.{0,1}

表示不超过 x 的最大整数,则函数 y=[f(x)]的

B.{0,﹣1}
x

C.{﹣1,1}

D.{1,1}

10. (5 分)已知函数 f(x)=|2 ﹣1|,a<b<c,且 f(a)>f(c)>f(b) ,则下列结论中成 立的是() A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0 C.2 <2
﹣a

c

D.2 +2 <2

a

c

二、填空题(本大题共 3 小题,其中 11、12、13 为必做题,14、15 为选做题,二选一.每小 题 5 分,共 20 分.请把正确答案填写在答题卷相应的横线上). 11. (5 分)若 f(x)=2 +2 lga 是奇函数,则实数 a=. 12. (5 分)已知函数 y=f(x)的图象在 M(1,f(1) )处的切线方程是 (1)=. 13. (5 分)当 k>0 时,两直线 kx﹣y=0,2x+ky﹣2=0 与 x 轴围成的三角形面积的最大值为. +2,f(1)+f′
x
﹣x

三、 (坐标系与参数方程选做题) 14. (5 分)在极坐标系中,点 A 的极坐标为(2,0) ,直线 l 的极坐标方程为 ρ(cosθ+sinθ) +2=0,则点 A 到直线 l 的距离为.

四、 (几何证明选讲选做题) 15.如图所示,过⊙O 外一点 A 作一条直线与⊙O 交于 C,D 两点,AB 切⊙O 于 B,弦 MN 过 CD 的中点 P.已知 AC=4,AB=6,则 MP?NP=.

五、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)在△ ABC 中,边 a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且满足 bcosC=(3a﹣c) cosB. (1)求 cosB; (2)若 ? =4,b=4 ,求边 a,c 的值.

17. (12 分)年龄在 60 岁(含 60 岁)以上的人称为老龄人,某小区的老龄人有 350 人,他们 的健康状况如下表: 健康指数 2 1 0 ﹣1 60 岁至 79 岁的人数 120 133 32 15 80 岁及以上的人数 9 18 14 9 其中健康指数的含义是: 2 代表“健康”,1 代表“基本健康”,0 代表“不健康, 但生活能够自理”, ﹣1 代表“生活不能自理”. (Ⅰ)随机访问该小区一位 80 岁以下的老龄人,该老龄人生活能够自理的概率是多少? (Ⅱ)按健康指数大于 0 和不大于 0 进行分层抽样,从该小区的老龄人中抽取 5 位,并随机 地访问其中的 3 位.求被访问的 3 位老龄人中恰有 1 位老龄人的健康指数不大于 0 的概率. 18. (14 分)a∈R,解关于 x 的不等式 ≥a(x﹣1) .

19. (14 分)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥底面 ABC,∠BCA=90°,AP=AC,点 D,E 分别在棱 PB,PC 上,且 BC∥平面 ADE. (Ⅰ)求证:DE⊥平面 PAC; (Ⅱ)若 PC⊥AD,且三棱锥 P﹣ABC 的体积为 8,求多面体 ABCED 的体积.

20. (14 分)已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a n+an=2Sn (1)求 a1 (2)求数列{an}的通项; (3)若 bn= (n∈N ) ,Tn=b1+b2+…bn,求证:Tn< .
*

2

21. (14 分)已知函数 f(x)=(x ﹣3x+3)?e 的定义域为[﹣2,t],设 f(﹣2)=m,f(t) =n. (1)试确定 t 的取值范围,使得函数 f(x)在[﹣2,t]上为单调函数; (2)求证:m<n; (3)求证:对于任意的 t>﹣2,总存在 x0∈(﹣2,t) ,满足 = (t﹣1) ;又若
2

2

x

方程

= (t﹣1) ;在(﹣2,t)上有唯一解,请确定 t 的取值范围.

2

广东省佛山一中 2015 届高三上学期期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题的 4 个选项中,只有 1 项是 正确的.请把答案填涂在答题卡上). 2 1. (5 分)设集合 A={x|x ﹣3x+2=0},则满足 A∪B={0,1,2}的集合 B 的个数是() A.1 B. 3 C. 4 D.6 考点: 专题: 分析: 解答: 并集及其运算. 集合. 先求出集合 A 元素,根据集合关系和运算即可得到结论. 2 解:A={x|x ﹣3x+2=0}={x|x=1 或 x=2}={1,2},

若 A∪B={0,1,2},则 0∈B, 则 B={0},{0,2},{1,0},{0,1,2},共 4 个, 故选:C 点评: 本题主要考查集合的基本关系的应用,比较基础. 2. (5 分)已知复数 z 满足(3+4i)z=25,则 z=() A.3﹣4i B.3+4i C.﹣3﹣4i

D.﹣3+4i

考点: 复数相等的充要条件. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 根据题意利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,计算求得 z 的 值. 解答: 解: ∵复数 z 满足 (3+4i) z=25, 则 z= = = =3

﹣4i, 故选:A. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,属于基础题. 3. (5 分)函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 的值分别是() <φ< )的部分图象如图所示,则 ω,φ

A.

B.

C.

D.

考点: y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的 x 值,求出函数的周期 T= 解得 ω=2. 由函数当 x= 此即可得到本题的答案. 解答: 解:∵在同一周期内,函数在 x= ∴函数的周期 T 满足 = 由此可得 T= ﹣ = , 时取得最大值,x= 时取得最小值, 时取得最大值 2, 得到 +φ= +kπ (k∈Z) , 取 k=0 得到 φ=﹣ =π, . 由

=π,解得 ω=2,

得函数表达式为 f(x)=2sin(2x+φ) 又∵当 x= ∴2sin(2? ∵ 时取得最大值 2, +φ)=2,可得 +φ= +2kπ(k∈Z)

,∴取 k=0,得 φ=﹣

故选:A. 点评: 本题给出 y=Asin(ωx+φ)的部分图象,求函数的表达式.着重考查了三角函数的图 象与性质、函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换等知识,属于基础题.

4. (5 分)设 x,y∈R,向量 =(x,1) =(1,y) , =(2,﹣4)且 ⊥ , ∥ ,则 x+y= () A.0

B. 1

C. 2

D.﹣2

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理即可得出. 解答: 解:∵ ⊥ , ∥ , ∴2x﹣4=0,2y+4=0, 解得 x=2,y=﹣2. ∴x+y=0. 故选:A. 点评: 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理,属于基础题.

5. (5 分)已知 A.﹣ B. ﹣

,则 sin2α=() C. D.

考点: 二倍角的正弦. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 条件两边平方,结合二倍角公式即可求解. 解答: 解:将 可得 , 两边平方得, ,

故选 B. 点评: 本题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求 值.

6. (5 分)若 a=2 ,b=log A.充分不必要条件 C. 充要条件

x

x,则“a>b”是“x>1”的() B. 必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: 先画出函数 的图象,根据图象以及充分条件,必要条件的定义即可判断

a>b 与 x>1 的关系. 解答: 解:如图,x=x0 时,a=b,∴若 a>b,则得到 x>x0,且 x0<1,∴a>b 不一定得到 x>1;

∴a>b 不是 x>1 的充分条件; 若 x>1,则由图象得到 a>b,∴a>b 是 x>1 的必要条件; ∴a>b 是 x>1 的必要不充分条件. 故选:B. 点评: 本题考查指数函数、对数函数图象,充分条件,必要条件,必要不充分条件的概念. 7. (5 分)如图所示的程序框图,它的输出结果是()

A.3

B. 4

C. 5

D.6

考点: 循环结构. 专题: 计算题;图表型. 分析: 根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦不满足条件 就退出循环,执行语句 k=k+1,从而到结论. 解答: 解:∵k=0,a=45 时,sina=cosa 不满足判断框中的条件, k=1,a=90 时,sina>cosa,不满足判断框中的条件, k=2,a=135 时,sina>cosa,不满足判断框中的条件, k=3,a=180 时,sina>cosa,不满足判断框中的条件, k=4,a=225 时,sina=cosa,不满足判断框中的条件, k=5,a=270 时,sina<cosa,满足判断框中的条件, 即输出的结果为 5, 故答案为:C 点评: 本题主要考查了循环结构,当满足条件,执行循环,属于基础题. 8. (5 分)在区间[0,10]内随机取出两个数,则这两个数的平方和也在区间[0,10]内的概率 是() A. B. C. D.

考点: 等可能事件的概率. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 首先分析题目求这两个数的平方和也在区间[0,10]内的概率,可以联想到用几何的 方法求解,利用面积的比值直接求得结果. 解答: 解:将取出的两个数分别用 x,y 表示,则 x,y∈[0,10] 2 2 要求这两个数的平方和也在区间[0,10]内,即要求 0≤x +y ≤10, 故此题可以转化为求 0≤x +y ≤10 在区域
2 2

内的面积比的问题.

即由几何知识可得到概率为



故选 D. 点评: 此题考查等可能时间概率的问题,利用几何概型的方法解决本题,概率知识在 2015 届高考中难度有所下降,对利用古典概型和几何概型的基本方法要熟练掌握.

9. (5 分)设函数 值域是() A.{0,1}

表示不超过 x 的最大整数,则函数 y=[f(x)]的

B.{0,﹣1}

C.{﹣1,1}

D.{1,1}

考点: 函数的值域. 专题: 计算题. 分析: 先把函数的解析式变形,根据指数函数的值域和反比例函数的单调性求出函数的值 域,利用[x]表示不超过 x 的最大整数可得本题的答案. 解答: 解:f(x)= ∵2 >0,∴1+2 >1,0< ∴﹣ <y< , ∵[x]表示不超过 x 的最大整数, ∴y=[f(x)]的值域为{0,﹣1}, 故选 B. 点评: 本题考查函数值域的求法,本题利用指数函数的值域与复合函数的单调性规律求解, 解答要细心. 10. (5 分)已知函数 f(x)=|2 ﹣1|,a<b<c,且 f(a)>f(c)>f(b) ,则下列结论中成 立的是() A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0 C.2 <2
﹣a

= ﹣ <1,



x

x

x

c

D.2 +2 <2

a

c

考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据函数在区间(﹣∞,0)上是减函数,结合题设可得 A 不正确;根据函数的解析 式,结合举反例的方法,可得到 B、C 不正确;利用函数的单调性结合函数的解析式,对 a< c 且 f(a)>f(c)加以讨论,可得 D 是正确的.由此不难得到正确选项. 解答: 解:对于 A,若 a<0,b<0,c<0,因为 a<b<c,所以 a<b<c<0, 而函数 f(x)=|2 ﹣1|在区间(﹣∞,0)上是减函数, 故 f(a)>f(b)>f(c) ,与题设矛盾,所以 A 不正确; 对于 B,若 a<0,b≥0,c>0,可设 a=﹣1,b=2,c=3, 此时 f(c)=f(3)=7 为最大值,与题设矛盾,故 B 不正确; 对于 C,取 a=0,c=3,同样 f(c)=f(3)=7 为最大值, 与题设矛盾,故 C 不正确; 对于 D,因为 a<c,且 f(a)>f(c) ,说明可能如下情况成立: c a a c (i)a、c 位于函数的减区间(﹣∞,0) ,此时 a<c<0,可得 0<2 <2 <1,所以 2 +2 <2 成立; (ii)a、c 不在函数的减区间(﹣∞,0) ,则必有 a<0<c,所以 f(a)=1﹣2 >2 ﹣1=f(c) , a c 化简整理,得 2 +2 <2 成立. 综上所述,可得只有 D 正确 故选 D.
a c x

点评: 本题以一个带绝对值的函数为例,在已知自变量大小关系和相应函数值的大小关系 情况下,叫我们判断几个不等式的正确性,着重考查了函数的图象与单调性等知识点,属于中 档题. 二、填空题(本大题共 3 小题,其中 11、12、13 为必做题,14、15 为选做题,二选一.每小 题 5 分,共 20 分.请把正确答案填写在答题卷相应的横线上). 11. (5 分)若 f(x)=2 +2 lga 是奇函数,则实数 a=
x
﹣x



考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题.

分析: 由题设条件可知,可由函数是奇函数,建立方程 f(x)+f(﹣x)=0,由此方程求出 a 的值 解答: 解:函数 f(x)=2 +2 lga 是奇函数 ∴f(x)+f(﹣x)=0, ∴2 +2 lga+2 +2 lga=0,即 2 +2 +lga(2 +2 )=0 ∴lga=﹣1 ∴a= 故答案为: .
x
﹣x ﹣x

x

﹣x

x

x

﹣x

x

﹣x

点评: 本题考查奇函数,解题的关键是熟练掌握奇函数的定义,由定义得出方程 f(x)+f (﹣x)=0,由此方程求出参数的值. 12. (5 分)已知函数 y=f(x)的图象在 M(1,f(1) )处的切线方程是 (1)=3. 考点: 导数的运算. 分析: 先将 x=1 代入切线方程可求出 f(1) ,再由切点处的导数为切线斜率可求出 f'(1)的 值,最后相加即可. 解答: 解:由已知切点在切线上,所以 f(1)= , 所以 f(1)+f (1)=3 故答案为:3 点评: 本题主要考查导数的几何意义,即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的 斜率.


+2,f(1)+f′

,切点处的导数为切线斜率,所以

13. (5 分) 当 k>0 时, 两直线 kx﹣y=0, 2x+ky﹣2=0 与 x 轴围成的三角形面积的最大值为



考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合. 分析: 作出两直线与 x 轴围成的三角形,求出 B 的坐标,写出三角形面积公式,然后利用 基本不等式求最值. 解答: 解:由两直线 kx﹣y=0,2x+ky﹣2=0 与 x 轴围成的三角形如图,

联立

,解得 B(

) .

则 = .

当且仅当 k= ,即 k= 故答案为: .

时上式取等号.

点评: 本题考查线性规划问题,近年来线性规划问题是 2015 届高考数学考试的热点,数形 结合是数学思想的重要手段之一, 是连接代数和几何的重要方法. 随着要求数学知识从书本到 实际生活的呼声不断升高,线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视,是中档题. 三、 (坐标系与参数方程选做题) 14. (5 分)在极坐标系中,点 A 的极坐标为(2,0) ,直线 l 的极坐标方程为 ρ(cosθ+sinθ) +2=0,则点 A 到直线 l 的距离为 . 考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 计算题. 分析: 先求出点 A 的坐标,直线 l 的普通方程,由点到直线的而距离公式求出点 A 到直线 l 的距离. 解答: 解:由题意得 点 A(2,0) ,直线 l 为 ρ(cosθ+sinθ)+2=0,即 x+y+2=0, ∴点 A 到直线 l 的距离为 =2 ,故答案为 2 .

点评: 本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的转化,点到直线的距离公式的应用. 四、 (几何证明选讲选做题) 15.如图所示,过⊙O 外一点 A 作一条直线与⊙O 交于 C,D 两点,AB 切⊙O 于 B,弦 MN 过 CD 的中点 P.已知 AC=4,AB=6,则 MP?NP= .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题.

分析: 由已知中,过⊙O 外一点 A 作一条直线与⊙O 交于 C,D 两点,AB 切⊙O 于 B,我 们由切割线定理,结合已知中 AC=4,AB=6,我们易求出 AD 的长,进而求出弦 CD 的长,又 由弦 MN 过 CD 的中点 P,由相交弦定理我们易求出 MP?NP. 解答: 解:∵AB 为⊙O 的切线,ACD 为⊙O 的割线 2 由切割线定理可得:AB =AC?AD 由 AC=4,AB=6,故 AD=9 故 CD=5 又∵P 是弦 CD 的中点 故 PC=PD= 由相交弦定理得 MP?NP=PC?PD= 故答案为: 点评: 本题考查的知识点是与圆相关的比例线段,分析已知线段与未求线段与圆的关系, 以选择恰当的定理是解答此题的关键. 五、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)在△ ABC 中,边 a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且满足 bcosC=(3a﹣c) cosB. (1)求 cosB; (2)若 ? =4,b=4 ,求边 a,c 的值.

考点: 正弦定理;平面向量数量积的运算;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦,进而利用两角和公式化简整理 求得 cosB 的值. (2)由 ? =4 可得 ac=12,再由余弦定理可得 a +c =40,由此求得边 a,c 的值.
2 2

解答: 解: (1)在△ ABC 中,∵bcosC=(3a﹣c)cosB,由正弦定理可得 sinBcosC=(3sinA ﹣sinC)cosB, ∴3sinA?cosB﹣sinC?cosB=sinBcosC, 化为: 3sinA?cosB=sinC?cosB+sinBcosC=sin (B+C) =sinA. ∵在△ ABC 中,sinA≠0,故 cosB= . (2)由 ? =4,b=4
2

,可得,a?c?cosB=4,即 ac=12.…①.
2 2 2 2

再由余弦定理可得 b =32=a +c ﹣2ac?cosB=a +c ﹣ 由①②求得 a=2,c=6; 或者 a=6,c=2. 综上可得, ,或 .

,即 a +c =40,…②.

2

2

点评: 本题以三角形为载体,主要考查了正弦定理、余弦定理的运用,考查两角和公式.考 查了学生综合分析问题和解决问题的能力,属于中档题.

17. (12 分)年龄在 60 岁(含 60 岁)以上的人称为老龄人,某小区的老龄人有 350 人,他们 的健康状况如下表: 健康指数 2 1 0 ﹣1 60 岁至 79 岁的人数 120 133 32 15 80 岁及以上的人数 9 18 14 9 其中健康指数的含义是: 2 代表“健康”,1 代表“基本健康”,0 代表“不健康, 但生活能够自理”, ﹣1 代表“生活不能自理”. (Ⅰ)随机访问该小区一位 80 岁以下的老龄人,该老龄人生活能够自理的概率是多少? (Ⅱ)按健康指数大于 0 和不大于 0 进行分层抽样,从该小区的老龄人中抽取 5 位,并随机 地访问其中的 3 位.求被访问的 3 位老龄人中恰有 1 位老龄人的健康指数不大于 0 的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)求出该小区 80 岁以下的老龄人数,即可求解老龄人生活能够自理的概率. (Ⅱ)按健康指数大于 0 和不大于 0 进行分层抽样,从该小区的老龄人中抽取 5 位,并随机地 访问其中的 3 位. 写出 5 人中抽取 3 人的基本事件总数, 被访问的 3 位老龄人中恰有 1 位老龄 人的个数,即可求解健康指数不大于 0 的概率. 解答: 解: (Ⅰ)解:该社区 80 岁以下的老龄人共有 120+133+32+15=300 人,…( 1 分) 其中生活能够自理的人有 120+133+32=285 人,…(2 分) 记“随机访问该小区一位 80 岁以下的老龄人,该老人生活能够自理”为事件 A, 则 P(A)= = . …(4 分)

(Ⅱ)根据表中数据可知,社区健康指数大于 0 的老龄人共有 280 人, 不大于 0 的老龄人共有 70 人,…(5 分) 所以,按照分层抽样,被抽取的 5 位老龄人中,有 位为健康指数大于 0 的,

依次记为:a,b,c,d,有一位健康指数不大于 0 的,记为 e. …(7 分) 从这 5 人中抽取 3 人的基本事件有: (a,b,c) (a,b,d) (a,b,e) (a,c,d) (a,c,e) (a,d,e) (b,c,d) (b,c,e) (b,d,e) (c,d,e)共 10 种,…(9 分) 其中恰有 1 位老龄人的健康指数不大于 0 的事件有: (a,b,e) (a,c,e) (a,d,e) (b,c,e) (b,d,e) (c,d,e)共 6 种,…(10 分) 记“被访问的 3 位老龄人中恰有 1 位老龄人的健康指数不大于 0”为事件 B, 则 P(B)= …(12 分)

点评: 本题考查分层抽样,古典概型概率公式的应用,基本知识的考查. 18. (14 分)a∈R,解关于 x 的不等式

≥a(x﹣1) .

考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 通过方程的根的大小对 a 的讨论,然后求出表达式的解集.

解答: 解:原不等式可转化为 (1)当 a=1 时, (*)式为 解得 x<0 或 x≥1. (2)当 a≠1 时, (*)可式为 ①若 a<1,则 a﹣1<0, 解得 ≤x<0,或 x≥1; ≥1, <0, ≥0,

≥0(*) .

≥0

②若 1<a≤2,则 1﹣a<0, 解得 x<0,或 1≤x≤ ;

③若 a>2,则 a﹣1>1,0< 解得 x<0,或 ≤x≤1;

<1,1﹣a<0,

综上,当 a=1 时,不等式解集为{x|x<0 或 x≥1} 当 a<1 时,不等式解集为{x| ≤x<0,或 x≥1} }

当 1<a≤2 时,不等式解集为{x|x<0,或 1≤x≤ 当 a>2 时,不等式解集为{x|x<0,或

≤x≤1}.

点评: 本题考查不等式的解集的求法,分类讨论思想的应用,考查计算能力. 19. (14 分)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥底面 ABC,∠BCA=90°,AP=AC,点 D,E 分别在棱 PB,PC 上,且 BC∥平面 ADE. (Ⅰ)求证:DE⊥平面 PAC; (Ⅱ)若 PC⊥AD,且三棱锥 P﹣ABC 的体积为 8,求多面体 ABCED 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)利用 BC∥平面 ADE,可得 BC∥ED.利用 PA⊥底面 ABC,PA⊥BC.利用 线面垂直的判定可得 BC⊥平面 PAC,即可证明. (II)由(Ⅰ)知,DE⊥平面 PAC,可得 DE⊥PC.进而得到 PC⊥平面 ADE,AE⊥PC.由 于 AP=AC,可得 E 是 PC 的中点,ED 是△ PBC 的中位线.得到 = = .即可得

出 VABCED=



解答: 解: (Ⅰ)∵BC∥平面 ADE,BC?平面 PBC,平面 PBC∩平面 ADE=DE ∴BC∥ED. ∵PA⊥底面 ABC,BC?底面 ABC, ∴PA⊥BC. 又∠BCA=90°,∴AC⊥BC. ∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC. ∴DE⊥平面 PAC. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,DE⊥平面 PAC, ∵PC?平面 PAC,∴DE⊥PC, 又∵PC⊥AD,AD∩DE=D,∴PC⊥平面 ADE,∴AE⊥PC, ∵AP=AC,∴E 是 PC 的中点,ED 是△ PBC 的中位线. = = .

∴VABCED=

=

=6.

点评: 本题考查了线面平行于垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、三棱锥的体 积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 20. (14 分)已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a n+an=2Sn (1)求 a1 (2)求数列{an}的通项; (3)若 bn= (n∈N ) ,Tn=b1+b2+…bn,求证:Tn< .
* 2

考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 2 分析: (1)a n+an=2Sn 中令 n=1 求 a1 2 2 (2)又 a n+an=2Sn 有 a n+1+an+1=2Sn+1,两式相减得并整理得(an+1+an) (an+1﹣an﹣1)=0, 数列{an}是以 a1=1,公差为 1 的等差数列,以此求数列{an}的通项; (3)由(2)得出 an=n,利用放缩法求证:Tn< .

解答: 解: (1)令 n=1,得 a1 +a1=2S1=2a1,∵a1>0,∴a1=1, 2 (2)又 a n+an=2Sn, 2 有 a n+1+an+1=2Sn+1, 两式相减得并整理得(an+1+an) (an+1﹣an﹣1)=0, ∵an>0,∴an+1﹣an=1,∴数列{an}是以 a1=1,公差为 1 的等差数列, 通项公式为 an=1+(n﹣1)×1=n; (3)n=1 时 b1=1< 符合…(9 分) n≥2 时,因为 = =2( ﹣ )

2

所以 Tn=b1+b2+…bn<1+2( ∴Tn< .

+

+…+



)=1

=

点评: 本题考查等差数列的判定与通项公式求解,不等式的证明,是数列与不等式的结合. 21. (14 分)已知函数 f(x)=(x ﹣3x+3)?e 的定义域为[﹣2,t],设 f(﹣2)=m,f(t) =n. (1)试确定 t 的取值范围,使得函数 f(x)在[﹣2,t]上为单调函数; (2)求证:m<n; (3)求证:对于任意的 t>﹣2,总存在 x0∈(﹣2,t) ,满足 = (t﹣1) ;又若
2 2 x

方程

= (t﹣1) ;在(﹣2,t)上有唯一解,请确定 t 的取值范围.

2

考点: 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 计算题;证明题;导数的综合应用. 分析: (1)求导得 f′(x)=(2x﹣3)?e +(x ﹣3x+3)?e =x(x﹣1)e ,从而可得 f(x) 在(﹣∞,0) , (1,+∞)上递增,在(0,1)上递减,从而确定 t 的取值范围; (2)借助(1)可知,f(x)在 x=1 处取得极小值 e,求出 f(﹣2)=m= 2,+∞)上的最小值为 f(﹣2) ,从而得证; (3)化简
2 x 2 x x

<e,则 f(x)在[﹣

=

﹣x0,从而将
2 2

= (t﹣1) 化为
2

2

﹣x0= (t﹣1) ,

2

令 g(x)=x ﹣x﹣ (t﹣1) ,则证明方程 x ﹣x﹣ (t﹣1) =0 在(﹣2,t)上有解,并讨 论解的个数;由二次函数的性质讨论即可. x 2 x x 解答: 解: (1)∵f′(x)=(2x﹣3)?e +(x ﹣3x+3)?e =x(x﹣1)e , 由 f′(x)>0 可得,x>1 或 x<0; 由 f′(x)><0 可得,0<x<1;

∴f(x)在(﹣∞,0) , (1,+∞)上递增,在(0,1)上递减, 欲 f(x)在[﹣2,t]上为单调函数, 则﹣2<t≤0; ∴t 的取值范围为(﹣2,0]. (2)证明:∵f(x)在(﹣∞,0) , (1,+∞)上递增,在(0,1)上递减, ∴f(x)在 x=1 处取得极小值 e, 又∵f(﹣2)=m= <e=f(1) ,

∴f(x)在[﹣2,+∞)上的最小值为 f(﹣2) . 从而当 t>﹣2 时,f(﹣2)<f(t) ,即 m<n; (3)证明:∵ = ﹣x0,


2

= (t﹣1) 可化为
2

2

﹣x0= (t﹣1) ,

2

令 g(x)=x ﹣x﹣ (t﹣1) , 则证明方程 x ﹣x﹣ (t﹣1) =0 在(﹣2,t)上有解,并讨论解的个数. ∵g(﹣2)=6﹣ (t﹣1) =﹣ (t+2) (t﹣4) , g(t)=t(t﹣1)﹣ (t﹣1) = (t+2) (t﹣1) , ①当 t>4 或﹣2<t<1 时, g(﹣2)?g(t)<0,则方程 x ﹣x﹣ (t﹣1) =0 在(﹣2,t)上有且只有一解; ②当 1<t<4 时,g(﹣2)>0,且 g(t)>0, 又∵g(0)=﹣ (t﹣1) <0, ∴方程 x ﹣x﹣ (t﹣1) =0 在(﹣2,t)上有解,且有两解; ③当 t=1 时,g(x)=x ﹣x=0, 从而解得,x=0 或 x=1, 故方程 x ﹣x﹣ (t﹣1) =0 在(﹣2,t)上有且只有一解; ④当 t=4 时,g(x)=x ﹣x﹣6=0, 从而解得,x=﹣2 或 x=3, 故方程 x ﹣x﹣ (t﹣1) =0 在(﹣2,t)上有且只有一解;
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

综上所述,对于任意的 t>﹣2,总存在 x0∈(﹣2, t) ,满足

= (t﹣1) ;

当方程

= (t﹣1) 在(﹣2,t)上有唯一解时,t 的取值范围为(﹣2,1]∪[4,

2

+∞) . 点评: 本题考查了导数的综合应用,同时考查了分类讨论的数学思想应用,属于难题.


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