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山东省青岛市2015届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案


第 I 卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分;在每小题给出的四个选项只有一个 是符合题目要求的.
x ? ? ? ? ?1? 1.已知集合 A ? ? y y ? log 2 x, x ? 1? , B ? ? y y ? ? ? , x ? 1?,则A ? B ? ,则

A ? B ? ?2? ? ? ? ?

A. ? 0, ? 2.若复数 A. 2

? ?

1? 2?

B.

? 0,1?

C. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

D. ?

a?i 是纯虚数,则实数 a 的值为 1 ? 2i 1 B. ? C. ?2 2
2

D. ?1

2 2 2 3.圆 ? x ? 1? ? y ? 1 和圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的位置关系为

A.相交

B.相切
ln x

C.相离

D.以上都有可能

4.已知函数 f ? x ? ? e

,则函数 y ? f ? x ? 1? 的大致图象为

5.下列命题:
2 2 ① k ? 4 是方程 x ? y ? 2kx ? 4 y ? 3k ? 8 ? 0 表示圆的充要条件;

②把 y ? sin x 的图象向右平移

? 1 单位,再保持纵坐标不变,横坐标变为原来的 ,得到函数 2 3

?? ? y ? sin ? 2 x ? ? 的图象; 3? ?
-1-

③函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ?? ? 在 ?0, ? 上为增函数; 3 ? ? 6?

④椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 2,则实数 m 的值等于 5. m 4

其中正确命题的序号为 A.①③④ B.②③④ C.②④ D.② 6.若圆台两底面周长的比是 1:4,过高的中点作平行于底面的平面,则圆台被分成两部分的 体积比是 A.1:16 B.39:129 C.13:129 D.3:27 7.如果执行如图的程序框图,那么输出的值是 A. 2016 B. 2 C.

1 2

D. ?1

8.函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? 是 A. C.

2 的零点所在的大致区间 x

? 0,1? ? 2, e ?

B. ?1, 2 ? D.

? 3, 4?
1 ,且各人能否通过测试是相互 3

9.有 3 位同学参加测试,假设每位同学能通过测试的概率都是 独立的,则至少以后一位同学能通过测试的概率为 A.

8 27

B.

4 9

C.

2 3

D.

19 27

10.已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? ax 2 ? 2bx ? c 有两个极值点 x1 , x2,且 ?1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 ,则直 3

线 bx ? ? a ?1? y ? 3 ? 0 的斜率的取值范围是 A. ? ?

? 2 2? , ? ? 5 3?

B. ? ?

? 2 3? , ? ? 5 2?

C. ? ?

? 2 1? , ? ? 5 2?

D. ? ??, ?

? ?

2? ?2 ? ? ? ? , ?? ? 5? ?3 ?

第 II 卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. ? x 2 ?

? ?

1? ? 的展开式中的常数项是_________. x?
的图像恒过点 ? x? ? loga ? x? 1 ? ?1
-2-

6

12. 当 a ? 0且a ? 1 时 , 函 数 f

A,若点 A 在直线

mx ? y ? n ? 0 上,则 4 m ? 2 n 的最小值为_________.
13.两曲线 x ? y ? 0, y ? x2 ? 2 x 所围成的图形的面积是_________. 14.若数列?an ? 的通项公式为 an ?

1

? n ? 1?

2

? n ? N ?,记f ? n ? ? ?1 ? a ??1 ? a ? ...?1 ? a ? ,试通
* 1 2 n

过计算 f ?1? , f ? 2? , f ?3? 的值,推测出 f ? n ? ? _________.

x2 y 2 15.已知双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? ,双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 a b

5c (c 为双曲线的半焦距长) ,则双曲线的离心率 e 为__________. 3
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知直线两直线 l1 : x cos ? ?

1 ?? ? y ? 1 ? 0;l2 : y ? x sin ? ? ? ? , ?ABC 中,内角 A,B,C 对边 2 6? ?

分别为 a, b, c,a ? 2 3, c ? 4,且当? =A 时,两直线恰好相互垂直; (I)求 A 值; (II)求 b 和 ?ABC 的面积

17. (本小题满分 12 分) 右图为某校语言类专业 N 名毕业生的综合测评成绩(百分制)分布直方图,已知 80~90 分数 段的学员数为 21 人 (I)求该专业毕业总人数 N 和 90~95 分数段内的人数 n ; (II)现欲将 90~95 分数段内的 n 名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校,若向学校甲分配两名毕业生, 且其中至少有一名男生的概率为 ,求 n 名毕业生中男女各几人(男女人数均至少两人)? (III) 在 (II) 的结论下, 设随机变量? 表示 n 名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数, 求? 的分布列和数学期望.

3 5

-3-

18. (本小题满分 12 分) 如图,ABCD 为梯形, PD ? 平面 ABCD,AB//CD, ?BAD=?ADC=90
o

DC ? 2 AB ? 2a, DA ? 3a, PD ? 3a ,E 为 BC 中点,连结 AE,交 BD 于 O.
(I)平面 PBD ? 平面 PAE (II)求二面角 D ? PC ? E 的大小(若非特殊角,求出其余弦即可)

19. (本小题满分 12 分) 已知 Sn 是等差数列?an ? 的前 n 项和,数列?bn ? 是等比数列, b1 ? 项,圆 C : ? x ? 2n ? ? y ? Sn
2

1 1 , a5 ? 1 恰为 S4与 的等比中 2 b2

?

?

2

? 2n2 ,直线 l : x ? y ?n ,对任意 n ? N ? ,直线l 都与圆 C 相

切. (I)求数列?an ?, ?bn? 的通项公式;

c1 ? 1 ? (II) 若 n ? 1 时,

1 1 1 1 , n ? 2 时,cn ? ? ?... ? , 1 1 1 1 ?1 ?2 b1 bn ?1 bn ? bn 1
n ?1 2

?cn ? 的前 n 项和为Tn ,

求证:对任意 n ? 2 ,都有Tn ?

20. (本小题满分 13 分) 已知 g ? x ? ? bx ? cx ?1, f ? x ? ? x ? ax ? ln x ? 1, g ? x ? 在x ? 1处的切线为 y ? 2 x
2 2

(I)求 b, c 的值;
-4-

(II)若 a ? ?1 ,求f ?x ? 的极值; (III)设 h ?x ? ? f ?x ? ?g ? x 数 h ? x ? 的最小值为 3.

? ,是否存在实数 a,当x ? ? 0, e?, ( e ? 2.718 ,为自然常数)时,函

21. (本小题满分 14 分) 已 知 抛 物 线 C1 : y 2 ? 2 px 上 一 点 M ? 3,y0 ? 到 其 焦 点 F 的 距 离 为 4 ; 椭 圆

y 2 x2 2 C2: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? ,且过抛物线的焦点 F. a b 2
(I)求抛物线 C1 和椭圆 C2 的标准方程; (II) 过点 F 的直线 l1 交抛物线 C1 于 A、 B 两不同点, 交 y 轴于点 N, 已知 NA ? ? AF, NB ? ? BF , 求证: ? ? ? 为定值. (III)直线 l2 交椭圆 C2 于 P,Q 两不同点,P,Q 在 x 轴的射影分别为 P? , Q? ,

uur

uuu r uu u r

uu u r

uu u r uuu r uuu r uuu r uur uu u r uuu r OPg OQ ? OP?g OQ? ?1 ? 0 ,若点 S 满足:OS ?OP ? OQ ,
证明:点 S 在椭圆 C2 上.

-5-

16. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)当 ? ? A 时,直线 l1 : x cos ? ?

k1 ? ?2 cos A, k2 ? sin( A ? ) ,两直线相互垂直 6
所以 k1k2 ? (?2 cos A) sin( A ? 即 cos A sin( A ?

?

1 ? y ? 1 ? 0; l2 : y ? x sin(? ? ) 的斜率分别为 2 6

?

?
6

6

) ? ?1

)?

可得 cos A(sin A cos

?

? 1 ? cos A sin ) ? 6 6 2

1 2

所以

3 1 1 3 1 1 ? cos 2 A 1 sin A cos A ? cos 2 A ? ,所以 sin 2 A ? ( )? 2 2 2 4 2 2 2



3 1 ? cos 2 A sin 2 A ? ?1 2 2

即 sin(2 A ?

?
6

)?

1 …………………………4 分 2

因为 0 ? A ? ? , 0 ? 2 A ? 2? ,所以

?

5? 所以只有 2 A ? ? 6 6

?

6

? 2A ?

?
6

?

13? 6

-6-

所以 A ?

?
3

………………………………6 分

(Ⅱ) a ? 2 3, c ? 4, A ?

?
3

,

2 2 2 所以 a ? b ? c ? 2bc cos 2 即 12 ? b ? 16 ?

?
3

1 ? 8b 2

所以 (b ? 2)2 ? 0 即 b ? 2 …………………………9 分 所以 ?ABC 的面积为 S ?ABC ?

1 1 ? bc sin A ? ? 4 ? 2sin ? 2 3 ……………………12 分 2 2 3

(Ⅱ)

90 95 分数段内共 6 名毕业生,设其中男生 x 名,女生为 6 ? x 名
设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件 A ,则 则 P ( A) ? 1 ?

C 62?x C6
2

?

3 5

解得 x ? 2 或 9 (舍去) 即 6 名毕业生中有男生 2 人,女生 4 人…………………8 分 (Ⅲ) ? 表示 n 名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数, 所以 ? 的取值可以为 0,1, 2
3 C4 1 当 ? ? 0 时, P(? ? 0) ? 3 ? C6 5

-7-

当 ? ? 1 时, P(? ? 1) ?

1 2 C2 C4 3 ? 3 C6 5

2 1 C2 C4 1 当 ? ? 2 时, P(? ? 2) ? ? 3 C6 5

所以 ? 的分布列为

?
P(? ? k )

0
1 5

1

2

3 5

1 5

所以随机变量 ? 数学期望为 E? ? 0 ? 18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ) 连结 BD

1 3 3 9 ? 1? ? 2 ? ? ………………………12 分 5 5 5 5
P

?BAD ? ?ADC ? 90

AB ? a, DA ? 3a ,所以 BD ? DC ? BC ? 2a
E 为 BC 中点,所以, DE ? 3a ? AD
因为 AB ? BE ? a , DB ? DB 所以 ?DAB 与 ?DEB 为全等三角形 所以 ?ADB ? ?EDB 所以 ?DAO 与 ?DEO 为全等三角形 所以在 ?DAE 中, DO ? AE ,即 AE ? BD ………………3 分 又因为 PD ? 平面 ABCD , AE ? 平面 ABCD 所以 AE ? PD ……………………………4 分 而 BD

D

C O
B

E

A

z
P

PD ? D
A

D

C
O
B
E

所以 AE ? 平面 PBD ………………………5 分 因为 AE ? 平面 PAE 所以平面 PAE ? 平面 PBD ……………………6 分 (Ⅱ) 以 O 为原点,分别以 DA, DB, DP 所在直线 为 x, y , z 轴,建立空间直角坐标系如图 二面角 D ? PC ? E 即二面角 D ? PC ? B
-8-

x

AD ? 平面 DPC ,平面 DPC 的法向量可设为

n1 ? (1,0,0) ……………7 分
设平面 PBC 的法向量为 n2 ? ( x, y,1) 所以 ?

? ?n 2 ? BC ? 0 ? ?n 2 ? PC ? 0

,而 B( 3a, a,0), C(0, 2a,0), P(0,0, 3a)

BC ? (? 3a, a,0), PC ? (0, 2a, ? 3a)
即: ?

? ?? 3ax ? ay ? 0 ? ?2ay ? 3a ? 0

,可求得 n2 ? ( ,

1 3 ,1) ………………………………10 分 2 2

n1 ? (1,0,0)
所以两平面 DPC 与平面 DBC 所成的角的余弦值

n1 ? n 2 ? 为 cos? n1 , n 2 ? ? | n1 || n 2 |

1 2 ? 2 ………………………………12 分 2.1 4

设等
n ?1 比数列 {bn } 的公比为 q ,所以 bn ? b1q ?

1 n ?1 q 2

a5 ? 1恰为 S4 与

1 1 的等比中项 a5 ? 9, S4 ? 16 , b2 ? q ,所以 2 b2
-9-

1 1 ,解得 q ? ………………………7 分 1 2 q 2 1 n ?1 n 所以 bn ? b1q ? ( ) ……………………8 分 2

(9 ? 1)2 ? 64 ? 16 ?

(



)

n?2

1 1 1 1 1 1 1 ? 2)?( 2 ? 2 ? 2 ? 3)? 1 2 2 ?1 2 2 ?1 2 ? 2 2 ? 3 2 1 1 1 ... ? ( n ?1 ? ? ... ? n ) 2 ? 1 2n ?1 ? 2 2 1 1 1 1 1 1 ? n ?1 ? ... ? n ? n ? n ? ... ? n ………………………10 分 而 n ? 2 时, cn ? n ?1 2 ?1 2 ? 2 2 2 2 2
时, Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn ? (1 ? ) ? (

?

2n ? (2n ?1 ? 1) ? 1 2n ?1 1 ? n ? 2n 2 2
1 1 1 ? ? ... ? 2 2 2

所以 Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn ? 1 ?

? 1?

n ……………………………12 分 2

说明:本问也可用数学归纳法做. 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) g ' ( x) ? 2bx ? c 在 x ? 1 处的切线为 y ? 2 x 所以 g ' ( x) x?1 ? 2 ,即 2b ? 2 又在 x ? 1 处 y ? 2 ,所以 g (1) ? 2 所以 ?

?2b ? c ? 2 ?b ?1 ? c ?1 ? 1 ? 2
2

,可得 ?

?b ? 1 ?c ? 0

所以 g ( x) ? x2 ? 1 ……………………………3 分
2 (Ⅱ) a ? ?1 时 f ( x) ? x ? x ? ln x ? 1 ,定义域为 (0, ??)

f ' ( x) ? 2 x ? 1 ?

1 2 x 2 ? x ? 1 ( x ? 1)(2 x ? 1) ? ? x x x
(0,1)
1

x
y'

(1, ??)

?

0

?

- 10 -

y

极小值 f (1)

可以看出,当 x ? 1 时,函数 f ( x ) 有极小值 y极小 ? f (1) ? 1 ………………………………8 分 (Ⅲ) 因为 f ( x) ? x2 ? ax ? ln x ? 1 , g ( x) ? x2 ? 1 所以 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x2 ? ax ? ln x ? 1 ? ( x 2 ? 1) ? ax ? ln x 假设存在实数 a ,使 h( x) ? ax ? ln x( x ? (0, e]) 有最小值 3 ,

h ' ( x) ? a ?

1 …………………9 分 x

①当 a ? 0 时, h' ( x) ? 0 ,所以

h( x) 在 (0, e] 上单调递减, h( x) min ? h(e) ? ae ? 1 ? 3, a ?

4 (舍去)… …………10 分 e

1 a( x ? ) a ②当 a ? 0 时, x 1 1 (i)当 0 ? a ? 时, ? e , h' ( x) ? 0 在 (0, e] 上恒成立 e a
4 (舍去)……11 分 e 1 1 1 1 ' (ii)当 a ? 时, 0 ? ? e ,当 0 ? x ? 时, h ( x) ? 0 所以 h( x) 在 (0, ) 上递减 e a a a 1 1 ' 当 ? x ? e 时 h ( x) ? 0 , h( x) 在 ( , e) 上递增 a a 1 所以, h( x) min ? h( ) ? 1 ? ln a ? 3 …………12 分 a
所以 h( x) 在 (0, e] 上单调递减, h( x) min ? h(e) ? ae ? 1 ? 3, a ? 所以 a ? e 满足条件, 综上,存在 a ? e 使 x ? (0, e] 时 h( x) 有最小值 3 ……………13 分
2 2

- 11 -

所以 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0
2 2 2 2

? 2k 2 ? 4 x ? x ? ? ? ? 16k 2 ? 16 ? 0 ,所以 ? 1 2 k2 ?x x ? 1 ? 1 2
由 NA ? ? AF , NB ? ? BF 得:

(*)……………………5 分

? (1 ? x1 ) ? x1 , ? (1 ? x2 ) ? x2
得: ? ?

x1 x , ? ? 2 ……………………………………7 分 1 ? x1 1 ? x2 x1 x x (1 ? x2 ) ? x2 (1 ? x1 ) x ? x ? 2 x1 x2 ? 2 ? 1 ? 1 2 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2

所以 ? ? ? ?

- 12 -

将(*)代入上式,得 ? ? ? ?

x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ? ?1 …………………9 分 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2

(Ⅲ)设 P( xp , y p ), Q( xQ , yQ ) 所以 S ( x p ? xQ , y p ? yQ ) ,则 P ( xP ,0), Q ( xQ ,0)
' '

由 OP ? OQ ? OP' ? OQ' ? 1 ? 0 得

2xP xQ ? yP yQ ? ?1 (1)…………………………………11 分
yP 2 ? xP 2 ? 1 ,(2) 2
(1)+(2)+(3)得:

yQ 2 2

? xQ 2 ? 1 (3)

( yP ? yQ )2 2

? ( xP ? xQ )2 ? 1

y 2 x2 ? ? 1 的方程 即 S ( x p ? xQ , y p ? yQ ) 满足椭圆 C2 : 2 1
命题得证………………………………………………………14 分

- 13 -


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