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最全2012高考文科试题解析(三角函数)


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2012 高考文科试题解析分类汇编: 三角函数
一、选择题
1.【2012 高考安徽文 7】要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象 (A) 向左平移 1 个单位 (C) 向左平移 (B)

向右平移 1 个单位 (D) 向右平移

1 个单位 2

1 个单位 2

2. 【2012 高考新课标文 9】 已知 ω>0, 直线 x ? 0?? ?? , 图像的两条相邻的对称轴,则 φ= π (A) 4 π (B) 3 π (C) 2 3π (D) 4

?
4

和x ?

5? 是函数 f(x)=sin(ωx+φ) 4

??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为 3.【2012 高考山东文 8】函数 y ? 2sin ? 3? ? 6

(A) 2 ? 3

(B)0

(C)-1

(D) ?1 ? 3

4.【2012 高考全国文 3】若函数 f ( x) ? sin (A)

? 2

(B)

2? 3

x ?? (? ? [0, 2? ]) 是偶函数,则 ? ? 3 3? 5? (C) (D) 2 3 3 ,则 sin 2? ? 5 12 24 (C) (D) 25 25

5.【2012 高考全国文 4】已知 ? 为第二象限角, sin ? ? (A) ?

24 25

(B) ?

12 25

6.【2012 高考重庆文 5】

sin 47? ? sin17? cos 30? cos17?

(A) ?

1 1 3 3 (B) ? (C) (D) 2 2 2 2

7.【2012 高考浙江文 6】把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 坐标不变) ,然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

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1

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8.【2012 高考上海文 17】在△ ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则△ ABC 的形状是
2 2 2



) B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定

A、钝角三角形

9.【2012 高考四川文 5】如图,正方形 ABCD 的边长为 1 ,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 ,连
D C

接 EC 、 ED 则 sin ?CED ? ( (1)



E

A

B

3 10 10

B、

10 10

C、

5 10

D、

5 15

10.【2012 高考辽宁文 6】已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ?(0,π ),则 sin 2? = (A) ? 1 (B) ?

2 2

(C)

2 2

(D) 1

11.【2012 高考江西文 4】若 A. -

3 4

B.

3 4

C. -

4 3

sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan2α= sin ? ? cos ? 2 4 D. 3
2

12.【2012 高考江西文 9】已知 f ( x) ? sin ( x ? A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1

?

1 ) 若 a=f(lg5) , b ? f (lg ) 则 4 5

13.【2012 高考湖南文 8】 在△ABC 中,AC= 7 ,BC=2,B =60°,则 BC 边上的高等于

A.

3 2

B.

3 3 2

C.

3? 6 2

D.

3 ? 39 4

14.【2012 高考湖北文 8】设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若三边的长
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为连续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acosA,则 sinA∶sinB∶sinC 为 A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 15.【2012 高考广东文 6】在△ ABC 中,若 ?A ? 60? , ?B ? 45? , BC ? 3 2 ,则 AC ? A. 4 3 B. 2 3 C.

3

D.

16.【2102 高考福建文 8】函数 f(x)=sin(xA.x=

? 4

B.x=

? 2

? )的图像的一条对称轴是 4 ? ? C.x=D.x=4 2
?
4

3 2

17.【2012 高考天津文科 7】将函数 f(x)=sin ? x(其中 ? >0)的图像向右平移 个单位长度, 所得图像经过点( (A)
3? 4

,0) ,则 ? 的最小值是 (B)1 C)
5 3

1 3

(D)2

二、填空题
? ?? 4 ? 18.【2012 高考江苏 11】 (5 分)设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为 6 5 12 ? ?
▲ . 19. 【2102 高考北京文 11】 在△ABC 中, 若 a=3, b= 3 , ∠A=

? , 则∠C 的大小为_________。 3

20. 【2102 高考福建文 13】 在△ABC 中, 已知∠BAC=60°, ∠ABC=45°,BC ? 3 ,

则 AC=_______.
21. 【 2012 高 考 全 国 文 15 】 当 函 数 y ? sin x ?

3 cos x (0 ? x ? ?2 取 )得 最 大 值 时 ,

x ? ___________.
22. 【 2012 高考重庆文 13 】设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且

a =1, b=2, cos C ?

1 ,则 sin B ? 4

23.【2012 高考上海文 3】函数 f ( x) ?

sin x 2 的最小正周期是 ?1 cos x

24. 【2012 高考陕西文 13】 在三角形 ABC 中, 角 A,B,C 所对应的长分别为 a, b, c, 若 a=2 , B=

? ,c=2 3 ,则 b= 6

.

三、解答题
25.【2012 高考浙江文 18】 (本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为

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3

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a,b,c,且 bsinA= 3 acosB。
(1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值.

26.【2012 高考安徽文 16】 (本小题满分 12 分) 设△ ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c, ,且有

2 sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C 。
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 BC 的中点,求 AD 的长。

27.【2012 高考山东文 17】(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 sin B(tan A ? tan C ) ? tan A tan C . (Ⅰ)求证: a , b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S.

28.【2012 高考湖南文 18】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
2

的部分图像如图 5 所示.

?
12

) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间.

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4

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29.【2012 高考四川文 18】(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos
2

x x x 1 ? sin cos ? 。 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 f (? ) ?

3 2 ,求 sin 2? 的值。 10

30.【2012 高考广东文 16】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A cos ? (1)求 A 的值; (2)设 ? ? ? ? ?0, 值.

?x ?? ? ? , x ? R ,且 ?4 6?

?? ? f ? ?? 2 ?3?

4 ? 30 2 ? 8 ? ? ? ?? , f ? 4? ? ? ? ? ? , f ? 4? ? ? ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的 ? 3 ? 17 3 ? 5 ? ? ? 2?

31.【2012 高考辽宁文 17】(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。

32.【2012 高考重庆文 19】 (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分)设函数

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? )在 x ?
象与轴的相邻两个交点的距离为

?
6

处取得最大值 2,其图

? ( I ) 求 f ( x ) 的 解 析 式 ; ( II ) 求 函 数 2

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5

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g ( x) ?

6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 f (x ? ) 6

?

的值域。

33.【2012 高考新课标文 17】 (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = (1) 求 A (2) 若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c 3asinC-ccosA

34.【2102 高考北京文 15】 (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x 。 sin x

(1)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递减区间。

35.【2012 高考陕西文 17】 (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? 间的距离为

?
6

) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之

? , 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值。 2 2

?

36.【2012 高考江苏 15】 (14 分)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ;

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

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(2)若 cos C ?

5 ,求 A 的值. 5

37.【2012 高考天津文科 16】 (本小题满分 13 分) 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的分别是 a,b,c。已知 a=2.c= 2 ,cosA= (I)求 sinC 和 b 的值; (II)求 cos(2A+

2 . 4

д )的值。 3

18 】 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 函 数 其中 f ( x) ? sin ? x ? 2 3sin ? x ? cos ? x? cos2 ? x? ? ( x ? R ) 的图象关于直线 x ? π 对称, 1 ? , ? 为常数,且 ? ? ( , 1) . 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; π (Ⅱ)若 y ? f ( x) 的图象经过点 ( , 0) ,求函数 f ( x) 的值域. 4
2

38. 【 2012

高 考 湖 北 文

39.【2012 高考全国文 17】(本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上 作答无效 ) ..... ....

?ABC 中,内角 A.B.C 成等差数列,其对边 a, b, c 满足 2b2 ? 3ac ,求 A .

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2012 高考文科试题解析及答案:三角函数

一、选择题
1.【答案】C
y ? cos 2 x ? y ? cos(2 x ? 1) 左+1,平移
1 2

2.【答案】A
【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质,是中档题.

? 5? ? ? ? ? ,∴ ? =1,∴ ? ? = k? ? ( k ? Z ) = , 4 2 ? 4 4 ? ? ∴ ? = k? ? ( k ? Z ) ,∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? = ,故选 A. 4 4
【解析】由题设知,

3.【答案】A
考点:三角函数图像与性质 解析: T ?

2?

?
6

? 12 ,函数定义域为[0,9],所以,根据三角函数图像

最大值为 f (5) ? 2 ,最小值为 f (0) ? ? 3 ,最大值与最小值之和为 2 ? 3

4.【答案】C
【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质, 。 【解析】由 f ( x) ? sin

x ?? (? ? ? 0, 2? ?) 为偶函数可知, y 轴是函数 f ( x) 图像的对称轴, 3

而 三 角 函 数 的 对 称 轴 是 在 该 函 数 取 得 最 值 时 取 得 , 故

f (0) ? sin

?
3

? ?1 ?

?
3

?

?
2

? k? ? ? ?

??

3? ,故选答案 C。 2

3? ? 3k? (k ? Z ) ,而 ? ??0, 2? ? ,故 k ? 0 时, 2

5.【答案】A
【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用。

n i ?? 【解析】 因为 ? 为第二象限角, 故 cos ? ? 0 , 而s
所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ?

3 o s ? ?? 1 s n i? , 故c 5

2

? ?? ,

4 5

24 ,故选答案 A。 25
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6.【答案】C
【解析】 :

sin 47? ? sin17? cos30? sin(30? ? 17? ) ? sin17? cos30? ? cos17? cos17?

?

sin 30? cos17? ? cos 30? sin17? ? sin17? cos 30? sin 30? cos17? 1 ? ? sin 30? ? ? ? cos17 cos17 2
? ? ?

【考点定位】本题考查三角恒等变化,其关键是利用 47 ? 30 ? 17

7.【答案】A
【命题意图】本题主要考查了三角函数中图像的性质,具体 考查了在 x 轴上的伸缩变换, 在 x 轴、y 轴上的平移变化,利用特殊点法判断图像的而变换。 【解析】由题意,y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) , 即解析式为 y=cosx+1,向左平移一个单位为 y=cos(x-1)+1,向下平移一个单位为 y=cos (x-1),利用特殊点 ?

?? ? ?? ? , 0 ? 变为 ? ? 1, 0 ? ,选 A. ?2 ? ?2 ?

8.【答案】A
【解析】由正弦定理,得

a b c ? sin A, ? sin B, ? sin C , 代入得到 a 2 ? b2 ? c2 , 2R 2R 2R

由余弦定理的推理得 cos C ? 形.故选择 A.

a 2 ? b2 ? c 2 ? 0 ,所以 C 为钝角,所以该三角形为钝角三角 2ab

【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选 择定理, 如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理, 如果出现角度的余弦值就选择余弦定理. 本题属于中档题.

9.

【答案】B

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[解析]? AE ? 1,正方形的边长也为 1? ED ?
2 EC ? ( EA ? AB) ? CB ? 5 2

AE ? AD ? 2

2

2

CD ? 1 ? cos?CED ? ED ? EC - CD 2 ED ? EC
2 2 2

?

3 10 10

sin ?CED ? 1 ? cos2 ?CED ?

10 10

[点评]注意恒等式 sin2α+cos2α=1 的使用,需要用 α 的的范围决定其正余弦值的正负情况.

10.
题。

【答案】A

【命题意图】 本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力, 属于容易

【解析】?sin ? ? cos ? ? 2,?(sin ? ? cos ? )2 ? 2,?sin 2? ? ?1, 故选 A 【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题。

11.
因为

【答案】B

【解析】先利用同角函数间的关系求出 tan ? ,再利用二倍角公式求出 tan 2? .

sin ? ? cos ? 1 3cos ? ,所以 ? ,所以 2(sin ? ? cos ? ) ? sin ? ? cos ? ,则 sin ? ? ? sin ? ? cos ? 2 sin ? 2 tan ? 3 tan ? ? ? ?3 .故 tan 2? ? ? .故选 B. 2 cos ? 1 ? tan ? 4

【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系,二倍角公式等. 体现了考纲中要求会进行简 单的恒等变换,来年关于恒等变换的考查可能会涉及到和与差的三角函数公式. 熟练掌握三 角公式,灵活变换是解决这类问题的关键.

12.

【答案】C

【解析】先利用三角恒等变换化简 f ( x ) 函数解析式,再通过换元寻找 a , b 之间的数量关系.

?? ? 1 ? cos ? 2 x ? ? 1 ?? 2 ? 1 ? sin 2 x ? 2? ? 因为 f ? x ? ? sin ? ? ? ? ? ,不妨令 lg 5 ? t ,则 lg ? ?t , 5 4? 2 2 ?

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所以 a ? f ? lg 5? ? f ? t? ? 故选 C.

1 ? sin 2t 1 ? sin 2t ? 1? , b ? f ? lg ? ? f ? ?t ? ? ,所以 a ? b ? 1 . 2 2 ? 5?

【点评】本题考查三角恒等变换,二倍角公式以及换元思想,综合性较强,体现了考纲中对 于综合能力的考查解决,来年这种题型仍必不可少,涉及知识点多种多样,主要考查考生的 综合素质.本题的难点在于三角函数的变换,熟练掌握三角函数的各种公式,并能灵活应用 是解题的关键.

13.【答案】B
2 2 2 【解析】设 AB ? c ,在△ABC 中,由余弦定理知 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B ,

即 7 ? c ? 4 ? 2 ? 2 ? c ? cos 60 , c2 ? 2c ? 3 ? 0,即(c -3)(c ? 1)=0.又 c ? 0,? c ? 3.
2 ?

设 BC 边上的高等于 h ,由三角形面积公式 S? ABC ?

1 1 AB?BC ? sin B ? BC ?h ,知 2 2

1 1 3 3 ? 3 ? 2 ? sin 60? ? ? 2 ? h ,解得 h ? . 2 2 2
【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容.

14.【答案】D
【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的 正弦的比值,明显是要利用正弦定理转化为边长的比值,因此必须求出三边长.来年需注意 正余弦定理与和差角公式的结合应用.

15.【答案】B
由正弦定理得:

BC AC 3 2 AC ? ? ? ? AC ? 2 3 ? sin A sin B sin 60 sin 45?

16.【答案】C.
考点:三角函数的对称性。 难度:中。 分析:本题考查的知识点为三角函数的性质,熟记三角函数的对称轴的公式即可。 解答:令 x ?

? k? ( k ? Z ) , 4 2 3? ? k? ( k ? Z ) , 则x ? 4 ?

?

?

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11

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当 k ? ?1 时, x ? ?

?
4



17.【答案】D
? ? ? ?? ) ,因 得到函数 g ( x) ? f ( x ? ) ? sin ? ( x ? ) ? sin(?x ? 4 4 4 4 3? 3? ? 3? ? ?? ,0) , 所 以 sin ? ( ? ) ? 0 , 即 ? ( ? )? ? k? , 所 以 为此时函数过点 ( 4 4 4 4 4 2
【解析】函数向右平移

? ? 2k , k ? Z ,所以 ? 的最小值为 2,选 D.
【答案】D

二、填空题
18.【答案】 17
50 2。
【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。 【解析】∵ ? 为锐角,即 0 < ? <

?
2

,∴

?
6

<? ?

?
6

<

?
2

?

?
6

=

2? 。 3

?? 4 ?? 3 ? ? ∵ cos ? ? ? ? ? ,∴ sin ? ? ? ? ? 。 6? 5 6? 5 ? ? ?? ?? ?? 3 4 24 ? ? ? ∴ sin ? 2? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? =2? ? = 。 3? 6? 6? 5 5 25 ? ? ?
?? 7 ? ∴ cos ? 2? ? ? ? 。 3 ? 25 ?
∴ sin(2a ?

?
12

)=sin(2a ?

?

? ?? ? ?? ? ? ? ? )=sin ? 2a ? ? cos ? cos ? 2a ? ? sin 3 4 3? 4 3? 4 ? ?

=

24 2 7 2 17 ? ? ? = 2。 25 2 25 2 50

19.【答案】 90 ?
c a ? b2 ? c 2 ? a 2 ? ? c ? 2 3 ,而 【解析】 cos A ? ,故 sin C ? 1 ? C ? 。 sin C sin A 2 2bc
【考点定位】本小题主要考查的是解三角形,所用方法并不唯一,对于正弦定理和余弦定理 此二者会其一都可以得到最后的答案。

20.【答案】

2.
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考点:正弦定理。 难度:易。 分析:本题考查的知识点为三角形中正弦定理的应用。 解答:在 ?ABC 中,

a b c ? ? ? 2R , sin A sin B sin C BC AC ? 所以 sin ?BAC sin ?ABC
解得 AC ?

2。

21.【答案】 5?
6
【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题。首先化为单一三角 函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点。 【解析】由 y ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? 由 0 ? x ? 2? ? ?

?
3

)

?
3

3 ? 3? 11? ? ? 5? 当且仅当 x ? ? 即x? 时取得最小值, x ? ? 时即 x ? 取得最大值。 3 2 6 3 2 6

? x?

?

?

5? ? 可知 ?2 ? 2sin( x ? ) ? 2 3 3

22.【答案】

15 4

23.【答案】 ?
【解析】根据韪得: f ( x) ? sin x cos x ? 2 ?

1 sin 2 x ? 2 2

【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要 求掌握二阶行列式的运算性质,属于容易题,难度较小.

24.【答案】2.
【解析】根据余弦定理,得 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 22 ? 2 3 所以 b ? 2 .

?

?

2

? 2? 2? 2 3 ?

3 ? 4, 2

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三、解答题
25.【答案】
【解析】 ( 1 ) ? bsinA= 3 acosB ,由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B ,即得

tan B ? 3 ,? B ?

?
3

.
2 2 2

co s B ( 2 ) ? sinC=2sinA , 由 正 弦 定 理 得 c ? 2a , 由 余 弦 定 理 b ? a ? c ?2 a c ,
9 ? a 2 ? 4a 2 ? 2a ? 2a cos

?
3

,解得 a ? 3 ,?c ? 2a ? 2 3 .

26.【解析】 (Ⅰ) A ? C ? ? ? B, A, B ? (0, ? ) ? sin( A ? C ) ? sin B ? 0
2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin( A ? C) ? sin B
? cos A ?
2

1 ? ? A? 2 3
2 2 2 2 2

(II) a ? b ? c ? 2bc cos A ? a ? 3 ? b ? a ? c ? B ?

?
2

在 Rt ?ABD 中, AD ?

AB2 ? BD2 ? 12 ? (

3 2 7 ) ? 2 2

27.【答案】

(I)由已知得:

sin B(sin A cos C ? cos A sin C ) ? sin A sin C , sin B sin( A ? C ) ? sin A sin C , sin 2 B ? sin A sin C ,

再由正弦定理可得: b 2 ? ac , 所以 a , b, c 成等比数列. (II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b2 ? ac ? 2 , ∴ cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? , 2ac 4
7 , 4 1 1 7 7 ac sin B ? ? 1 ? 2 ? ? . 2 2 4 4

sin C ? 1 ? cos 2 C ?

∴△ ABC 的面积 S ?

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28.

【答案】

11? 5? 2? ? ) ? ? ,?? ? ? 2. 12 12 T 5? 5? 5? , 0) 在函数图像上,所以 A sin(2 ? ? ? ) ? 0, 即sin( ? ? ) ? 0 . 因为点 ( 12 12 6 ? 5? 5? 4? 5? ? ? ?? ? , 从而 ? ? =?, 又? 0 ? ? ? ,? 即? = . 2 6 6 3 6 6
【解析】 (Ⅰ)由题设图像知,周期 T ? 2(

(0 , 1 ) 又点 在 函 数 图 像 上 , 所 以 A sin
f ( x) ? 2sin(2 x ? ). 6

?

?

6

? 1, A ? 2 , 故 函 数 f ( x ) 的 解 析 式 为

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? g ( x) ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? (Ⅱ) ? ? 12 ? 6 ? ? ? 12 ? 6 ?
? 2sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3

?

1 3 ? 2sin 2 x ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

? sin 2 x ? 3 cos 2 x
? 2sin(2 x ? ), 3
由 2 k? ?

?

?

2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, 得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? , k ? z. 12

? 5? ? ? ? g ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ? , k ? z. 12 12 ? ?
【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期

11 ? ? 5 2? T ?2( ? ) ? ? 从而求得 , ?? ? 2 .再利用特殊点在图像上求出 ? , A ,从而求出 f 12 12 T
(x) 的解析式; 第二问运用第一问结论和三角恒等变换及 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调性求得.
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29.[解析](1)由已知,f(x)= cos 2 x ? sin x cos x ? 1
2 2 2

2

1 1 1 ? ( 1 ? cosx ) ? sinx ? 2 2 2

?

2 ? cos(x ? ) 2 4
? ? 2 ,2 ? , ? 。…………………6 分 2 2 ? ?

所以 f(x)的最小正周期为 2 ? ,值域为 ? ?

(2)由(1)知,f( ? )= 所以 cos( ? ?

2 ? 3 2 cos(? ? ) ? , 2 4 10

?
4

?

3 ) 。 5

所以 sin 2? ? ?cos (

) 4 ? 18 7 2 ? 1 ? 2cos( ?? ) ? 1? ? ,…………………12 分 4 25 25 2

?

? 2?) ? ?cos ( 2 ??

?

[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识, 考查运算能力,考查化归与转化等数学思想.

? ?? ? ?? ?? 30.【答案】 (1) f ? ? ? A cos ? ? ? ? A cos
?3? ? 12 6?
( 2 )

4

?

2 A ? 2 ,解得 A ? 2 。 2

4 ? ? ?? ?? 30 ? ? ? , 即 f ? 4? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ?2sin ? ? ? 3 ? 3 6? 2? 17 ? ? ?

sin ? ?

15 , 17

4 2 ? ? ?? 8 ? ? f ? 4? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ,即 cos ? ? 。 5 3 ? 6 6? 5 ? ?
因为 ? ? ? ? ?0,

8 3 ? ?? 2 2 ,所以 cos ? ? 1 ? sin ? ? , sin ? ? 1 ? cos ? ? , ? 17 5 ? 2? 8 4 15 3 13 ? ? ? ?? 。 17 5 17 5 85

所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

31.【答案】
【命题意图】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比
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数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题。

1 ……6 分 3 2 3 2 2 (2)解法一: b =ac ,由正弦定理得 sin A sin C = sin B = 4 2 2 2 2 2 1 a +c -b a +c -ac 2 = 解法二: b =ac , = cos B = ,由此得 a 2 +c 2 -ac=ac, 得 a=c 2 2ac 2ac ? 3 所以 A=B =C = , sin A sin C = ……12 分 3 4
【解析】 (1)由已知 2 B =A+C ,A+B +C =? , ? B =

?

, cos B =

【点评】 第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系, 也可以利用余弦定理得 到边之间的关系,再来求最后的结果。

【解析】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形 内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运 算求解能力,属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理 把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边 之间的关系,再来求最后的结果。

? 32.【答案】 (Ⅰ) ? ?
【解析】

6

(Ⅱ) [1, ) ? ( , ]

7 4

7 5 4 2

1 1 (cos 2 x ? ) 因 cos2 x ?[0,1] ,且 cos 2 x ? 2 2 7 7 5 故 g ( x) 的值域为 [1, ) ? ( , ] 4 4 2 ?

3 cos 2 x ? 1 2

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33.
【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用,是简单题. 【解析】(Ⅰ)由 c ? 3a sin C ? c sin A 及正弦定理得

sA in C s ?i n Cs i n ? 1 由于 sin C ? 0 ,所以 sin( A ? ) ? , 6 2 ? 又 0 ? A ? ? ,故 A ? . 3 1 (Ⅱ) ?ABC 的面积 S = bc sin A = 3 ,故 bc =4, 2 2 2 2 2 2 而 a ? b ? c ? 2bc cos A 故 c ? b =8,解得 b ? c =2.

3 sin A si C n ?

34.【答案】 f (x) ? (sin x ? cos x)sin 2x ? (sin x ? cos x)2sin x cos x ? 2(sin x ? cos x)cos x
sin x sin x
π? ? ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 , ? x | x ? kπ ,k ? Z? 4? ? 。

(1)原函数的定义域为 ?x | x ? kπ , k ? Z? ,最小正周期为 π .
3π ? π ? ? ? kπ ? k ? Z , ? kπ , ? kπ ? k ? Z 。 (2)原函数的单调递增区间为 ? ? ? kπ , 8 8 ? ? ? ?

35.【解析】 (Ⅰ)∵函数 f ? x ? 的最大值是 3,∴ A ? 1 ? 3 ,即 A ? 2 .
? ,∴最小正周期 T ? ? ,∴ ? ? 2 . 2 ? 故函数 f ? x ? 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 . 6 ? ? ? 1 (Ⅱ)∵ f ( ) ? 2sin(? ? ) ? 1 ? 2 ,即 sin(? ? ) ? , 2 6 6 2 ? ? ? ? ? ? ? ∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? ? ? ? ,∴ ? ? ? ,故 ? ? . 2 6 6 3 6 6 3
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为

36. 【 答 案 】 解 : ( 1 ) ∵ AB ? AC ? 3BA? BC , ∴ AB ?AC ?cos A=3BA?BC ?cos B , 即
A C?c o s A = 3B C ? c o sB 。
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??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

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由正弦定理,得

AC BC cos B 。 ,∴ sin B?cos A=3sin A? = sin B sin A sin B sin A 即 =3? cos B cos A

又 ∵ 0 < A ? B < ? , ∴ cos A > 0,cos B > 0 。 ∴

tan B ? 3tan A 。

? 5? 5 2 5 , 0 <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? = (2)∵ cos C ? 。∴ tan C ? 2 。 ? ? ? 5 5 ? 5 ?

2

tan A ? tan B ? ?2 。 1 ? tan A?tan B 1 4tan A 由 (1) ,得 ? ?2 ,解得 tan A=1 , tan A= ? 。 2 3 1 ? 3tan A
∴ tan ? ?? ? ? A ? B ?? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 。∴ ∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 。∴ A=

?
4



【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。 【解析】 (1)先将 AB ? AC ? 3BA? BC 表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系 式证明。 (2)由 cos C ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

5 ,可求 tan C ,由三角形三角关系,得到 tan ? ?? ? ? A ? B?? ? ,从 5

而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得 A 的值。

37.【答案】
【解析】 (I) cos A ? ?

2 14 , A ? (0, ? ) ? sin A ? 4 4 a c c sin A 7 ? ? sin C ? ? sin A sin C a 4 2 2 2 2 a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? b ? 2 ? 0 ? b ? 1 7 3 (II) sin 2 A ? 2sin A cos A ? ? , cos 2 A ? 2cos 2 A ? 1 ? ? 4 4

cos(2 A ? ) ? cos 2 A cos ? sin 2 A sin ? 3 3 3

?

?

?

?3 ? 21 8

38.解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin

2

? x ? cos2 ? x ? 2 3sin ? x ? cos ? x ? ?

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π ? ? cos 2? x ? 3sin 2? x ? ? ? 2sin(2? x ? ) ? ? . 6 π 由直线 x ? π 是 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,可得 sin(2? π ? ) ? ?1, 6
所以 2? π ?

π π k 1 ? kπ ? (k ? Z) ,即 ? ? ? (k ? Z) . 6 2 2 3

1 5 又 ? ? ( , 1) , k ? Z ,所以 k ? 1 ,故 ? ? . 2 6
所以 f ( x) 的最小正周期是

6π . 5

π π (Ⅱ)由 y ? f ( x) 的图象过点 ( , 0) ,得 f ( ) ? 0 , 4 4 5 π π π 即 ? ? ?2sin( ? ? ) ? ?2sin ? ? 2 ,即 ? ? ? 2 . 6 2 6 4 5 π 故 f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 2 ,函数 f ( x) 的值域为 [?2 ? 2, 2 ? 2] . 3 6
【解析】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能 力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的 地位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一般运用公式 T ?

2?

?

来求解;求三角函

数的值域,一般先根据自变量 x 的范围确定函数 ? x ? ? 的范围.来年需注意三角函数的单调 性,图象变换,解三角形等考查.

39.
【命题意图】 : 本试题主要考查了解三角形的运用。 该试题从整体看保持了往年的解题风格, 依然是通过边角的转换, 结合了三角形的内角和定理的知识, 以及正弦定理求解三角形中的 角的问题。试题整体上比较稳定,思路比较容易想,先利用等差数列得到角 B ,然后利用 正弦定理与三角求解运算得到答案。 【解析】由 A.B.C 成等差数列可得 2 B ? A ? C ,而 A ? B ?C ? ? ,故 3B ? ? ? B ?

?
3

2? ?A 且C ? 3
而 由

2b2 ? 3ac















2sin 2 B ? 3sin A sin C ? 2 ? sin 2

?
3

? 3sin(

2? ? A) sin A 3

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所以可得 2 ?

3 2? 2? ? 3(sin cos A ? cos sin A) sin A ? 3 cos A sin A ? sin 2 A ? 1 ? 4 3 3

2? ? ? 7? 3 1 ? cos 2 A ? 1 ? ? ? 2A ? ? , sin 2 A ? ? 1 ? sin(2 A ? ) ? ,由 0 ? A ? 3 6 6 6 2 2 6 2


2A ?

?
6

?

?
6

或 2A ?

?
6

?

5? ? ? ,于是可得到 A ? 或 A ? 。 6 6 2

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