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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):4.1平面向量的概念及其线性运算


第四章

平面向量、数系的扩充与复数的引入

[知识能否忆起]

一、向量的有关概念
名称 向量 定义

既有 大小 又有方向 的量叫作向量,向量的大小 长度 叫作向量的
模 (或称 ).

名称 零向量 单位向量

定义

长度为零 的向量叫作零向量,其方向是 任意 的,零向量记作0.
与向量a 同方向 ,且长度 为单位1 的向
量,叫作a方向上的单位向量,记作a0.

如果表示两个向量的有向线段所在的直线 平行向量 平行或重合 ,则称这两个向量平行或共线, 规定零向量与任一向量 平行 . 相等向量 长度相等且方向 相同 的向量. 相反向量 长度相等且方向 相反 的向量.

2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几何意 义) 运算律 (1)交换律:a +b= b+a ; (2)结合律:(a +b)+c=a+ (b+c) .

求两个向量和的 加法 运算

三角形法则

平行四边形法则
求a与b的相反 向量-b的和的 减法 运算叫做a与b 的差

三角形法则

向量 运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

实数λ与向量a的 积是一个向量, 记作λa,它的长 度为|λa|= |λ||a| . 它的方向:当 数乘 λ>0时,λa与a的 向量 方向 相同 ;当 λ<0时,λa与a的 方向 相反 ;当λ =0时,λa=0, 方向 任意 .

表示λa的有向线段就是表 示向量a的有向线段伸长或 λ(μa)= 压缩.当|λ|>1时,表示向 (λμ)a ; 量a的有向线段在原方向 (λ+μ)a= (λ>0)或反方向(λ<0)上 伸长为原来的|λ|倍 ;λa+μa ; 当|λ|<1时,表示向量a的 λ(a+b)= 有向线段在原方向(λ>0)或 . 缩短为 λa+λb 反方向(λ<0)上

原来的|λ|倍

3.向量共线的判定定理和性质定理

(1)向量共线的判定定理:
a是一个非零向量,若存在一个实数λ,使 得 b=λa b=λa ,则向量b与非零向量a共线,即

(a≠0)?a∥b.

(2)向量共线的性质定理:

若b与非零向量a共线,则存在一个实数λ,使


b=λa,即a∥b(a≠0)?

b=λa .

[小题能否全取]

1.下列命题正确的是
A.不平行的向量一定不相等 B.平面内的单位向量有且仅有一个

(

)

C.a与b是共线向量,b与c是平行向量,则a与c是方向 相同的向量

D.若a与b平行,则b与a方向相同或相反
解析:对于B,单位向量不是仅有一个,故B错;对于 C,a与c的方向也可能相反,故C错;对于D,若b=0,

则b的方向是任意的,故D错,综上可知选A.
答案:A

2.如右图所示,向量a-b等于 ( A.-4e1-2e2 C.e1-3e2 B.-2e1-4e2 D.3e1-e2

)

??? ? 解析:由题图可得a-b= BA =e1-3e2.
答案:C

??? ? ??? ? 3. (教材习题改编)设 a, 为不共线向量,AB =a+2b,BC b ??? ? =-4a-b,CD =-5a-3b,则下列关系式中正确的是
( )
? ??? ? ??? ??? ? ??? ? A. AD = BC B. AD =2 BC ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? C. AD =- BC D. AD =-2 BC ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 解析: AD = AB + BC + CD =a+2b+(-4a-b)+ ??? ? (-5a-3b)=-8a-2b=2(-4a-b)=2 BC .

答案:B

? ? ??? ??? ??? ? 4.若菱形ABCD的边长为2,则| AB - CB + CD |=_______. ??? ??? ??? ? ??? ??? ??? ? ??? ? ? ? ? ? 解析:| AB - CB + CD |=| AB + BC + CD |=| AD |=2.

答案:2 5.已知a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-3a) 共线,则λ=________.
解析:由题意知 a+λb=k[-(b-3a)], ? 1 ?λ=-k, ?k=3, ? 所以? 解得? ?1=3k, ? ?λ=-1. 1 3 ? 答案:- 3

共线向量定理应用时的注意点 (1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则λ可

能不存在,也可能有无数个.
(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但 应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量 共线且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用 向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直

线不重合.

向量的有关概念

[例1] 给出下列命题: ①两个具有共同终点的向量,一定是共线向量; ??? ??? ? ? ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB = DC
是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件;

③若a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;

④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.
其中假命题的个数为 A.1 C.3
[自主解答]

( B.2 D.4

)

①不正确.当起点不在同一直线上时,虽

然终点相同,但向量不共线. ??? ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ??? ??? ? ②正确.∵ AB = DC ∴| AB |=| DC |且 AB ∥ DC .
又∵A,B,C,D 是不共线的四点, ∴四边形 ABCD 是平行四边形.

反之,若四边形 ABCD 是平行四边形,则 AB 綊

??? ??? ? ??? ??? ? ? ? DC 且 AB 与 DC 方向相同,因此 AB = DC .
③不正确.两向量不能比较大小. ④不正确.当λ=μ=0时,a与b可以为任意向量, 满足λa=μb,但a与b不一定共线.

[答案] C

1.平面向量的概念辨析题的解题方法

准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键,特别
是对相等向量、零向量等概念的理解要到位,充分利用反例 进行否定也是行之有效的方法. 2.几个重要结论 (1)向量相等具有传递性,非零向量的平行具有传递性;

(2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量;
(3)向量平行与起点的位置无关.

1.设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a= |a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行

且|a|=1,则a=a0.上述命题中,假命题的个数是(
)A.0 C.2 B.1 D.3

解析:向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相 同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,

则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反
向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命 题的个数是3. 答案:D

向量的线性运算

(1)(2011· 四川高考)如 ??? ? 图,正六边形 ABCDEF 中, BA + ? ??? ??? ? CD + EF = ( ) ??? ? A.0 B. BE ??? ? ??? ? C. AD D.CF [例 2]

??? ? (2)在△ABC中,已知D是AB边上一点,若 AD =
? ??? ? ??? ??? 1 ??? ? 2 DB , CD = CA +λ CB ,则λ等于 3

(

)

2 A. 3

1 B. 3

1 2 C.- D.- 3 3 [自主解答] (1)如图,∵在正六边形 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ABCDEF中, CD = AF , BF = CE , ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ∴ BA+ CD + EF = BA + AF + EF = ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? BF + EF = CE + EF = CF .

? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? (2)∵ CD = CA + AD , CD = CB + BD , ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ∴2CD = CA + CB + AD + BD . ??? ? ??? ? 又∵ AD =2 DB , ? ??? ??? ??? 1 ??? ? ? ∴2CD = CA + CB + AB 3 ??? ??? 1 ??? ??? ? ? = CA + CB + ( CB - CA ) 3 ? 2 ??? 4 ??? = CA + CB . 3 3 ??? 1 ??? 2 ??? ? ? 2 ∴ CD = CA + CB ,即 λ= . 3 3 3
[答案] (1)D (2)A

若(2)中的条件作如下改变:若点D是AB边延长 ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? 线上一点且| BD |=| BA |,若 CD =λ CB +μCA ,则 λ-μ的值为________. ? ??? ??? ??? ? ??? ? ??? ??? 解析:∵ CD = CA + AD = CA +2 AB = CA + ??? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? 2( CB - CA )=2CB - CA =λCB +μCA .

∴λ=2,μ=-1.∴λ-μ=3.

答案:3

在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四 边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角形法则

求解,并注意利用平面几何的性质,如三角形中位线、
相似三角形等知识.

2.(2013· 临安调研)若 A,B,C,D 是平面内任意四点, 给出下列式子: ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ① AB +CD = BC + DA;② AC + BD = BC + AD ; ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ③ AC - BD = DC + AB . 其中正确的有 ( )

A.0个
C.2个

B.1个
D.3个

??? ??? ??? ??? ? ? ??? ? ? ? 解析: ①式的等价式是 AB - BC = DA- CD , 左边= AB ??? ??? ? ? ??? ? + CB ,右边= DA+ DC ,不一定相等;②式的等价式是 ? ? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? AC - BC = AD - BD , + CB = AD + DB = AB 成立; AC ? ? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ③式的等价式是 AC - DC = AB + BD , AD = AD 成立.
答案:C

共线向量

设两个非零向量a与b不共线. ??? ? ??? ? ??? ? (1)若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a- [例3]
b).求证:A,B,D三点共线;

(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.

??? ? ??? ? ??? ? [自主解答] (1)证明:∵ AB =a+b, BC =2a+8b, CD
=3(a-b), ??? ??? ??? ? ? ? ∴ BD = BC + CD =2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b ??? ? =5(a+b)=5 AB . ??? ??? ? ? ∴ AB , BD 共线, 又∵它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.

(2)∵ka+b与a+kb共线, ∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb), 即ka+b=λa+λkb. ∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∵a,b是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk-1=0,即k2-1=0. ∴k=± 1.

1.当两向量共线时,只有非零向量才能表示与之

共线的其他向量,解决向量共线问题要注意待定系数法
和方程思想的运用. 2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但 应注意向量共线与三点共线的区别与联系.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 3.已知a,b不共线, OA =a, OB =b, OC =c, OD = ??? ? d, OE =e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+

b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上? 若存在,求出实数t的值,若不存在,请说明理由.

??? ? ??? ? 解:由题设知,CD =d-c=2b-3a,CE =e-c=(t-3)a

+tb,C,D,E 三点在一条直线上的充要条件是存在实 ??? ? ??? ? 数 k,使得 CE =k CD ,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb, 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b. 因为 a,b
?t-3+3k=0, ? 不共线,所以有? ?t-2k=0, ?

6 解之得 t= . 5 6 故存在实数 t= 使 C,D,E 三点在一条直线上. 5

[典例]

(2012· 四川高考)设 a,b 都是非零向量,下列 ( )

a b 四个条件中,使|a|=|b|成立的充分条件是 A.a=-b B.a∥b

C.a=2b

D.a∥b且|a|=|b|

[尝试解题]

a b 对于 A, a=-b 时, ≠ ; 当 对于 B, |a| |b|

a b 注意当 a∥b 时, 与 可能反向;对于 C,当 a=2b 时, |a| |b| a 2b b = = ;对于 D,当 a∥b,且|a|=|b|时,可能有 a |a| |2b| |b| a b a b =-b,此时 ≠ .综上所述,使 = 成立的充分条件 |a| |b| |a| |b| 是 a=2b.

[答案] C

1.解答本题的易误点有两点: a b , 分别表示与a,b同向的单位向量. (1)不知道 a b a b , (2)误认为由|a|=|b|及a∥b能推出两向量 a b 相等,而忽视了方向.
2.解决向量的概念问题要注意两点:

(1)要考虑向量的方向;
(2)要考虑零向量是否也满足条件.

?针对训练

对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件

(

)

D.既不充分也不必要条件

解析:由a∥b?a=λb,不能得出a+b=0.
答案:A

教师备选题(给有能力的学生加餐)

1.已知e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则
a与b共线的条件是 A.λ=0 C.e1∥e2 B.e2=0 D.e1∥e2或λ=0
解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(二十六)”

(

)

解析:若e1与e2共线,则e2=λ′e1. 因此a=(1+λλ′)e1,此时a∥b.

若e1与e2不共线,设a=μb,则
e1+λe2=μ· 1,因此λ=0,1-2μ=0. 2e 答案:B

??? ? ??? ? ??? ? 2.如图,已知 AB =a, AC =b, BD = ??? ? ??? ? ??? ? 3 DC ,用a,b表示 AD ,则 AD 等于

(
3 A.a+ b 4 1 3 B. a+ b 4 4

)

1 1 3 1 C. a+ b D. a+ b 4 4 4 4 ??? ??? ??? ??? 3 ??? ? ? ? ? ? 3 1 解析: AD = AB + BD = AB + BC =a+ (b-a)= a+ 4 4 4

3 b. 4 答案:B

3.(2012· 合肥模拟)已知点O,N在△ABC所在平面内,且

??? ??? ???? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? | OA |=| OB |=| OC |, NA + NB + NC =0,则点O,N依
次是△ABC的 ( )

A.重心 C.外心

外心 重心

B.重心

内心

D.外心 内心

??? ? ??? ? ??? ? 解析:由| OA |=| OB |=| OC |知,O为△ABC的外心;设D为

??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ???? ? ? AB的中点,则 NA + NB =2 ND , NA + NB + NC =0,得 ??? ? ???? NC =-2 ND ,可知N为△ABC的重心.

答案:C


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