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2011届高三数学第六次模拟考试题1


福建省福州三中 2010-2011 学年高三下学期第六次模拟考试 (数学理)
本试卷分第 I 卷(选择题) 和第 II 卷(非选择题)两部分共 150 分, 考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.考生作答时,将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内 作答,超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 4.保持答题卡卡面清洁,不折叠,不破损。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 样本数据 x1,x2,… ,xn 的标准差

台体的体积公式

1 ?( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? n? 其中 x 为样本平均数
s= 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

1 V ? ( S ? SS ' ? S ' )h 3 其中 S 、 S ' 是上下底面积, h 为高
球的表面积、体积公式

1 锥体体积公式 V= Sh 3
其中 S 为底面面积,h 为高

S ? 4?R2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.计算 i (1 ? i) 2 等于( ) A. 2 ? 2i B. 2 ? 2i
2

C. ?2

D. 2

2.已知命题 p : x ? 2 是 x ? 4 的充要条件,命题 q : 若 则 ( ) A.“ p 或 q ”为真 C. p 真 q 假

a b ? 2 , 则a ? b , 2 c c

B.“ p 且 q ”为真 D. p, q 均为假

3.如图所示程序框图运行后输出的结果为 ( ) A.36 B.45 C.55 D.56 4.已知 m、n 是两条不重合的直线,α、β、γ 是三个两两 不重合的平面,则下列四个命题中真命题的是( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m∥α,m∥n,则 n∥α C.若 α∥β,α∩γ=m,β∩γ= n,则 m∥n D.若 m ? α,n ? β,m∥n,则 α∥β 5.已知函数 y ? f ( x) 的大致图象如图所示, 则函数 y ? f ( x) 的解析式应为( ) A. f ( x) ? e ln(x)
x x

C. f ( x) ? e ln(| x |) 6.四个旅行团选择四个景点游览,其中恰有一个景点没有旅行团游览的情况有(

ln(| x |) | x| D. f ( x) ? e ln(| x |)

B. f ( x) ? e

?x

)种

A.36 7. 函数 y ? tan(

x ? ) 的部分图象如图所示,则 (OA ? OB) ? AB ? ( ) 1 2 A. ? 6 B. ?4 C. 4 D. 6 O ? x ? y ? 5 ? ?, ? 8.由不等式组 ? y ? t, 围成的三角形区域内有一个内切圆,向该三角形 ?0 ? x ? 2 ? 区域内随机投一个点,该点落在圆内的概率是关于 t 的函数 P(t ) ,则( ) 4
A. P' (t ) ? 0 B. P' (t ) ? 0 C. P' (t ) ? 0 D. P ' (t ) 符号不确定

?

?

B.72

C.144

D.288

y B B A
第 7 题图

x

9.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左右焦点分别为 F1 , F2 ,且两条曲线在第 一象限的交点为 P, ?PF1 F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若 PF1 ? 10 ,椭圆与双曲线 的离心率分别为 e1 , e2 ,则 e1 ? e2 的取值范围是( A. (0, ?? ) B. ( , ??) ) D. ( , ??)

1 9 3 10.已知 f(x)= x ? 3x ? m ,在区间[0,2]上任取三个数 a, b, c ,均存在以 f (a), f (b), f (c) 为
C. ( , ??) 边长的三角形,则 m 的取值范围是( A. m ? 2 B. m ? 4 ) C. m ? 6 D. m ? 8

1 3

1 5

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡相应横线上 11.已知集合 A ? x ? R ?1 ? x ? 1 , B ? x ? R 1 ? 2 ? 4 ,则 A
x

?

?

?

?

(CR B) ? ________.

12. 将函数 f ( x) ? 2sin( x ?

) 的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半, 纵坐标保持不变 3 得到新函数 g ( x) ,则 g ( x) 的最小正周期是________. 13.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以 a1 为首项公比为 2 的等
比数列,相应获得的奖金是以 700 元为首项,公差为 ?140 元的等差数列,则参与该游 戏获得奖金的期望为________元。

?

14.根据气象预报,某海域将有台风,位于港口 O (如图)正东方向 20 海里 B 处的渔船回 港避风时出现故障.位于港口南偏西 30 ,距港口 10 海里 C 处的拖轮接到海事部门营救 信息后以 30 海里 / 小时的速度沿直线 CB 去营救渔船,则拖轮到达 B 处需要______小 时.
y

北 O B 东
x O

C

15.设M1(0,0),M2(1,0),以M1为圆心,| M1 M2 | 为半径作圆交x轴于点M3 (不同于M2), 记作⊙M1;以M2为圆心,| M2 M3 | 为半径作圆交x轴于点M4 (不同于M3),记作⊙M2;……; 以Mn为圆心,| Mn Mn+1 | 为半径作圆交x轴于点Mn+2 (不同于Mn+1),记作⊙Mn;……当n∈N* 时,过原点作倾斜角为30° 的直线与⊙Mn交于An,Bn.考察下列论断:

35 ? 42 ? 23 ? 1 ; 3 35 ? 44 ? 25 ? 1 当n=4时, A4 B4 ? ;当n=5时, A5 B5 ? ;……, 3 则推测一个一般的结论:对于n∈N*, An Bn ? .
当n=1时, A2 B2 ? 2 ;当n=2时, A1 B1 ? 15 ;当n=3时, A3 B3 ? 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系中,角 ? , ? 的始边为 x 轴的非负半轴,点 P(1, 2cos2 ? ) 在角 ? 的 终边上,点 Q(sin 2 ? , ?1) 在角 ? 的终边上,且 OP ? OQ ? ?1 . (1)求 cos 2? ; (2)求 P, Q 的坐标并求 sin(? ? ? ) 的值.

17. (本小题满分 13 分) 已知几何体 A ? BCDE 的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直 角三角形,正视图为直角梯形. (1)若几何体 A ? BCDE 的体积为 16 ,求实数 a 的值; (2)若 a ? 1 ,求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (3)是否存在实数 a ,使得二面角 A ? DE ? B 的平面角是 45 ? ,若存在,请求出 a 值;若 不存在请说明理由.

18. (本小题满分 13 分) 有一种新型的奇强洗衣液, 特点是去污速度快.已知每投放 k (1 ? k ? 4 ,且 k ? R) 个单位 的洗衣液在一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度 y (克/升)随着时间 x (分钟)变化

? 24 ? 1 (0 ? x ? 4) ? ?8 ? x 的函数关系式近似为 y ? k ? f ( x) ,其中 f ( x) ? ? .若多次投放,则某一 1 ? 7 ? x (4 ? x ? 14) ? ? 2
时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水 中洗衣液的浓度不低于 4(克/升)时,它才能起到有效去污的作用. (1)若只投放一次 k 个单位的洗衣液,2 分钟时水中洗衣液的浓度为 3(克/升) ,求 k 的值?

(2)若只投放一次 4 个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟? (3)若第一次投放 2 个单位的洗衣液,10 分钟后再投放 1 个单位的洗衣液,在第 12 分 钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用?能,请加以证明;不能,请说明理由.

19(本小题满分 13 分) . 已知点 P(m, ?1)( m ? R ),过点 P 作抛物线 C : y ? x2 的切线,切点分别为 A( x1 , y1 ) 、

B( x2 , y2 ) 。
(1)若过点 P 的切线的斜率为 1,求 m 的值; (2)证明 x1 , m, x2 成等差数列; (3)若以点 P 为圆心的圆 E 与直线 AB 相切,求圆 E 面积的最小值.

20. (本小题满分 14 分)

2? x . ? a ln( x ? 1) ( a ? R ) x ?1 (1)若函数 f ( x) 在区间 [2, ??) 上是单调递增函数,试求实数 a 的取值范围; 1 (2)当 a ? 2 时,求证: 1 ? ; ? 2ln( x ? 1) ? 2 x ? 4 ( x ? 2 ) x ?1 1 1 1 1 1 (3)求证: ( n? N* 且 n ? 2 ) . ? ? ... ? ? ln n ? 1 ? ? ... ? 4 6 2n 2 n ?1
已知函数 f ( x) ?

21. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-4:矩阵与变换

1 2 2 绕原点逆时针旋转 45 ? 后可得到曲线 C2 : y ? x ? 2 , x (I)求由曲线 C1 变换到曲线 C2 对应的矩阵 M 1 ;
已知曲线 C1 : y ? (II)若矩阵 M 2 ? ? 的曲线方程.

? 2 0? ? ,求曲线 C1 依次经过矩阵 M1, M 2 对应的变换 T1 , T2 变换后得到 ? 0 3?

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的极坐标方程是 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 . 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,在曲线 C : ?

? x ? ?1 ? cos ? (? 为参数) 上求一 ? y ? sin ?

点,使它到直线 l 的距离最小,并求出该点坐标和最小距离. (3) (本小题满分 7 分) (选修 4—5:不等式选讲) 将 12cm 长的细铁线截成三条长度分别为 a 、 b 、 c 的线段, (I)求以 a 、 b 、 c 为长、宽、高的长方体的体积的最大值; (II)若这三条线段分别围成三个正三角形,求这三个正三角形面积和的最小值。

【校本试卷】2011/05/21

福州三中 2011 年高三数学第六次模拟考参考答案(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题) 和第 II 卷(非选择题)两部分共 150 分, 考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.考生作答时,将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内 作答,超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 4.保持答题卡卡面清洁,不折叠,不破损。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 样本数据 x1,x2,… ,xn 的标准差

台体的体积公式

1 ? ( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? ? n 其中 x 为样本平均数
s= 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高 锥体体积公式 V=

1 V ? ( S ? SS ' ? S ' )h 3 其中 S 、 S ' 是上下底面积, h 为高
球的表面积、体积公式

1 Sh 3

S ? 4?R2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 S 为底面面积,h 为高

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.计算 i (1 ? i ) 2 等于( ) A. 2 ? 2i B. 2 ? 2i 【解析】原式 ? ?i ? 2i ? 2 ,因此选 D.
2

C. ?2

D. 2 )

2.已知命题 p : x ? 2 是 x ? 4 的充要条件,命题 q : 若

A.“ p 或 q ”为真 C. p 真 q 假 【解析】由已知命题 p 是假命题,命题 q 是真命题,因此选 A. 3.如图所示程序框图运行后输出的结果为 ( ) A.36 B.45 C.55 D.56 【解析】其实质是求 1+2+3+…+9=45,因此选 B. 4.已知 m、n 是两条不重合的直线,α、β、γ 是三个两两 不重合的平面,则下列四个命题中真命题的是( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m∥α,m∥n,则 n∥α C.若 α∥β,α∩γ=m,β∩γ= n,则 m∥n D.若 m ? α,n ? β,m∥n,则 α∥β 【解析】可以利用作图排除法得到 C 是正确的,因此选 C. 5.已知函数 y ? f ( x) 的大致图象如图所示, 则函数 y ? f ( x) 的解析式应为( )

a b ? 2 , 则a ? b ,则 ( 2 c c B.“ p 且 q ”为真 D. p, q 均为假

A. f ( x) ? e x ln(x) C. f ( x) ? e x ln(| x |)

B. f ( x) ? e ? x ln(| x |)

【解析】如图,因为函数定义域是 x x ? 0 排除 A 选项,当 x ? ??, f ( x) ? 0 排除 B, D,因此选 C. 6.四个旅行团选择四个景点游览,其中恰有一个景点没有旅行团游览的情况有( )种 A.36 B.72 C.144 D.288 y 【解析】 恰有一个景点没有旅行团游览, 先从 4 个旅游团中任选 2 个, 有 C2 4种 方法,然后与其余 2 个旅游团看成三组,分别游览 4 个景点中的 3 个,有 A3 4种 1 2 3 方法.由分步计数原理,知共有 C4A4=144 种不同的放法,因此选 C. 7. 函数 y ? tan(

?

D. f ( x) ? e| x| ln(| x |)

?

x ? ) 的部分图象如图所示,则 (OA ? OB) ? AB ? ( ) 4 2 A. ? 6 B. ?4 C. 4 D. 6 【解析】可知 A(2, 0), B(3,1) , (OA ? OB) ? AB ? (5,1) (1,1) ? 6 ,因此选 D。

?

?

B B A x

O

第 7 题图

? x ? y ? 5 ? ?, ? 8.由不等式组 ? y ? t, 围成的三角形区域内有一个内切圆,向该三角形区域内随机 ?0 ? x ? 2 ? 投一个点,该点落在圆内的概率是关于 t 的函数 P(t ) ,则( )
A. P' (t ) ? 0 B. P' (t ) ? 0 C. P' (t ) ? 0 D. P ' (t ) 符号不确定 【解析】若围成的三角形只可能恒为等腰直角三角形,内接圆半径

r ? 2(7 ? t ) ? 2(7 ? t ) ,? P(t ) ?
所以 P (t ) ? 0 。因此选 C
'

? (2 ? 2) 2 (7 ? t ) 2
1 (7 ? t ) 2 2

? 2? (2 ? 2) 2 ,该值与 t 无关,

9.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左右焦点分别为 F1 , F2 ,且两条曲线在第 一象限的交点为 P, ?PF1 F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若 PF1 ? 10 ,椭圆与双曲线 的离心率分别为 e1 , e2 ,则 e1 ? e2 的取值范围是( A. (0, ?? ) B. ( , ??) ) D. ( , ??)

1 3

C. ( , ??)

1 5

1 9

【解析】如图,由题意知 r1 ? 10 , r2 ? 2c ,且 r1 ? r2 . e1 ? 2c ? 2c ? 2c ? c ; 2a双 r1-r2 10-2c 5 ? c

y
r1

e2 ? 2c ? 2c ? 2c ? c . 2a椭 r1 ? r2 10 ? 2c 5 ? c

P r2 F2

三角形两边之和大于第三边, 2c ? 2c ? 10, c ?
∴ e1 ? e2 ?

5 2

F1 O

x

c2 1 1 ? ? ,因此选 B。 2 25 25 ? c ?1 3 c2 3 10.已知 f(x)= x ? 3x ? m ,在区间[0,2]上任取三个数 a, b, c ,均存在以 f (a), f (b), f (c) 为 边长的三角形,则 m 的取值范围是( ) A. m ? 2 B. m ? 4 C. m ? 6 D. m ? 8

【解析】由 f ' ( x) ? 3x 2 ? 3 ? 0 得到 x1 ? 1, x2 ? ?1 (舍去)所以函数 f ( x) 在区间 (0,1) 单调递减,在区间 (1,2) 单调递增,则

f ( x) min ? f (1) ? m ? 2, f ( x) max ? f (2) ? m ? 2 , f (0) ? m 由题意知, f (1) ? m ? 2 ? 0 ① f (1) ? f (1) ? f (2) ,得到 ? 4 ? 2m ? 2 ? m ②
由①②得到m>6为所求。因此选C

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡相应横线上 11.已知集合 A ? x ? R ?1 ? x ? 1 , B ? x ? R 1 ? 2 ? 4 ,则 A
x

?

?

?

?

(CR B) ? ________.

【解析】 [?1, 0] 12. 将函数 f ( x) ? 2sin( x ?

) 的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半, 纵坐标保持不变 3 得到新函数 g ( x) ,则 g ( x) 的最小正周期是________.

?

【解析】 g ( x) ? 2sin(2 x ?

?
3

), T ? ?

13.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以 a1 为首项公比为 2 的等 比数列,相应获得的奖金是以 700 元为首项,公差为 ?140 元的等差数列,则参与该游 戏获得奖金的期望为________元。 【解析】500

1 1 2 4 a1 ? 2a1 ? 4a1 ? 1, a1 ? , E? ? ? 700 ? ? 560 ? ? 420 ? 500 。 7 7 7 7
14.根据气象预报,某海域将有台风,位于港口 O (如图)正东方向 20 海里 B 处的渔船回 港避风时出现故障.位于港口南偏西 30 ,距港口 10 海里 C 处的拖轮接到海事部门营救 信息后以 30 海里 / 小时的速度沿直线 CB 去营救渔船,则拖轮到达 B 处需要______小 时. 【解析】

7 3


y

x O

O

B



C

15.设M1(0,0),M2(1,0),以M1为圆心,| M1 M2 | 为半径作圆交x轴于点M3 (不同于M2), 记作⊙M1;以M2为圆心,| M2 M3 | 为半径作圆交x轴于点M4 (不同于M3),记作⊙M2;……; 以Mn为圆心,| Mn Mn+1 | 为半径作圆交x轴于点Mn+2 (不同于Mn+1),记作⊙Mn;……当n∈N* 时,过原点作倾斜角为30° 的直线与⊙Mn交于An,Bn.考察下列论断: 当n=1时, A 1B 1 ? 2 ;当n=2时, A2 B2 ? 15 ;当n=3时, A3 B3 ? 当n=4时, A4 B4 ?

35 ? 42 ? 23 ? 1 ; 3 35 ? 44 ? 25 ? 1 ;当n=5时, A5 B5 ? ;……, 3

则推测一个一般的结论:对于n∈N*, An Bn ?



35 ? 43 ? 24 ? 1 【解析】 A4 B4 ? ,由归纳猜想得: An Bn ? 3

35 ? 4n?1 ? (?1)n?1 2n ? 1 。 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系中,角 ? , ? 的始边为 x 轴的非负半轴,点 P(1, 2cos2 ? ) 在角 ? 的 终边上,点 Q(sin 2 ? , ?1) 在角 ? 的终边上,且 OP ? OQ ? ?1 . (1)求 cos 2? ; (2)求 P, Q 的坐标并求 sin(? ? ? ) 的值. 【解析】 (1)∵ OP ? OQ ? ?1 , ∴ ∴ sin ? ? 2cos ? ? ?1 ,
2 2

1 ? cos 2? ? (1 ? cos 2? ) ? ?1 , 2 1 ∴ cos 2? ? . 3 1 ? cos 2? 2 2 ? , (2)由(1)得: cos ? ? ∴ 2 3 1 ? cos 2? 1 sin 2 ? ? ? , ∴ 2 3 4 2 5 1 2 2 2 ∴ | OP |? (1) ? ( ) ? , | OQ |? ( ) ? (?1) ? 3 3 3 4 3 ∴ sin ? ? , cos ? ? , 5 5 3 10 10 , cos ? ? , sin ? ? ? 10 10 10 ∴ sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ? 10

4 P (1, ) 3 1 Q ( , ?1) 3 10 , 3

17. (本小题满分 13 分) 已知几何体 A ? BCDE 的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直 角三角形,正视图为直角梯形. (1)若几何体 A ? BCDE 的体积为 16 ,求实数 a 的值; (2)若 a ? 1 ,求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (3)是否存在实数 a ,使得二面角 A ? DE ? B 的平面角是 45 ? ,若存在,请求出 a 值;若 不存在请说明理由.



1







1 (a ? 4)4 V ? ?4 ? 16, a ? 2 ; 3 2 (2) 解一:过点 B 作 BF // ED 交 EC 于 F ,连接 AF ,则 ?FBA 或其补角即为异面直线 DE 与 AB 所成角,在 ?BAF 中, AB ? 4 2 , BF ? AF ? 16 ? 9 ? 5 ,

? cos?ABF ?
2 2 。 5

BF 2 ? AB2 ? AF 2 2 2 ;即异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值为 ? 2 BF ? AB 5

解二: 以 C 为原点,以 CA 、 CB 、 CE 所在直线为 x 、 y 、 z 轴建立如图所示的空间直角 坐标系, 则 A(4,0,0) ,B(0,4,0) ,D(0,4,1) ,E (0,0,4) , 得 DE ? (0,?4,3) ,AB ? (?4,4,0) ,

cos ? DE , AB ??

DE ? AB DE ? AB

??

2 2 , 又异面直线 DE 与 AB 所成角为锐角, 可得异面直 5

2 2 。 5 (3)以 C 为原点,以 CA 、 CB 、 CE 所在直线为 x 、 y 、 z 轴建立如图所示的空间直角坐
线 DE 与 AB 所成角的余弦值为 标系,则 A(4,0,0) , B(0,4,0) , D(0, 4, a) , E (0,0,4) ,平面 BDE 的法向量 n1 ? (1,0,0) , 平 面 A D E的 法 向 量 n2 ? ( x, y, z, ) DE ? (0, ?4, 4 ? a) , AD ? (?4, 4, a) , 由

n2 DE ? 0, n2 AD ? 0 ,可得 n2 ? (?1,

4?a n ?n 2 ,1) , cos ? n1 , n2 ?? 1 2 ? , a ? 4。 4 2 n1 ? n2

此时,与正视图为直角梯形条件不符,所以舍去, 因此不存在实数 a ,使得二面角 A ? DE ? B 的平面角是 45 ? 。 18. (本小题满分 13 分) 有一种新型的奇强洗衣液, 特点是去污速度快.已知每投放 k (1 ? k ? 4 ,且 k ? R) 个单位 的洗衣液在一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度 y (克/升)随着时间 x (分钟)变化

? 24 ? 1 (0 ? x ? 4) ? ?8 ? x 的函数关系式近似为 y ? k ? f ( x) ,其中 f ( x) ? ? .若多次投放,则某一 ? 7 ? 1 x (4 ? x ? 14) ? ? 2
时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水 中洗衣液的浓度不低于 4(克/升)时,它才能起到有效去污的作用. (1)若只投放一次 k 个单位的洗衣液,2 分钟时水中洗衣液的浓度为 3(克/升) ,求 k 的值? (2)若只投放一次 4 个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟? (3)若第一次投放 2 个单位的洗衣液,10 分钟后再投放 1 个单位的洗衣液,在第 12 分 钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用?能,请加以证明;不能,请说明理由.

24 ? 1) ? 3,? k ? 1 ; 8?2 ? 96 ? 4(0 ? x ? 4) 96 ? ? 4 ? 4 , 解得 ( 2 )因为 k ? 4 ,所以 y ? ? 8 ? x 则当 0 ? x ? 4 时 , 由 8? x ? ? 28 ? 2 x(4 ? x ? 14) x ? ?4 ,所以此时 0 ? x ? 4 当 4 ? x ? 14 时,由 28 ? 2 x ? 4 ,解得 x ? 12 ,所以此时 4 ? x ? 12
【解析】 (1) k (

综合,得 0 ? x ? 12 ,若一次投放 4 个单位的洗衣液,则有效去污时间可达 12 分钟 (3)当 x ? 12 时, y ? 2 ? (7 ?

1 24 ?12) ? 1? ( ? 1) ? 5 ? 4 , 2 8 ? (12 ? 10)

? 在第 12 分钟时还能起到有效去污的作用。
19(本小题满分 13 分) . 已知点 P(m, ?1)( m ? R ),过点 P 作抛物线 C : y ? x2 的切线,切点分别为 A( x1 , y1 ) 、

B( x2 , y2 ) 。
(1)若过点 P 的切线的斜率为 1,求 m 的值; (2)证明 x1 , m, x2 成等差数列; (3)若以点 P 为圆心的圆 E 与直线 AB 相切,求圆 E 面积的最小值. 【解析】 (1)设切点的坐标为 (x0 , y0 ) ,∵ y ' ? 2x0 ? 1 ,∴ x0 ?

1 1 2 ,∵ y0 ? x0 ? , 2 4

5 2 x0 ?1 3 且 ? 1 ,∴ 4 ? 1 ,解得 m ? ? ; 1 4 x0 ? m ?m 2 2 (2)由 y ? x 可得, y? ? 2 x . ∵直线 PA 与曲线 C 相切,且过点 P(m, ?1) ,

x12 ? 1 2 2 ∴ 2 x1 ? ,即 x1 ? 2mx2 ? 1 ? 0 , ? 2mx1 ?1 ? 0 , 同理 x2 x1 ? m
∴ x1 , x 2 为方程 x ? 2mx ? 1 ? 0 两个根,因此 x1 ? x2 ? 2m ,故 x1 , m, x2 成等差数列。
2

2 ( 注 : 另 解 , 由 x1 ? 2mx1 ?1 ? 0 得 x1 ?

2m ? 4m2 ? 4 ? m ? m2 ? 1 , 或 2

x1 ? m ?

2

m 1?,

2 2 同理可得: x2 ? m ? m ? 1 ,或 x2 ? m ? m ? 1 ,∵ x1 ? x2 ,∴

x1 ? m ? m 2 ? 1 , x2 ? m ? m 2 ? 1 . 因此 x1 ? x2 ? 2m ,故 x1 , m, x2 成等差数列。 ( 3 ) 由 ( 2 ) 可 知 , x1 ? x2 ? 2m , x1 ? x2 ? ?1 , 则 直 线 AB 的 斜 率

k?

2 y1 ? y2 x12 ? x2 ? ? x1 ? x2 , x1 ? x2 x1 ? x2

∴直线 AB 的方程为: y ? y1 ? ( x1 ? x2 )( x ? x1 ) ,又

y1 ? x12 ,∴ y ? x12 ? ( x1 ? x2 ) x ? x12 ? x1x2 ,即 2mx ? y ? 1 ? 0 .
∵点 P 到直线 AB 的距离即为圆 E 的半径,即 r ? 设 4m ? 1 ? t , t ? 1 ,则
2

2m2 ? 2 4m2 ? 1



t ?1 ? 1) 2 1 1 9 1 9 2 4 r ? ? (t ? ? 6) ? ? (2 t ? ? 6) ? ? 12 ? 3 , 4 t 4 t 4 t 1 3 2 2 当且仅当 t ? 3 时,等号成立,即 m ? ? , m ? ? 时取等号. 4 4 2 2 故圆 E 面积的最小值 S ? ? r ? 3? . 4(
20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

2? x . ? a ln( x ? 1) ( a ? R ) x ?1

(1)若函数 f ( x) 在区间 [2, ??) 上是单调递增函数,试求实数 a 的取值范围;

1 ; ? 2ln( x ? 1) ? 2 x ? 4 ( x ? 2 ) x ?1 1 1 1 1 1 (3)求证: ( n? N* 且 n ? 2 ) . ? ? ... ? ? ln n ? 1 ? ? ... ? 4 6 2n 2 n ?1 a( x ? 1) ? 1 【解析】 (1)因为 f ' ( x) ? ,若函数 f ( x) 在区间 [2, ?? ) 上是单调递增函数,则 ( x ? 1)2 1 1 恒成立,所以 a ? ( f ' ( x) ? 0 恒成立,即 a ? )max . x ?1 x ?1 1 又 x ?[2, ??) ,则 0 ? ? 1 ,所以 a ? 1 . x ?1 2? x (2)当 a ? 2 时,由(Ⅰ)知函数 f ( x) ? ? 2ln( x ? 1) 在 [2, ??) 上是增函数, x ?1 2? x x?2 1 所以当 x ? 2 时, f ( x) ? f (2) , 即 则 2ln( x ? 1) ? . ? 2l n ( x1 ? ) 0 ? , ?1? x ?1 x ?1 x ?1 2 2( x ? 2) 令 g ( x) ? 2 x ? 2 ? 2ln( x ? 1) ,则有 g ' ( x) ? 2 ? , ? x ?1 x ?1 当 x ? (2, ??) 时,有 g ' ( x) ? 0 , 因此 g ( x) ? 2 x ? 4 ? 2ln( x ? 1) 在 (2, ??) 上是增函数,所以有 g ( x) ? g (2) ? 0 , 即可得到 2 x ? 4 ? 2ln( x ? 1) . 1 综上有 1 ? . ? 2ln( x ? 1) ? 2 x ? 4 ( x ? 2 ) x ?1 1 t ?1 1 t ?1 (3)在(2)的结论中令 x ? 1 ? ,则 ? 2ln ? 2? , t ?1 t t t * 取 t ? 1,2, , n ? 1,(n ? N , n ? 2) 时,得到 (n ? 1) 个不等式,将所得各不等式相加得, 1 1 1 2 3 n 1 1 ? ? ... ? ? 2(ln ? ln ? ... ? ln ) ? 2(1 ? ? ... ? ), 2 3 n 1 2 n ?1 2 n ?1 1 1 1 1 1 所以 ? ? ... ? ? 2ln n ? 2(1 ? ? ... ? ), 2 3 n 2 n ?1 1 1 1 1 1 即 ? ? ... ? ( n? N* 且 n ? 2 ) ? ln n ? 1 ? ? ... ? 4 6 2n 2 n ?1
(2)当 a ? 2 时,求证: 1 ? 21. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-4:矩阵与变换

1 2 2 绕原点逆时针旋转 45 ? 后可得到曲线 C2 : y ? x ? 2 , x (I)求由曲线 C1 变换到曲线 C2 对应的矩阵 M 1 ;
已知曲线 C1 : y ? (II)若矩阵 M 2 ? ? 的曲线方程.

? 2 0? ? ,求曲线 C1 依次经过矩阵 M1, M 2 对应的变换 T1 , T2 变换后得到 ? 0 3?

? 2 2? ? ? ? 2 2 ?; 【解析】 (I)依题意得 M 1 ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 2 2 ? (II)设依次经过矩阵 M1 , M 2 对应的变换 T1 , T2 对应的矩阵

? 2 2? ? ? ? 2 ? 2? ? 2 0 ? ? ? 2 2 ? ? ?3 2 3 2 ? ? M ? M 2M1 ? ? ? ? 0 3? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 2 ? ? 2 1 任 取 曲 线 C1 : y ? 上 的 一 点 P( x, y), 它 在 变 换 TM 作 用 下 变 成 点 P ' ( x ' , y ' ), 则 有 x ? 3x ' ? 2 y ' ' x ? ? x ? 2x ? 2 y ? ? x' ? ? x? ? ? 6 2 ? ' ? ? M? ,即 , ? ? ? ? ' 3 2 3 2 ' ? y? ?y ? 2 y ? 3x ' y ? x? y ? ? ? ? ? ? y ? 2 2 ? ? 6 2 ?
又因为点 P 在 C1 : y ?

1 y x y' x' 上,得到 ? ?1。 ? ? 1即 x 18 8 18 8

2

2

2

2

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的极坐标方程是 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 . 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,在曲线 C : ? 【解析】直线 l 的直角坐标方程是 x ? y ? 1 ? 0

? x ? ?1 ? cos ? (? 为参数) 上求一 ? y ? sin ?

点,使它到直线 l 的距离最小,并求出该点坐标和最小距离. 设所求的点为 P(?1 ? cos? , sin ? ) ,则 P 到直线 l 的距离

? sin(? ? ) ? 2 4 2 ? ? ? 当? ? ? 2k? ? , k ? Z时, 即? ? 2k? ? , k ? Z, d的 最 小 值 为 2 ?1 4 2 4 2 2 此时P(?1 ? , ) 2 2 d?
(3) (本小题满分 7 分) (选修 4—5:不等式选讲) 将 12cm 长的细铁线截成三条长度分别为 a 、 b 、 c 的线段, (I)求以 a 、 b 、 c 为长、宽、高的长方体的体积的最大值; (II)若这三条线段分别围成三个正三角形,求这三个正三角形面积和的最小值。 【解析】 (I) a ? b ? c ? 12 , V ? abc ? (

? 1 ? cos? ? sin ? ? 1

?

当且仅当 a ? b ? c ? 4 时,等号成立.

a?b?c 3 ) ? 64 ; 3

(II)设正三角形的边长为 l , m, n ,则 l ? m ? n ? 4 ∴ 这三个正三角形面积和为:

3 2 3 4 3 (l ? m2 ? n2 )(12 ? 12 ? 12 ) ? (l ? m ? n)2 ? 4 3 ? S ? 4 4 3 当且仅当 a ? b ? c ? 1 时,等号成立. 3S ?


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