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教案函数应用举例第一课时


数学: 函数的应用举例(第一课时)

闫秋艳

§2.9.1 函数的应用举例 教学目标 1.了解数学建模 2.掌握根据已知条件建立函数关系式 3 培养学生分析问题、解决问题的能力 1. 培养学生应用数学的意识 教学重点 根据已知条件建立函数关系式 教学难点 数学建模意识 教学方法 讨论研究 讲练法 教具准备 投影片 2 张(例 1,例 2)

教学过程 (I)复习回顾 师:前面,我们已经学习了函数的概念、函数的性质以及指数函数和对数函数,并要求大家 在课前对本章作系统地归纳整理,接上来,用已学过的知识举例说明函数的应用。 (Ⅱ)讲授新课 师:大家首先阅读课本 P96~P97,来了解一下数学建模的有关知识 1. 数学模型与数学建模: 简单地说, 数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括, 再从数学角度来反映或近似 地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述。 数学模型方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相当的数学模型,利用这些模型来 研究实际问题的一般数学方法。 2. 例题讲解: 例 1:用长为 m 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如图) ,若矩形底边长 为 2 x ,求此框架的面积 y 与 x 的函数式,并写出它的定义域。 分析:所求框架面积由矩形和半圆组成,数量关系较为明确,而且题中已设出变量,所 以属于函数关系的简单应用。 解:如图设 AB ? 2 x 则 CD 弧长= ?x

m ? 2 x ? ?x 2 ? ?4 2 x ? mx 因此 y ? ? 2
于是 AD ?

?2 x ? 0 ? 再由 ? m ? 2 x ? ?x ? 0 ? 2 ?
即函数式是: y ? ?

解之得 0 ? x ?

m 2 ??

? ?4
2

x 2 ? mx

m ) 定义域是: (0, ? ?2
1

数学: 函数的应用举例(第一课时)

闫秋艳

评述: 此题虽为函数关系的简单应用, 但应让学生通过此题明确应用的能力要求及求解 应用题的基本步骤。 1. 数学应用题的能力要求: (1) 阅读理解能力; (2) 抽象概括能力 (3) 数学语言的运用能力; (4) 分析、解决数学问题的能力 2. 解答应用题的基本步骤: (1) 合理、恰当假设; (2) 抽象概括数量关系, 并能用数学语言表示; (3) 分析、解决数学问题; (4) 数学问题的解向实际问题的还原。 师:有了上述说明,我们在看例 2 时就应有所注意。 例 2:如图所示,有一块半径为 R 的半圆形纲板,计划 剪裁成等腰梯形 ABCD 的形状, 它的下底 AB 是⊙O 的直径, 上底 CD 的端点在圆周上,写出这个梯形周长 y 和腰长 x 间的函数式,并求出它的定义域。 分析:要用腰长表示周长的关系式,应该知道等腰梯形各边的长,下底长已知为 2R, 两腰长为 2 x ,因此,只须用已知量(半径 R)和腰长 x 的函数式。 解:如图所示,AB=2R,C、D 在⊙O 的半圆周上设腰长 AD=BC= x ,作 DE⊥AB,垂 足为 E,墨守成规结 BD,那么∠ADB 是直角,由此 Rt△ADE~△ABD。 ∴ AD ? AE ? AB 即 AE ?
2

x2 2R
x2 R x2 ) R

∴ CD ? AB ? 2 AE ? 2 R ?

所以, y ? 2 R ? 2 x ? (2 R ?

x2 ? 2 x ? 4R 即y?? R

? ?x ? 0 ? 2 ?x ?0 再由 ? ? 2R ? x2 2 R ? ?0 ? R ?
y??

解得 0 ? x ?

2R

∴周长 y 与腰长 x 的函数式为:

1 2 x ? 2x ? 4R , R

定义域为: (0, 2 R)

2

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闫秋艳

评述:例 2 是实际应用问题,解题过程是从问题出发,引进数学符号,建立函数关系 式,再研究函数关系式的定义域,并结合问题的实际意义做出回答,这个过程实际上就是建 立数学模型的一种最简单的情形。 例5:已知 ABCD 是边长为 a 的正方形,在 AB,BC,CD,DA 上分别取 E,F,G,H 使 AE=BF=CG=DH=x,连接 E,F,G,H 得正方形 EFGH,设其面积为 S,求 S 关于 x 的函数,并 问当 E 位于何处时,面积 S 最小,最小值是多少? (Ⅲ)课堂练习 课本 P92 练习薄,2 (Ⅳ)课时小结 师:通过本节学习,大家应对数学建模有所了解,并能根据已知条件建立函数关系式, 逐步增强解决实际问题的能力。 (V)课后作业 一、课本 P93 习题 2.9 1,2 二、1.预习内容:课本 P91 例 2 2.预习提纲 (1) 例 2 的数学模型和哪种函数有关? (2) 试列举有关平均增长率的实际问题。 板书设计院 §2.9.1 1.应用题要求;3.例 1 4.例 2 2.基本步骤 教学后记 例5 学生练习

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