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弧度制(二)


弧度制(二)弧长公式和扇形面积公式

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? 角度制下的弧长公式
l? n? r 180 ( n为 角 的 角 度 数 )

? 角度制下的扇形面积公式

S ?

n? r

2

360

? 扇形的周长为C,弧长为l ,则C= 2r ? l

? 弧度制下的弧长公式: l ? ? ? r (? 为 弧 度 数 )
? 弧度制下的扇形面积公式: ? 1 lr ? 1 ? ? r 2 S
2 2

? 课本P10例3 ? 注意:如果是以“度”为单位时, 则必须先把它化成弧度后再用公式计算

? 导与练做一做2

扇形的弧长、面积公式的应用 【例 1】 (1)在已知圆内,1 弧度的圆心角所对的弦长 为 2, 则这个圆心角所对弧长为多少? (2)扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm, 求它的圆心角和弦 AB 的长.
思路点拨:考查弧长公式、扇形面积 公式.一般都要做出弦心距构造直角三角 形.

解:(1)如图所示,由圆心 O 向弦 AB 作垂线,垂足为 C,则 C 为 AB 的中点,∠AOB =1 弧度. ∴R= AB 的长, 1 ∠AOC= 弧度,又 AB=2,∴AC=1, 2 CA 在 Rt△AOC 中,sin ∠AOC= ,即 OA 1 OA= . 1 sin 2 1 由 1 弧度的角的定义可知,弧长为 . 1 sin 2

(2)令 AB 的长度为 l. 则 l=4-2r. 1 ∵S 扇形= lr, 2 1 ∴ (4-2r)r=1. 2 ∴r=1,l=2. l 设∠AOB=α 弧度,则 α= =2 弧度. r 过 O 作 OH⊥AB 于 H,则 AB=2AH=2rsin 1=2sin 1 (cm) ∴扇形 OAB 的圆心角为 2 弧度,弦 AB 的长为 2sin 1 cm.

1 1 题目关系众多, 但只要把握住弧长公式 l=|α|·R, 扇形面积公式 S= lR= 2 2 2 |α|R 时,理清思路,就能解决问题.

变式训练 11:已知扇形的周长为 6 cm,面积为 2 cm ,求扇形中心角的弧度数.

2

?l+2r=6, ? 解:设扇形所在圆弧的长为 l,所在圆的半径为 r,由题意得?1 ?2lr=2. ?
消去 l 得 r2 -3r+2=0, 解得 r=1 或 r=2. l 4 当 r=1 时,l=4,中心角 α= = =4; r 1 l 2 当 r=2 时,l=2,中心角 α= = =1. r 2 ∴扇形的中心角为 1 弧度或 4 弧度.

有关扇形弧长、面积的最值问题 【例 2】 用 30 cm 长的铁丝围成一个扇形,应怎样设计才能使扇形的面积最大?最大 面积是多少?
思路点拨:设扇形半径为 r,则扇形面积可表示成 r 的二次函数,可利用二次函数求最 值的方法求解,或考虑其他求法.

解:设扇形半径为 r,弧长为 l,扇形面积为 S. 则 l+2r=30,即 l=30-2r.① 1 将①式代入 S= lr, 2 1 2 得 S= (30-2r)· r=-r +15r 2 15 2 225 =-(r- ) + . 2 4 15 225 ∴当 r= 时,扇形面积最大,且最大面积为 (cm2) 2 4 30-15 此时圆心角 θ= =2. 15 2

合理选择参数,运用函数思想、转化思想,解决扇形中的有关最值问题, 将面积表示为半径的函数转化为 r 的二次函数最值问题,此解法简单,应注意选用.

? 另解:

变式训练 21:已知扇形的面积为 16 cm2,试求当扇形的半径和圆心角各取何值时,扇 形的周长最小?

1 32 解:设扇形的弧长为 l,半径为 r,则 lr=16,l= . 2 r 32 4 2 ∴扇形的周长 C=2r+ =2( r- ) +16≥16. r r

当 r=4 时,圆心角 α=2, 故当扇形的半径为 4 cm,圆心角为 2 rad 时,周长有最小值 16 cm.

综合应用问题 【例 3】 如图,已知长为 3 dm,宽 1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚,翻 滚到第四次时被一小木板挡住,使木块底面成 30° 的角,问点 A 走过的路程的长及走过的弧 度所在扇形的总面积.

思路点拨:要明确木块翻滚时的路线是圆弧,找出每段弧所对的圆心角及半径即可.

π π 解: AA1 所对的圆半径是 2,圆心角为 ; A1 A2 所对圆半径是 1,圆心角是 ; A2 A3 2 2 π 所对圆半径是 3,圆心角是 .所以走过的路程是 3 段圆弧之和,即 3 π π π 9+2 3 2× +1× + 3× = π(dm); 2 2 3 6 3 段弧所对的扇形的总面积是 1 1 π 1 3π 7 ×2×π+ × + × 3× = π(dm2 ). 2 2 2 2 3 4

把总路程各弧长的和又转化为各自的半径与所转过的圆心角弧度数之和, 这种等价转化思想是经常使用的.

作业
? 1.已知一扇形的周长为40cm,当它的半径 和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积 最大?最大面积是多少? ? 2.导与练P9:4


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