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《1.4全称量词与存在量词》试题


第一章

第四节

基础训练题

(100 分,60 分钟) 一、选择题(每小题5分,共 20 分) 1.下列说法中,正确的个数是( ) ①存在一个实数,使 ?2 x 2 ? x ? 4 ? 0 ; ②所有的质数都是奇数; ③斜率相等的两条直线都平行; ④至少存在一个正整数,能被5和7整除。 A.1B.2C.3D.4 2

.下列命题中,是正确的全称命题的是( )
2 2 A.对任意的 a, b ? R ,都有 a ? b ? 2a ? 2b ? 2 ? 0 ;

B.菱形的两条对角线相等; C. ?x, x 2 ? x ; D.对数函数在定义域上是单调函数。 3.下列命题的否定不正确的是( ) A.存在偶数 2 n 是7的倍数; B.在平面内存在一个三角形的内角和大于 180 ; C.所有一元二次方程在区间[-1,1]内都有近似解; D.存在两个向量的和的模小于这两个向量的模。 4.命题 p : a ? b ? 0(a, b ? R) ;命题 q : a ? b ? 0(a, b ? R) ,下列结论正确地为( )
2 2 2 2

A. p ? q 为真

B. p ? q 为真

C. ? p 为假

D. ? q 为真 。

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 5.写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定 6.全称命题 ?x ? M , p( x) 的否定是 。

7.命题“存在实数 x, y ,使得 x ? y ? 1 ” ,用符号表示为 定是 8.给出下列 4 个命题: ①a ?b ? a b ? 0; ②矩形都不是梯形; ③ ?x, y ? R, x ? y ? 1 ;
2 2

;此命题的否

(用符号表示) ,是

命题(添“真”或“假” ) 。

④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-1。其中全称命题是 三、解答题: (26 分)
2 2



9. (10 分)已知二次函数 f ( x) ? 2x ? (a ? 2) x ? 2a ? a ,若在区间[0,1]内至少存在一

个实数 b ,使 f (b) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 10.(16 分)判断下列命题的真假,并说明理由:
2 (1) ?x ? R ,都有 x ? x ? 1 ?



1 ; 2

(2) ?? , ? ,使 cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ; (3) ?x, y ? N ,都有 x ? y ? N ; (4) ?x, y ? Z ,使 2x ? y ? 3 。 四、一题多解题: (10 分) 11.写出命题“所有等比数列 {an } 的前 n 项和是 Sn ? 判断原命题否定的真假。 五、学科综合题: (16 分) 12.写出下列各命题的否命题和命题的否定: (1) ?a, b ? R ,若 a ? b ,则 a 2 ? ab ; (2)若 ? ? ? ,则 sin ? ? sin ? ; (3)若 a c ? b c ,则 a ? b ;
2 (4)若 b ? ac ,则 a, b, c 是等比数列。

a1 (1 ? q n ) ( q 是公比) ”的否定,并 1? q

六、推理论述题: (12 分) 13.设P,Q,R,S四人分比获得1——4等奖,已知: (1)若P得一等奖,则Q得四等奖; (2)若Q得三等奖,则P得四等奖; (3)P所得奖的等级高于R; (4)若S未得一等奖,则P得二等奖; (5)若Q得二等奖,则R不是四等奖; (6)若Q得一等奖,则R得二等奖。 问P,Q,R,S分别获得几等奖?

第一章 第四节 基础训练题答案 一、选择题
2 1.C 点拨:①方程 ?2 x ? x ? 4 ? 0 无实根;②2时质数,但不是奇数;③④正确。

2 2 2.D 点拨:A中含有全称量词“任意” ,因为 a ? b ? 2a ? 2b ? 2

? (a ?1)2 ? (b ?1)2 ? 0 ;是假命题,B,D在叙述上没有全称量词,实际上是指“所
有的” ,菱形的对角线不相等;C是特称命题。 3.A 点拨:写出原命题的否定,注意对所含量词的否定。 4.A 点拨:原命题中都含有全称量词,即对所有的实数都有??。由此可以看出命题 p 为假,命题 q 为真,所以 ? p 为真, ? q 为假。 二、填空题 5.有些函数没有奇偶性。点拨:命题的量词是“每个” ,对此否定是“有些、有德、存 在一个、至少有一个”的等,再否定结论。 6. ?x ? M , ?p( x) 点拨:课本知识点的考查,注意用数学符号表示。 点拨:注意练习符号

7 . ?x, y ? R , x ? y ? 1 ; ?x, y ? R , x ? y ? 1 ,假。

?, ?, ?, ?, ? 等。原命题为真,所以它的否定是假。也可以有线性规划的知识判断。
8.①②④ 点拨:注意命题中有和没有的全称量词。 三、解答题 9. (? , 0) 点拨:考虑原命题的否定:在区间[0,1]内的所有的实数 b ,使 f (b) ? 0 , 所以有 ?

1 2

? 2a 2 ? a ? 0 ? f (0) ? 0 1 1 ,即 ? 2 ,所以 a ? ? 或 a ? 0 ,其补集为 (? , 0) 2 2 ? f (1) ? 0 ?a ? a ? 2 ? 0
点拨:(1)因为

10.(1)真命题;(2)真命题;(3)假命题;(4)真命题

x2 ? x ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 ? x 2 ? x ? ? ( x ? ) 2 ? ? ? 0 ,所以 x 2 ? x ? 1 ? 恒成立;(2) 2 2 2 4 4 2

例如 ? ? R, ? ?

?

2

? k? (k ? Z ) ,符合题意;(3)例如 x ? 1, y ? 5 , x ? y ? ?4

? N ;(4)例如 x ? 0, y ? 3 ,符合题意。
四、一题多解题 11. “有些等比数列 {an } 的前 n 项和不是 Sn ?

a1 (1 ? q n ) ( q 是公比) ” 。是真命题。 1? q a1 (1 ? q n ) , 1? q

解法一: 当等比数列的公比 q ? 1 时, 等比数列 {an } 的前 n 项和公式是 Sn ?

这个公式是有条件的,而不是对于所有的等比数列都适用。所以原命题为假,它的否定 为真命题。 解法二、寻找出一个等比数列其前 n 项和不是 Sn ?

a1 (1? q n ) ,观察分母, q ? 1 时 1? q

Sn ?

a1 (1 ? q n ) a (1 ? q n ) 无意义, 例如数列 an ? 1 , 而不能用公式 Sn ? 1 Sn ? n ?1 ? n , 1? q 1? q

点拨:命题真假的判断有两种;一种是判断原命题是否正确,另一种是判断原命题的否 定是否正确,可以用证明的方法,也可以寻找反例。 五、学科综合题 12.解: (1)否命题: ?a, b ? R ,若 a ? b ,则 a 2 ? ab ;命题的否定: ?a, b ? R , 若 a ? b ,则 a 2 ? ab (2)否命题:若 ? ? ? ,则 sin ? ?sin ? ;命题的否定:若 ? ? ? ,则 sin ? ?sin ? ; (3)否命题:若 a c ? b c ,则 a ? b ;命题的否定:?a, b, c ,若 a c ?b c ,则 a ? b ; (4) 否命题: 若 b2 ? ac , 则 a, b, c 不是等比数列。 命题的否定: 若 b2 ? a c ?a, b, c ? R , 则 a, b, c 不是等比数列。 点拨: 注意区别命题的否定和否命题。 进一步可以判断所写的否命题和命题否定的真假。 六、推理论述题 13.分析:本题有 6 个命题,推理的前提是命题的真假之间不能产生矛盾。假设任何一 个命题为真都可以推出结论。 解:S,P,R,Q 分别获得一等奖,二等奖,三等奖,四等奖。 点拨:用到的知识点是单称命题之间(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)的真假关 系。 由命题(3)知,得一等奖的只有 P,Q,S 之一(即 R 不可能是一等奖) ;若 P 得一等 奖,则 S 未得一等奖,与命题(4)矛盾;若 Q 得一等奖,由(6)知,R 得二等奖,P 只能得三等奖或四等奖,与命题(3)矛盾;所以只有 S 得一等奖,若 P 是二等奖,由 (2)Q 不得三等奖只能是四等奖,所以 R 是三等奖;若 P 是三等奖,则 R 是四等奖, Q 得三等奖与(2)矛盾。 本题用如下列表的方式最容易判断了: 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 S P R Q ,


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