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2013届高三数学二轮复习 必考问题专项突破17 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题 理


17

与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题

1.(2011?新课标全国)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( A.18 C.36 B.24 D.48
2

).

答案:C [不妨设抛物线的标准方程为 y =2px(p>0), 由于 l 垂直于对称轴且过焦点, 故直线 l 的方程为 x= .代入 y =2px 得 y=±p,即|AB|=2p,又|AB|=12,故 p=6,所以 2 1 抛物线的准线方程为 x=-3,故 S△ABP= ?6?12=36.] 2 2.(2011?山东)设 M(x0,y0)为抛物线 C:x =8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( A.(0,2) C.(2,+∞)
2 2

p

2

).

B.[0,2] D.[2,+∞)

答案:C [∵x =8y,∴焦点 F 的坐标为(0,2),准线方程为 y=-2.由抛物线的定义知 |MF|=y0+2.以 F 为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为 x +(y-2) =(y0+2) . 由于以 F 为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,又圆心 F 到准线的距离为 4,故 4<y0 +2,∴y0>2.] 3.(2010?福建)若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线 2-y =1(a>0)的中心和左焦点, 点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 O P ?F P 的取值范围为( A.[3-2 3,+∞) B.[3+2 3,+∞)
2 2 2

x2 a

2





).

? 7 ? C.?- ,+∞? ? 4 ?
答案:B
2

?7 ? D.? ,+∞? ?4 ?
2

[如图,由 c=2 得 a +1=4,∴a =3,

∴双曲线方程为 -y =1. 3 设 P(x,y)(x≥ 3),

x2

2

→ → O P ?F P =(x,y)?(x+2,y)=x2+2x+y2

1

x 4 2 2 =x +2x+ -1= x +2x-1(x≥ 3). 3 3
4 2 令 g(x)= x +2x-1(x≥ 3),则 g(x)在[ 3,+∞)上单调递增.g(x)min=g( 3)=3 3 +2 3.∴O P ?F P 的取值范围为[3+2 3,+∞).] 4.(2012?浙江)定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的 距离.已知曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:
2 2 2

2





y=x 的距离,则实数 a=________.
|0-? -4? 2 2 解析 因曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:y=x 的距离为 2 - 2= 2,则曲线 C1 与直线 l 不能相交,即 x +a>x,∴x +a-x>0. 设 C1:y=x +a 上一点为(x0,y0),
2 2 2

| -

2=2

2

则点(x0,y0)到直线 l 的距离 d= 9 所以 a= . 4 答案 9 4

?x0-1?2+a-1 ? ? 2? 4 4a-1 |x0-y0| -x0+x +a ?
2 =
2 0

2



2



4

2

= 2,

本部分主要以解答题形式考查, 往往是试卷的压轴题之一, 一般以椭圆或抛物线为背景, 考查定点、定值、最值、范围问题或探索性问题,试题难度较大.

复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上,要在解题方法、解题思想上深入下去.解 析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、 曲线的某些几何性质, 代数方程 是解题的桥梁, 要掌握一些解方程(组)的方法, 掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应 用, 掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法; 其次注意分类讨论思想、 函数与方程思想、 化归与转化思想等的应用, 如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标的函数, 通过函数 的最值研究几何中的最值.

必备知识 ?有关弦长问题 有关弦长问题,应注意运用弦长公式及韦达定理,“设而不求”;有关焦点弦长问题, 要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算.

2

(1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|= 1+k |x2-x1|或|P1P2|= 即作如下变形: |x2-x1|= ? ? |y2-y1|=
2

1 1+ 2|y2-y1|, 其中求|x2-x1|与|y2-y1|时通常使用韦达定理,

k

x1+x2? y1+y2?

2

-4x1x2; -4y1y2.

2

(2)弦的中点问题 有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求法”来简化运算. ?圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值

x2 y2 F1、F2 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为椭圆的任意一点,B 为短轴的一个 a b
端点,O 为坐标原点,则有 ①|OP|∈[b,a]; ②|PF1|∈[a-c,a+c]; ③|PF1|?|PF2|∈[b ,a ]; ④∠F1PF2≤∠F1BF2. (2)双曲线中的最值
2 2

x2 y2 F1、F2 为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线上的任一点,O 为坐 a b
标原点,则有 ①|OP|≥a; ②|PF1|≥c-a. (3)抛物线中的最值 点 P 为抛物线 y =2px(p>0)上的任一点,F 为焦点,则有 ①|PF|≥ ; 2 ②A(m,n)为一定点,则|PA|+|PF|有最小值. 必备方法 1.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表 示问题的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量 所影响的一个点、一个值,就是要求的定点、定值.化解这类问题的关键就是引进变的参数 表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的 量. 2.解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系,根据
3
2

p

目标函数和不等式求最值、范围,因此这类问题的难点,就是如何建立目标函数和不等关 系. 建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量, 其原则是这个变量能够表达要解 决的问题,这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等,要根据问题的实际情况 灵活处理.

圆锥曲线中的定点、定值问题 该类问题多以直线与圆锥曲线为背景,常与函数与方程、向量等知识交汇,形成了过定 点、定值等问题的证明.难度较大. 【例 1】? (2012?湖南)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 上的点均在圆 C2:(x-5) +y
2 2

=9 外, 且对 C1 上任意一点 M, 到直线 x=-2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. M (1)求曲线 C1 的方程; (2)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交 于点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x=-4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为 定值. [审题视点]

[听课记录] [审题视点] (1)直接根据曲线与方程的概念求解, 或者转化为根据抛物线的定义求解均 可;(2)首先建立圆的两条切线的斜率与点的坐标之间的关系,其次把圆的切线方程与抛物 线方程联立消元, 根据根与系数的关系得出纵坐标之和和纵坐标之积, 最后从整体上消去参 数(圆的切线斜率)即可得证. (1)解 法一 设 M 的坐标为(x,y),由已知得|x+2|= ? x-5? 易知圆 C2 上的点位于直线 x=-2 的右侧,于是 x+2>0, 所以 ?
2

+y -3.

2

x-5?

2

+y =x+5.
2

2

化简得曲线 C1 的方程为 y =20x. 法二 由题设知,曲线 C1 上任意一点 M 到圆心 C2(5,0)的距离等于它到直线 x=-5 的 距离.因此,曲线 C1 是以(5,0)为焦点,直线 x=-5 为准线的抛物线.故其方程为 y =20x. (2)证明 当点 P 在直线 x=-4 上运动时,P 的坐标为(-4,y0),又 y0≠±3,则过 P 且与圆 C2 相切的直线的斜率 k 存在且不为 0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为
2

y-y0=k(x+4),即 kx-y+y0+4k=0.于是
整理得 72k +18y0k+y0-9=0.①
2 2

|5k+y0+4k| =3. k2+1

设过 P 所作的两条切线 PA,PC 的斜率分别为 k1,k2,则 k1,k2 是方程①的两个实根,

4

18y0 y0 故 k1+k2=- =- .② 72 4 由?
?k1x-y+y0+4k1=0, ? ? ?y =20x
2

得 k1y -20y+20(y0+4k1)=0.③

2

设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 y1,y2,y3,y4,则 y1,y2 是方程③的两个实根,所 20? y0+4k1? 以 y1y2= .④

k1

20? 同理可得 y3y4=

y0+4k2? .⑤ k2

于是由②,④,⑤三式得

y1y2y3y4=
2

400?

y0+4k1? ? y0+4k2? k1k2 k1+k2? y0+16k1k2] k1k2

= =

400[y0+4? 400?

2 2 y0-y0+16k1k2? =6 400. k1k2

所以,当 P 在直线 x=-4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值 6 400. 解圆锥曲线中的定点、 定值问题可以先研究一下特殊情况, 找出定点或定值, 再视具体情况进行研究.同时,也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定值、定点问题的选择 题或填空题,如将过焦点的弦特殊化,变成垂直于对称轴的弦来研究等. 【突破训练 1】 设抛物线 C:y =4x,F 为 C 的焦点,过 F 的直线 L 与 C 相交于 A,B 两点. (1)设 L 的斜率为 1,求|AB|的大小; → → (2)求证:OA?OB是一个定值. (1)解 ∵F(1,0),∴直线 L 的方程为 y=x-1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由? ∴x1+x2=6,x1x2=1. ∴|AB|= ? x2-x1? = 2? ?
2 2

? ?y=x-1, ? ?y =4x
2

得 x -6x+1=0,

2

+?

y2-y1?

2

x1+x2?

2

-4x1x2

= 2? 36-4=8. (2)证明 设直线 L 的方程为 x=ky+1, 由?
?x=ky+1, ? ? ?y =4x
2

得 y -4ky-4=0.

2

→ → ∴y1+y2=4k,y1y2=-4,OA=(x1,y1),OB=(x2,y2).
5

→ → ∵O A ?OB=x1x2+y1y2
=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2 =k y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2 =-4k +4k +1-4=-3. → → ∴OA?OB是一个定值. 圆锥曲线中的最值、范围问题 该类试题设计巧妙、命制新颖别致,常求特定量、特定式子的最值或范围.常与函数解 析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇,成为近年高考热点.
2 2 2

x y 1 【例 2】? (2012?浙江)如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到 a b 2
点 P(2,1)的距离为 10.不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分.

2

2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求△ABP 面积取最大值时直线 l 的方程. [审题视点]

[听课记录] 1 [审题视点] (1)利用椭圆的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10求解. 2 (2)由题意可知直线 l 的斜率存在,设为 y=kx+m,结合椭圆方程,线段 AB 被直线 OP 平分可求 k 值.然后以 AB 为底,点 P 到直线 AB 的距离为高表示出 S△ABP 的表达式,借助导 数求最值. 解 (1)设椭圆左焦点为 F(-c,0),则由题意得
2

? ? 2+c? ? ?c 1 ?a=2, ?

+1= 10,

得?

?c=1, ? ?a=2. ?

所以椭圆方程为 + =1. 4 3

x2 y2

6

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M. 当直线 AB 与 x 轴垂直时,直线 AB 的方程为 x=0,与不过原点的条件不符,舍去.故 可设直线 AB 的方程为 y=kx+m(m≠0), 由?
?y=kx+m, ? ?3x +4y =12 ?
2 2 2 2

消去 y,整理得
2

(3+4k )x +8kmx+4m -12=0,(1) 则 Δ =64k m -4(3+4k )(4m -12)>0, 8km ?x +x =-3+4k , ? ? 4m -12 ?x x = 3+4k . ?
1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2

所以线段 AB 的中点 M?-

? 4km 2, 3m 2?. ? ? 3+4k 3+4k ?

1 3m -2km 因为 M 在直线 OP:y= x 上,所以 2= 2. 2 3+4k 3+4k 3 得 m=0(舍去)或 k=- . 2 此时方程(1)为 3x -3mx+m -3=0,则
2 2

?x1+x2=m, ? Δ =3(12-m )>0,? m2-3 x1x2= . ? 3 ?
2

所以|AB|= 1+k ?|x1-x2|= 设点 P 到直线 AB 距离为 d,则

2

39 2 ? 12-m . 6

d=

|8-2m| 2|m-4| = . 2 2 3 +2 13

设△ABP 的面积为 S,则

S= |AB|?d=
其中 m∈(-2

1 2

3 ? ? m-4? 6 3,0)∪(0,2
2 2

2

?

12-m ?

2

.

3). 3,2 3],

令 u(m)=(12-m )(m-4) ,m∈[-2

u′(m)=-4(m-4)(m -2m-6)
7

2

=-4(m-4)(m-1- 7)(m-1+ 7). 所以当且仅当 m=1- 7,u(m)取到最大值. 故当且仅当 m=1- 7,S 取到最大值. 综上,所求直线 l 方程为 3x+2y+2 7-2=0.

求最值或范围常见的解法:(1)几何法.若题目的条件和结论能明显体现几 何特征及意义,可考虑利用图形性质来解决;(2)代数法.若题目的条件和结论能体现一种 明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求最值;(3)求函数最值常用的代数法有配方 法、判别式法、导数法、基本不等式法及函数的单调性、有界性法等. 【突破训练 2】 (2012?陕西五校联考)已知双曲线 x - =1 的左顶点为 A1,右焦点为 3
2

y2

F2,P 为双曲线右支上一点,则PA1?PF2的最小值为(
81 A.-2 B.- C.1 16 D.0





).

→ → 答案: A [由已知得 A1(-1,0),F2(2,0).设 P(x,y)(x≥1),则PA1?PF2=(-1-x, -y)?(2-x,-y)=4x -x-5.令 f(x)=4x -x-5,则 f(x)在[1,+∞)上单调递增,所 → → 以当 x=1 时,函数 f(x)取最小值,即PA1?PF2取最小值,最小值为-2.]
2 2

8

圆锥曲线中探索性问题 此类问题命题背景宽,涉及知识点多,综合性强,探究平分面积的线、平分线段的线, 或探究等式成立的参数值.常与距离、倾斜角、斜率及方程恒成立问题综合,形成知识的交 汇. 【例 3】 (2011?重庆卷改编)如图, ? 椭圆的中心为原点 O, 离心率 e= 2 a , =2 2. 且 2 c
2

(1)求该椭圆的标准方程; → → → (2)设动点 P 满足:OP=OM+2ON,其中 M、N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积 1 为- .问:是否存在两个定点 F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值?若存在,求 F1,F2 的坐标; 2 若不存在,说明理由. [审题视点]

[听课记录] [审题视点] (1)利用 e= 2 a , =2 2求 a,c. 2 c
2

→ → → (2)设 P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),由OP=OM+2ON可得 x=x1+2x2,y=y1+2y2, 又点 M、N 在椭圆 x +2y =4 上,可得 x1+2y1=4,x2+2y2=4,再结合直线 OM 与 ON 的斜率 1 2 2 之积为- .可求得点 P 满足方程 x +2y =20.由椭圆的定义可求解. 2 解 (1)由 e= =
2 2 2 2 2 2

c a

2 a 2 2 2 , =2 2,解得 a=2,c= 2,b =a -c =2,故椭圆的标准方 2 c

2

程为 + =1. 4 2 → → → (2)设 P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),则由OP=OM+2ON,得(x,y)=(x1,y1)+2(x2,

x2 y2

y2)=(x1+2x2,y1+2y2),
即 x=x1+2x2,y=y1+2y2.因为点 M、N 在椭圆 x +2y =4 上, 所以 x1+2y1=4,x2+2y2=4, 故 x +2y =(x1+4x2+4x1x2)+2(y1+4y2+4y1y2) =(x1+2y1)+4(x2+2y2)+4(x1x2+2y1y2) =20+4(x1x2+2y1y2).
9
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

设 kOM,kON 分别为直线 OM,ON 的斜率,由题设条件知

y1y2 1 kOM?kON= =- ,因此 x1x2+2y1y2=0, x1x2 2
所以 x +2y =20. 所以 P 点是椭圆 ?
2 2

x2
2 5?

+ 2 ?

y2
10?

2

=1 上的点,设该椭圆的左、右焦点为 F1,F2,则 2 5?
2

由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值,又因 c= ? 坐标为 F1(- 10,0),F2( 10,0).

-?

10?

2

= 10,因此两焦点的

探究是否存在的问题,一般均是先假设存在,然后寻找理由去确定结论,如 果真的存在,则能得出相应结论,如果不存在,则会由条件得出相互矛盾的结论. 【突破训练 3】 (2012?济南模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为

x2 k 的直线 l 与椭圆 +y2=1 有两个不同的交点 P 和 Q.
2 (1)求 k 的取值范围; → (2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B,是否存在常数 k,使得向量OP → → +OQ与AB共线?如果存在,求 k 的值;如果不存在,请说明理由. 解 (1)由已知,得直线 l 的方程为 y=kx+ 2,

代入椭圆方程,得 +(kx+ 2) =1, 2

x2

2

?1 2? 2 整理,得? +k ?x +2 2kx+1=0,① ?2 ?
直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于

?1 2? 2 2 Δ =8k -4?? +k ?=4k -2>0, ?2 ?
解得 k<- 2 2 或 k> , 2 2

即 k 的取值范围为?-∞,- (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),

? ?

2? ? 2 ? ?∪? ,+∞?. 2? ?2 ?

4 2k 由方程①,得 x1+x2=- 2,② 1+2k 又 y1+y2=k(x1+x2)+2 2.③ → 而 A( 2,0),B(0,1),AB=(- 2,1), → → → 所以OP+OQ与AB共线等价于

10

x1+x2=- 2(y1+y2),
将②③代入上式,解得 k= 由(1)知 k<- 2 , 2

2 2 或 k> ,故没有符合题意的常数 k. 2 2

圆锥曲线“最”有应得 椭圆、双曲线、抛物线的最值问题的解题方法较灵活,学生时常感到无从下手.常遇到 面积最大最小问题,距离的最长最短问题,不定量的最大最小问题等等,下面给同学们提供 两种解法,只要掌握了它们,就可以“最”有应得. 一、几何法求最值 【示例 1】? 抛物线的顶点 O 在坐标原点,焦点在 y 轴负半轴上,过点 M(0,-2)作直 → → 线 l 与抛物线相交于 A,B 两点,且满足OA+OB=(-4,-12). (1)求直线 l 和抛物线的方程; (2)当抛物线上一动点 P 从点 A 运动到点 B 时,求△ABP 面积的最大值. [满分解答] (1)根据题意可设直线 l 的方程为 y=kx-2,抛物线方程为 x =-2py(p >0). 由?
?y=kx-2, ? ? ?x =-2py,
2 2

得 x +2pkx-4p=0.(2 分)
2

2

设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-2pk,y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk -4.
?-2pk=-4, ? → → 所以OA+OB=(-4,-12),所以? 2 ? ?-2pk -4=-12,

解得?

? ?p=1, ? ?k=2.

故直线 l 的方程为 y=2x-2,抛物线方程为 x =-2y.(6 分)

2

(2)设 P(x0,y0),依题意,知当抛物线过点 P 的切线与 l 平行时,△ABP 的面积最大. 1 2 1 2 对 y=- x 求导,得 y′=-x,所以-x0=2,即 x0=-2,y0=- x0=-2,即 P(-2, 2 2 -2). 此时点 P 到直线 l 的距离

d=

|2?? -2? -? -2? 2 +? -1?
2 2 2

-2| 4 4 5 = = .(9 分) 5 5

由?

?y=2x-2, ? ? ?x =-2y,
2

得 x +4x-4=0,

11

则 x1+x2=-4,x1x2=-4, |AB|= = =4 1+k ?
2 2

? x1+x2?
2

2

-4x1x2

1+2 ? ? 10.

-4?

-4?? -4?

于是,△ABP 面积的最大值为 1 ?4 2 10? 4 5 5 =8 2.(12 分)

老师叮咛: 当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值问题时, 可以通过 作与这条直线平行的圆锥曲线的切线,则两条平行线间的距离,就是所求的最值,切点就是 曲线上取得最值的点,这种求最值的方法称为切线法. 切线法的基本思想是数形结合, 其中求曲线的切线方程需要利用导数知识, 判断切线与 曲线的最值需要借助几何图形的直观性, 通过图形来确定何时取得最大值, 何时取得最小值. 二、函数法求最值 【示例 2】? (2012?广东)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b> 0)的离心率 e= 2 ,且椭圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3. 3

x2 y2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n),使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x +y =1 相交 于不同的两点 A、 , B 且△OAB 的面积最大?若存在, 求出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面积; 若不存在,请说明理由.
2 2

c [满分解答] (1)由 e= = a x2 y2
2 2

a2-b2 = a2
2

2 ,得 a= 3b, 3

椭圆 C: 2+ 2=1,即 x +3y =3b , 3b b 设 P(x,y)为 C 上任意一点, 则|PQ|= -b≤y≤b. 若 b<1,则-b>-1,当 y=-b 时,|PQ|max= 0,得 b=1(舍去), 若 b≥1,则-b≤-1,当 y=-1 时,|PQ|max= 1. ∴椭圆 C 的方程为 +y =1.(6 分) 3 -2? -1+1?
2

x2+? y-2?

2



-2?

y+1?

2

+3b +6,

2

-2? -b+1?

2

+3b +6=3,又 b>

2

+3b +6=3,得 b=

2

x2

2

12

(2)法一

假设存在这样的点 M(m,n)满足题意,则有 +n =1,即 n =1- ,- 3 3 3

m2

2

2

m2

1 1 1 ≤m≤ 3.由题意可得 S△AOB= |OA|?|OB|sin∠AOB= sin∠AOB≤ , 2 2 2 当∠AOB=90°时取等号,这时△AOB 为等腰直角三角形, 此时圆心(0,0)到直线 mx+ny=1 的距离为 则 1
2

2 , 2

m2+n

= 2

2 m 3 1 2 2 2 2 2 ,得 m +n =2,又 +n =1,解得 m = ,n = ,即存点 M 的坐标为 2 3 2 2

2? ? 6 2? ? 6 2? ? 6 2? ? 6 ? , ?,? ,- ?,?- , ?,?- ,- ?满足题意,且△AOB 的最大面积为 2 ? ?2 2 ? ? 2 2 ? ? 2 2? ?2 1 .(12 分) 2

法二 假设存在这样的点 M(m,)满足题意, n 则有 +n =1, n =1- , 3≤m≤ 3, 即 - 3 3 又设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由? ① 把 n =1- 代入①整理得(3+2m )x -6mx+m =0, 3 则 Δ =8m (3-m )≥0, 6m ?x +x =3+2m , ? ∴? m ?x x =3+2m , ?
1 2 2 2 1 2 2 2 2 2

m2

2

2

m2

? ?mx+ny=1 ?x +y =1 ?
2 2

,消去 y 得(m +n )x -2mx+1-n =0,

2

2

2

2

m2

2

2

2



1 1 而 S△AOB= |OA|?|OB|sin∠AOB= sin∠AOB, 2 2 1 当∠AOB=90°,S△AOB 取得最大值 , 2 1-mx1 1-mx2 3-3m? x1+x2? +3m x1x2 → → 此时OA?OB=x1x2+y1y2=0,又 y1y2= ? = , 2 n n 3-m 3-3m? x1+x2? +3m x1x2 ∴x1x2+ =0, 2 3-m 即 3-3m(x1+x2)+(3+2m )?x1x2=0, 把②代入上式整理得 2m -9m +9=0, 3 2 2 解得 m = 或 m =3(舍去), 2
13
4 2 2 2 2

∴m=±

6 ,n=± 2

m 2 1- =± , 3 2

2

∴M 点的坐标为? 1 取得最大值 .(12 分) 2

2? ? 6 2? ? 6 2? ? 6 2? ? 6 , ?,? ,- ?,?- , ?,?- ,- ?,使得 S△AOB 2 2? ?2 2 ? ? 2 2 ? ? 2 2 ? ?

老师叮咛: 当所求的最值可以表示成某个变量的函数关系式时, 我们常常先建立对应的 函数关系式,然后利用函数方法求出对应的最值,称这种方法为函数法,这是解析几何问题 中求最值的常用方法. 函数法是研究数学问题的一种最重要的方法, 用这种方法求解圆锥曲 线的最值问题时, 除了重视建立函数关系式这个关键点外, 还要密切注意所建立的函数式中 的变量是否有限制范围, 这些限制范围恰好制约了最值的取得, 因此在解题时要予以高度关 注. 【试一试】 抛物线 y=-x 上的点到直线 4x+3y-8=0 的距离的最小值是( A. 4 7 B. 3 5 8 C. 5 D.3
2

).

答案: A

[可知过抛物线点的切线与直线 4x+3y-8=0 平行时, 所求的距离最小, ′ y

4? 4 2 4 4? 2? ?2 =-2x.令-2x=- , 解得 x= , 从而切点坐标为? ,- ?, 切线方程为 y+ =- ?x- ?, 3 9? 3 3 9 3? 3? ? 4 ? 即 4x+3y- =0, 由两平行线间距离公式, 得点到直线的距离的最小值为 d= 3 4 = .故选 A.] 3

?-8-?-4?? ? ? 3?? ? ??
4 +3
2 2

14


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