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复合函数的单调性


复合函数的单调性 (同增异减) 教学目标:复合函数单调区间的求法 教学重点和难点:如何求出给出的复合函数的单调区间 复习:考查复合函数 y ? f ( g ( x)) 的单调性. 设单调函数 y ? f (x) 为外层函数, y ? g (x) 为内层函数 (1) 若 y ? f (x) 增, y ? g (x) 增,则 y ? f ( g ( x)) 增. (2) 若 y ?

f (x) 增, y ? g (x) 减,则 y ? f ( g ( x)) 减. (3) 若 y ? f (x) 减, y ? g (x) 减,则 y ? f ( g ( x)) 增. (4) 若 y ? f (x) 减, y ? g (x) 增,则 y ? f ( g ( x)) 减. 结论:同曾异减 例 1. 求函数 f ( x) ? 2
x2 ? x?2

的单调区间.

教学意图: 先让学生学会找出外层函数和内层函数然后再进一步教会学生如何求此函数的单 调区间.此题当中定义域是一切实数,在此处我还没有让学生认识到定义域的重要性,先让 学生初步掌握复合函数单调区间的求法. 解题过程: 外层函数: y ? 2
t

内层函数: t ? x ? x ? 2
2

y

1 ,??] 2 1 内层函数的单调减区间: x ? [??,? ] 2
内层函数的单调增区间: x ? [? 由于外层函数为增函数 所以,复合函数的增区间为: x ? [?

?

1 2

x

1 ,??] 2

复合函数的减区间为: x ? [??,? ] 在本例题的讲解的开始就求出内层函数的单调区间, 因为在复合函数的单调性的问题中很多 基础薄弱的同学在此处会出现思维混乱, 并且这样可以避免接下来涉及到定义域而学生又容 易忽略的情况.

1 2

设函数 y=f(x)且 lg(lgy)=lg3x+lg(3﹣x) . ①求 f(x)的解析式,定义域; ②讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的值域. 考点: 指数函数的单调性与特殊点;指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 专题: 计算题;综合题. 分析: ①根据 lg(lgy)=lg3x+lg(3﹣x) ,和对数的运算法则,可得 lg(lgy)=lg[3x(3﹣x)] (0<x<3) ,注意函数的定义域,即 lgy=3x(3﹣x) ,再利用指数和对数的互化即可 u 求得求 f(x)的解析式,定义域;②根据复合函数的单调性进行判断,外函数 10 是
1146455

增函数,内涵式 u=3x(3﹣x)=3(3x﹣x )在(0, ]上单调递增,在[ 调递减,从而求得函数的单调性,并根据单调性求得函数的值域. 解答: 解:①∵lg(lgy)=lg3x+lg(3﹣x)=lg[3x(3﹣x)](0<x<3) , ∴lgy=3x(3﹣x) , 即 f(x)=10 ;x∈(0,3) 3x(3﹣x) ②由①知,f(x)=10 ;x∈(0,3) 令 u=3x(3﹣x)=3(3x﹣x )在(0, ]上单调递增,在[ 而 10 是增函数, ∴f(x)在(0, ]上单调递增,在[ )上单调递减,
u 2 3x(3﹣x)

2

)上单

)上单调递减,

∴当 x=0,3 时,f(x)取最小值 1,当 x= 时,f(x)取最大值



∴f(x)的值域为(1,

].

例 2.求函数 f ( x) ? log 2 ( x ? x ? 2) 的单调区间.
2

教学意图:此题要涉及到定义域,这是很多同学容易忽略的地方,先让学生自己求解,在讲 解正确的解题思路。 解题过程: 外层函数: y ? log 2 t 内层函数: t ? x ? x ? 2
2

y

t ? x2 ? x ? 2 ? 0
由图知: 内层函数的单调增区间: x ? [1,??] 内层函数的单调减区间: x ? [??,?2]

?2

?

o

?

1

x

由于外层函数为增函数 所以,复合函数的增区间为: x ? [1,??] 复合函数的减区间为: x ? [??,?2] 通过例 2 给出求复合函数单调区间的步骤: 1、 找出外层函数和内层函数 2、 根据定义域确定内层函数的单调区间 3、 根据外层函数确定复合函数的单调区间

例 3.求函数 y ? 解题过程: 外层函数:

cos x 的单调区间

y
y? t
?

内层函数: t ? cos x

?
2

o

t ? cos x ? 0
由图知: 内层函数的单调增区间: x ? [?

? 2

x

?
2

? 2k? ,2k? ]

内层函数的单调减区间: x ? [2k? , 由于外层函数为增函数

?
2

? 2k? ]

所以,复合函数的增区间为: x ? [? 复合函数的减区间为: x ? [2k? ,

?
2

? 2k? ,2k? ]

?
2

? 2k? ]

练习 1:求函数 y ? lg sin(2 x ?

?
3

) 的单调区间.

练习 2:讨论函数 y ? log a sin(2 x ?

?
3

) 的单调性.


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