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平面向量知识点总复习(学生版)


平面向量知识点总结归纳
1、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 2、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

? ? ? ? ? ? ⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b .

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ;②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;

?

?

?

?

? ? ? ? ? ③ a ?0 ? 0?a ? a .

C ? a
?

? b

?

? ? ? ? ???? ??? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

? ? ? ? ⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
3、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ? ? ? ? ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
-1-

??? ? 设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
4、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ? ? ① ?a ? ? a ; ? ? ? ? ②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相 ? ? 反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 .

? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑵运算律:① ? ? ? a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b .

?

?

? ? ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ? a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? .

? ? ? ? 5、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使

?

?

? ? b ? ?a .

? ? ? ? ? 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、
? ? ? b b ? 0 共线.

?

?

?? ?? ? 6、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于 ?? ?? ? ? ? 这一平面内的任意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . (不共 ?? ?? ? 线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底)

7、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点, ?1 、 ? 2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,

? x2 , y2 ? ,当 ?1? ? ? ??2 时,点 ? 的坐标是 ? ?

??? ?

????

x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , ?. 1? ? ? ? 1? ?

8、平面向量的数量积: ? ? ? ? ? ? ? ? ⑴ a ? b ? a b cos? a ? 0, b ? 0,0? ? ? ? 180? .零向量与任一向量的数量积为 0 .

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 a ? b ? a b ;当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a 2 ? a 或 a ? a ? a .③
? ? ? ? a ?b ? a b . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑶运算律: a ? b ? b ? a ; ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ; a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ① ② ③

? ?

? ?

?

?

? ? ? ? ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .
-2-

? ? ?2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x2 ? y2 ,或 a ? x 2 ? y 2 .

? ? ? ? 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

? ? ? ? ? ? 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则 ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos? ? ? ? ? . 2 2 a b x12 ? y 12 x 2 ? y 2

平面向量测试题
一、选择题: 1.已知 a、b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么|a+3b|= A. 7 B. 10 C. 13 ( D.4 ( ) )

2 已知 a、b 是非零向量且满足(a-2b) ⊥a,(b-2a) ⊥b,则 a 与 b 的夹角是

? ? 2? 5? B. C. D. 6 3? 3 ? ? ? ? ? 6 ? ? ? 3 若向量 a与b 的夹角为 60 , | b |? 4, (a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,则向量 a 的模为
A. A.2 B.4 C.6 D.12





4 已知平面上直线 l 的方向向量 e=(- 4 , 3 ),点 O(0,0)和点 A(1,-2)在 l 上的射影分
5 5

别为 O' 和 A' ,则 O' A' ? λe,其中λ= A
11 5





B - 11
5

C2

D -2

5 在 ?ABC 中,有命题① AB ? AC ? BC ;② AB ? BC ? CA ? 0 ;③若

( AB ? AC) ? ( AB ? AC) ? 0 ,则 ?ABC 为等腰三角形;④若 AC ? AB ? 0 ,则 ?ABC 为锐角
三角形.上述命题正确的是 (A)①② (B)①④ (C)②③ ( (D)②③④ )

6 若平面向量 b 与向量 a ? (1,?2) 的夹角是 180 o ,且 | b |? 3 5 ,则 b ? ()
(A) (?3,6) (B) (3,?6) (C) (6,?3) (D) (?6,3)

7 已知向量 a ? (1,2), b(?2,?4),| c |? 5, 若(a ? b) ? c ? A.30° B.60° C.120° D.150°

5 , 则a与c的夹角为 ( 2




? ? ? ? ? ? ? 8 已知向量 a ≠ e ,| e |=1,对任意 t∈R,恒有| a -t e |≥| a - e |,则
(A) a ⊥ e



?

?

(B) a ⊥( a - e ) (C) e ⊥( a - e ) (D) ( a + e )⊥( a - e )

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

9 点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点,满足 OA? OB ? OB? OC ? OC? OA,则点 O 是
-3-

?ABC的
(A)三个内角的角平分线的交点 (C)三条中线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (D)三条高的交点





10 P 是△ABC 所在平面上一点, PA? PB ? PB? PC ? PC? PA, P 是△ABC 的 若 则 ( A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心



11 已知点 A( 3 ,1) ,B(0,0)C( 3 ,0).设∠BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E, 那么有 BC ? ? CE , 其中? 等于 ( A.2 B. )

1 2

C.-3 D.-

1 3

12 点 P 在平面上作匀速直线运动,速度向量 v=(4,-3) (即点 P 的运动方向与 v 相同, 且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点 P 的坐标为(-10,10) ,则 5 秒后点 P 的坐标为 ( ) A. (-2,4) B. (-30,25) C. (10,-5) D. (5,-10) 二、填空题 13 已知向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? (? k ,10) ,且 A、B、C 三点共线,则 14 平面向量 a, b 中,已知 a =(4,-3), b =1,且 a ? b =5,则向量______. 15 已知向量 a= (cos? , sin ? ) ,向量 b= ( 3 ,?1) ,则|2a-b|的最大值是 16 已知点 A(1, -2),若向量 AB 与 a ={2,3}同向, AB =2 13 ,则点 B 的坐标为 三、解答题 17 已知非零向量 a , b ,满足 a =1 且 (a ? b)? a ? b) ? ( 若 a? ? b ..

??? ?

??? ?

????

? ?

?

? ?

? ?

? ?

1 ; 2

1 , 2
? ?

(1) 求向量 a , b 的夹角; (2) 求 a ? b .

?

?

-4-

18.已知 a, b, c 是同一平面内的三个向量,其中 a ? (1, 2) (1)若 c ? 2 5 , c ∥ a ,求 c 的坐标及 a ? c ; (2)若 b ?

? ? ?

?

?

?

?

?

? ?

?

? ? ? ? ? ? 5 ,且 a ? 2b 与 3a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角。 2

19 Rt△ABC 中, ∠C=90°, AC=BC=2, ⊙C 的半径是 1, MN 是⊙C 直径。 求:AM 〃BN 的最大值及此时 MN 与 AB 的关系.

N C M

A

B

20 已知平面直角坐标系中,点O为原点,A(-3,4) ,B(5,-2) . (1) 求 AB 的坐标及 AB (2) 若 OC ? OA ? OB, OD ? OA ? OB, 求OC及OD 的坐标. (3) 求 OA? OB .

-5-

21 如图,在 Rt△ABC 中,已知 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ与BC 的夹角 ? 取何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值.

22 已知: a ?

?

? ? ? 2 , b ? 3, a 和 b 的夹角为 450,
? ? ? ?

求:⑴当向量 a ? ?b 与 ? a ? b 的夹角为钝角时, ? 的取值范围; ⑵当 ? ? ?2 时,向量 a ? ?b 与 ? a ? b 的夹角的余弦值.

?

?

?

?

-6-


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