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陕西省西安一中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 (Word版含解析)


陕西省西安一中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(每小题 3 分,共 36 分,只有一个选项符合题意) 1. (3 分)下列直线中,与直线 x+y﹣1=0 相交的是() A.2x+2y=6 B.x+y=0 C.y=﹣x﹣3

D.y=x﹣1

2. (3 分)点 P(x,y)在直线 x+y﹣4=0 上,O

是原点,则|OP|的最小值是() A. B.2 C. D.2 3. (3 分)下列说法正确的是() A.三点确定一个平面 B. 四边形一定是平面图形 C. 梯形一定是平面图形 D.平面 α 和平面 β 有不同在一条直线上的三个公共点 4. (3 分)垂直于同一条直线的两条直线一定() A.平行 B.相交 有可能

C.异面

D.以上都

5. (3 分)以下关于几何体的三视图的讨论中,正确的是() A.球的三视图总是三个全等的圆 B. 正方体的三视图总是三个全等的正方形 C. 水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆 6. (3 分)在空间四边形 ABCD 的各边 AB,BC,CD,DA 上依次取点 E,F,G,H,若 EH、FG 所在直线相交于点 P,则()

A.点 P 必在直线 AC 上 C. 点 P 必在平面 DBC 外

B. 点 P 必在直线 BD 上 D.点 P 必在平面 ABC 内

7. (3 分)已知直线 a?α,给出以下三个命题: ①若平面 α∥平面 β,则直线 a∥平面 β; ②若直线 a∥平面 β,则平面 α∥平面 β; ③若直线 a 不平行于平面 β,则平面 α 不平行于平面 β. 其中正确的命题是() A.② B.③ C.①②

D.①③

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8. (3 分)已知直线 l1:ax﹣y+2a=0,l2: (2a﹣1)x+ay+a=0 互相垂直,则 a 的值是() A.0 B.1 C.0 或 1 D.0 或﹣1 9. (3 分)平行于直线 x+y﹣1=0 且与圆 x +y ﹣2=0 相切的直线的方程是() A.x+y+2=0 B. x+y﹣2=0 C. x+y+2 =0 或 x+y﹣2 =0 D.x+y+2=0 或 x+y﹣2=0 10. (3 分)若 P(2,﹣1)为圆(x﹣1) +y =25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是() A.x﹣y﹣3=0 B.2x+y﹣3=0 C.x+y﹣1=0 D.2x﹣y ﹣5=0 11. (3 分)若直线 ax+by+c=0(a,b,c 都是正数)与圆 x +y =1 相切,则以 a,b,c 为边 长的三角形是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确 定 12. (3 分)已知点 A(1,3) ,B(﹣2,﹣1) .若直线 l:y=k(x﹣2)+1 与线段 AB 相交, 则 k 的取值范围是() A. C.(﹣∞,﹣2]∪
2 2 2 2 2 2

二.填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. (4 分)过两点 A(4,y) ,B(﹣2,﹣3)的直线的倾斜角是 45°,则 y=. 14. (4 分)圆 O1:x +y +6x﹣7=0 与圆 O2:x +y +6y﹣27=0 的位置关系是. 15. (4 分)如图所示,是一个正方体的展开图,若将它还原为正方体,则直线 AB 与直线 CD 的位置关系是.
2 2 2 2

16. (4 分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为 8,高为 4 的等腰三角形,左视图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形.则该几何体的体积为.

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三、解答题(共 48 分) 17. (10 分)已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,O 是底 ABCD 对角线的交点.求证: (1)C1O∥面 AB1D1; (2)A1C⊥面 AB1D1.

18. (12 分)如图,已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,底面△ ABC 中 AC=3, AB=5,BC=4,点 D 是 AB 的中点,求证: (1)AC⊥BC1; (2)AC1∥平面 CDB1.

19. (16 分) (1)求过点 P(2,3) ,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程; (2)已知直线 l 平行于直线 4x+3y﹣7=0,直线 l 与两坐标轴围成的三角形的周长是 15,求 直线 l 的方程. 20. (10 分)求圆心在直线 y=﹣2x 上,并且经过点 A(0,1) ,与直线 x+y=1 相切的圆的标 准方程.

陕西省西安一中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试 卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 3 分,共 36 分,只有一个选项符合题意) 1. (3 分)下列直线中,与直线 x+y﹣1=0 相交的是() A.2x+2y=6 B.x+y=0 C.y=﹣x﹣3

D.y=x﹣1

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考点: 方程组解的个数与两直线的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 由题意知直线 x+y﹣1=0 的斜率是﹣1,要找与已知直线相交的直线,需要观察四 个选项中选择斜率不是﹣1 的直线,斜率是﹣1 的直线与已知直线是平行关系,得到结果. 解答: 解:直线 x+y﹣1=0 的斜率是﹣1, 观察四个选项中选择斜率不是﹣1 的直线, 斜率是﹣1 的直线与已知直线是平行关系, 在四个选项中,只有 D 中直线的斜率不是﹣1, 故选 D. 点评: 本题考查两条直线的位置关系,考查两条直线相交和平行的判断,是一个基础题, 题目不用计算,只要观察四个选项,就可以得到要求的结果,是一个送分题目. 2. (3 分)点 P(x,y)在直线 x+y﹣4=0 上,O 是原点,则|OP|的最小值是() A. B. 2 C. D.2 考点: 点到直线的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 过 O 作已知直线的垂线,垂足为 P,此时|OP|最小,所以|OP|最小即为原点到直线 的距离,利用点到直线的距离公式求出即可. 解答: 解:由题意可知:过 O 作已知直线的垂线,垂足为 P,此时|OP|最小, 则原点(0,0)到直线 x+y﹣4=0 的距离 d= =2 ,

即|OP|的最小值为 2 . 故选 B. 点评: 此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值, 是一道综合题. 解答本题的 关键是找到|OP|的最小时即 OP 垂直与已知直线. 3. (3 分)下列说法正确的是() A.三点确定一个平面 B. 四边形一定是平面图形 C. 梯形一定是平面图形 D.平面 α 和平面 β 有不同在一条直线上的三个公共点 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 阅读型;空间位置关系与距离. 分析: 由公理 3 知:不共线的三个点确定一个平面,即可判断 A; 四边形有平面四边形和空间四边形两种, 由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形, 即 可判断 B; 在同一平面内,只有一组对边平行的四边形为梯形,即可判断 C; 由公理 3 得不同在一条直线上的三个公共点确定一个平面,即可判断 D. 解答: 解:A.由公理 3 知:不共线的三个点确定一个平面,故 A 错; B. 四边形有平面四边形和空间四边形两种, 由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形, 故 B 错;
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C.在同一平面内,只有一组对边平行的四边形为梯形,故 C 对; D.由公理 3 得不同在一条直线上的三个公共点确定一个平面,故 D 错. 故选 C. 点评: 本题考查空间确定平面的条件,掌握三个公理和三个推论,是迅速解题的关键,本 题属于基础题. 4. (3 分)垂直于同一条直线的两条直线一定() A.平行 B.相交 C.异面

D.以上都有可能

考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 分类讨论. 分析: 根据在同一平面内两直线平行或相交,在空间内两直线平行、相交或异面判断. 解答: 解:分两种情况:①在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行; ②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面. 故选 D 点评: 本题主要考查在空间内两条直线的位置关系. 5. (3 分)以下关于几何体的三视图的讨论中,正确的是() A.球的三视图总是三个全等的圆 B. 正方体的三视图总是三个全等的正方形 C. 水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆 考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 球的三视图总是三个全等的圆; 正方体、 水平放置的正四面体的三视图跟摆放有关; 水平放置的圆台的俯视图是两个同心圆. 解答: 解:球的三视图总是三个全等的圆,正确; 正方体的三视图总是三个全等的正方形,不一定,跟摆放有关,故不正确; 水平放置的正四面体的三视图都是正三角形,不一定,跟摆放有关,故不正确; 水平放置的圆台的俯视图是两个同心圆,故不正确. 故选:A. 点评: 本题考查简单空间图形的三视图,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 6. (3 分)在空间四边形 ABCD 的各边 AB,BC,CD,DA 上依次取点 E,F,G,H,若 EH、FG 所在直线相交于点 P,则()

A.点 P 必在直线 AC 上 C. 点 P 必在平面 DBC 外

B. 点 P 必在直线 BD 上 D.点 P 必在平面 ABC 内

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考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 证明题. 分析: 由题意连接 EH、FG、BD,则 P∈EH 且 P∈FG,再根据两直线分别在平面 ABD 和 BCD 内,根据公理 3 则点 P 一定在两个平面的交线 BD 上. 解答: 解:如图:连接 EH、FG、BD, ∵EH、FG 所在直线相交于点 P, ∴P∈EH 且 P∈FG, ∵EH?平面 ABD,FG?平面 BCD, ∴P∈平面 ABD,且 P∈平面 BCD, 由∵平面 ABD∩平面 BCD=BD, ∴P∈BD, 故选 B.

点评: 本题的考点是公理 3 的应用, 即根据此公理证明线共点或点共线问题, 必须证明此 点是两个平面的公共点,可有点在线上,而线在面上进行证明. 7. (3 分)已知直线 a?α,给出以下三个命题: ①若平面 α∥平面 β,则直线 a∥平面 β; ②若直线 a∥平面 β,则平面 α∥平面 β; ③若直线 a 不平行于平面 β,则平面 α 不平行于平面 β. 其中正确的命题是() A.② B. ③ C.①②

D.①③

考点: 平面与平面平行的性质;平面与平面平行的判定. 专题: 分析法. 分析: 对于①若平面 α∥平面 β,则直线 a∥平面 β;由面面平行显然推出线面平行,故 正确. 对于②若直线 a∥平面 β,则平面 α∥平面 β;因为一个线面平行推不出面面平行.故错误. 对于③若直线 a 不平行于平面 β,则平面 α 不平行于平面 β,因为线面不平面必面面不平 行.故正确.即可得到答案. 解答: 解①若平面 α∥平面 β,则直线 a∥平面 β;因为直线 a?α,平面 α∥平面 β,则 α 内的每一条直线都平行平面 β.显然正确. ②若直线 a∥平面 β,则平面 α∥平面 β;因为当平面 α 与平面 β 相加时候,仍然可以存在 直线 a?α 使直线 a∥平面 β.故错误. ③若直线 a 不平行于平面 β,则平面 α 不平行于平面 β,平面内有一条直线不平行与令一个 平面,两平面就不会平行.故显然正确. 故选 D. 点评: 此题主要考查平面与平面平行的性质及判定的问题, 属于概念性质理解的问题, 题 目较简单,几乎无计算量,属于基础题目.

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8. (3 分)已知直线 l1:ax﹣y+2a=0,l2: (2a﹣1)x+ay+a=0 互相垂直,则 a 的值是() A.0 B. 1 C. 0 或 1 D.0 或﹣1 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 利用直线垂直的性质求解. 解答: 解:∵直线 l1:ax﹣y+2a=0,l2: (2a﹣1)x+ay+a=0 互相垂直, ∴a(2a﹣1)﹣a=0, 解得 a=0 或 a=1. 故选:C. 点评: 本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线的位置关系的合 理运用. 9. (3 分)平行于直线 x+y﹣1=0 且与圆 x +y ﹣2=0 相切的直线的方程是() A.x+y+2=0 B. x+y﹣2=0 C. x+y+2 =0 或 x+y﹣2 =0 D.x+y+2=0 或 x+y﹣2=0 考点: 圆的切线方程;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 设出所求直线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出直线方程中的变量,1 求出直线方程. 2 2 解答: 解:设所求直线方程为 x+y+b=0,平行于直线 x+y﹣1=0 且与圆 x +y =2 相切, 所以 ,所以 b=±2,所以所求直线方程为:x+y+2=0 或 x+y﹣2=0.
2 2

故选:D. 点评: 本题考查两条直线平行的判定,圆的切线方程,考查计算能力,是基础题. 10. (3 分)若 P(2,﹣1)为圆(x﹣1) +y =25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是() A.x﹣y﹣3=0 B.2x+y﹣3=0 C.x+y﹣1=0 D.2x﹣y﹣5=0 考点: 直线和圆的方程的应用;直线与圆相交的性质. 专题: 计算题. 分析: 由圆心为 O(1,0) ,由点 P 为弦的中点,则该点与圆心的连线垂直于直线 AB 求 解其斜率,再由点斜式求得其方程. 解答: 解:已知圆心为 O(1,0) 根据题意:Kop= kABkOP=﹣1 kAB=1,又直线 AB 过点 P(2,﹣1) , ∴直线 AB 的方程是 x﹣y﹣3=0 故选 A 点评: 本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用, 主要涉及了弦的中点与圆心的 连线与弦所在的直线垂直.
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11. (3 分)若直线 ax+by+c=0(a,b,c 都是正数)与圆 x +y =1 相切,则以 a,b,c 为边 长的三角形是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 根据直线和圆相切的性质可得 边长的三角形是直角三角形. 解答: 解:由直线 ax+by+c=0(a,b,c 都是正数)与圆 x +y =1 相切,可得
2 2 2 2 2

2

2

=1,化简可得 a +b =c ,故以 a,b,c 为

2

2

2

=1.

化简可得 a +b =c ,故以 a,b,c 为边长的三角形是直角三角形, 故选 B. 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,属于中档题. 12. (3 分)已知点 A(1,3) ,B(﹣2,﹣1) .若直线 l:y=k(x﹣2)+1 与线段 AB 相交, 则 k 的取值范围是() A. C.(﹣∞,﹣2]∪ 考点: 直线的斜率. 专题: 直线与圆. 分析: 由直线系方程求出直线 l 所过定点,由两点求斜率公式求得连接定点与线段 AB 上 点的斜率的最小值和最大值得答案. 解答: 解:∵直线 l:y=k(x﹣2)+1 过点 P(2,1) , 连接 P 与线段 AB 上的点 A(1,3)时直线 l 的斜率最小,为 连接 P 与线段 AB 上的点 B(﹣2,﹣1)时直线 l 的斜率最大,为 ∴k 的取值范围是 . , .

故选:D. 点评: 本题考查了直线的斜率,考查了直线系方程,是基础题. 二.填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. (4 分)过两点 A(4,y) ,B(﹣2,﹣3)的直线的倾斜角是 45°,则 y=3. 考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 由两点的坐标得到直线 AB 的斜率,再由斜率等于倾斜角的正切值求得 y. 解答: 解:由题意可知, 解得:y=3.
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故答案为:3. 点评: 本题考查了直线的倾斜角,考查了倾斜角与斜率的关系,是基础题. 14. (4 分)圆 O1:x +y +6x﹣7=0 与圆 O2:x +y +6y﹣27=0 的位置关系是相交. 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 将圆的方程化为标准方程,求出圆心与半径,可得圆心距,即可得出结论. 2 2 2 2 解答: 解:圆 O1:x +y +6x﹣7=0,化为标准方程为(x+3) +y =16,圆心为(﹣3,0) , 半径为 4, 2 2 2 2 圆 O2:x +y +6y﹣27=0,化为标准方程为 x +(y+3) =36,圆心为(0,﹣3) ,半径为 6, 圆心距为 3 ∵6﹣4<3 <6+4, ∴两圆相交, 故答案为:相交. 点评: 本题考查圆与圆的位置关系及其判定,考查学生的计算能力,比较基础. 15. (4 分)如图所示,是一个正方体的展开图,若将它还原为正方体,则直线 AB 与直线 CD 的位置关系是异面.
2 2 2 2

考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 作图题. 分析: 正方体的展开图,若将它还原为正方体,如图所示,显然,直线 AB 与直线 CD 为 异面直线. 解答: 解:把正方体的展开图还原为正方体为

由图可知,直线 AB 与直线 CD 为异面直线. 故直线 AB 与直线 CD 的位置关系是 异面 故答案为:异面

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点评: 此题考查学生的空间想象能力及由展开图还原几何体的能力. 然后判断两直线的位 置关系. 16. (4 分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为 8,高为 4 的等腰三角形,左视图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形.则该几何体的体积为 64.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 将几何体复原,它是一个矩形的四棱锥,求出底面面积和高,可求体积. 解答: 解:由题意几何体复原是一个底面边长为 8,6 的距离,高为 4, 且顶点在底面的射影是底面矩形的中心的四棱锥. 底面矩形的面积是 48 所以几何体的体积是: 故答案为:64. 点评: 本题考查由三视图求几何体的体积,考查空间想象能力,是基础题. 三、解答题(共 48 分) 17. (10 分)已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,O 是底 ABCD 对角线的交点.求证: (1)C1O∥面 AB1D1; (2)A1C⊥面 AB1D1.

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 证明题.

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分析: (1)欲证 C1O∥面 AB1D1,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 C1O 与面 AB1D1 内一直线平行,连接 A1C1,设 A1C1∩B1D1=O1,连接 AO1,易得 C1O∥AO1,AO1? 面 AB1D1,C1O?面 AB1D1,满足定理所需条件; (2)欲证 A1C⊥面 AB1D1,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 A1C 与面 AB1D1 内两相交直线垂直根据线面垂直的性质可知 A1C⊥B1D1,同理可证 A1C⊥AB1,又 D1B1∩AB1=B1,满足定理所需条件. 解答: 证明: (1)连接 A1C1,设 A1C1∩B1D1=O1,连接 AO1, ∵ABCD﹣A1B1C1D1 是正方体, ∴A1ACC1 是平行四边形, ∴A1C1∥AC 且 A1C1=AC, 又 O1,O 分别是 A1C1,AC 的中点, ∴O1C1∥AO 且 O1C1=AO, ∴AOC1O1 是平行四边形, ∴C1O∥AO1,AO1?面 AB1D1,C1O?面 AB1D1, ∴C1O∥面 AB1D1; (2)∵CC1⊥面 A1B1C1D1∴CC1⊥B1D!, 又∵A1C1⊥B1D1,∴B1D1⊥面 A1C1C,即 A1C⊥B1D1, ∵A1B⊥AB1,BC⊥AB1,又 A1B∩BC=B, AB1⊥平面 A1BC,又 A1C?平面 A1BC, ∴A1C⊥AB1,又 D1B1∩AB1=B1, ∴A1C⊥面 AB1D1

点评: 本题主要考查了线面平行、 线面垂直的判定定理, 考查对基础知识的综合应用能力 和基本定理的掌握能力. 18. (12 分)如图,已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,底面△ ABC 中 AC=3, AB=5,BC=4,点 D 是 AB 的中点,求证: (1)AC⊥BC1; (2)AC1∥平面 CDB1.

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考点: 直线与平面平行的判定;棱柱的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 运用线面垂直的判定定理和性质定理以及线面平行的判定定理,进行分别证明. 解答: 证明: (1)在△ ABC 中,由 AC=3,AB=5,BC=4, 2 2 2 ∴3 +4 =5 , ∴△ABC 为直角三角形, ∴AC⊥BC, 又∵CC1⊥面 ABC, ∴CC1⊥AC,CC1∩BC=C, ∴AC⊥面 BCC1, ∴AC⊥BC1; (2)连结 B1C 交 BC1 于点 E, 则 E 为 BC1 的中点,连结 DE, 则在△ ABC1 中,DE∥AC1, 又 DE?面 CDB1,AC1?面 B1CD 则 AC1∥面 B1CD.

点评: 本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的运用以及线面平行的判定定理的运 用. 19. (16 分) (1)求过点 P(2,3) ,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程; (2)已知直线 l 平行于直线 4x+3y﹣7=0,直线 l 与两坐标轴围成的三角形的周长是 15,求 直线 l 的方程. 考点: 直线的截距式方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)根据直线的截距关系即可求出直线方程; (2)利用直线平行的关系,结合三角形的周长即可得到结论. 解答: 解: (1)当直线过原点时,过点(2,3)的直线为 当直线不过原点时,设直线方程为 代入解得 a=5 ∴直线方程为 ∴过 P(2,3) ,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 3x﹣2y=0 和 x+y﹣5=0.
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(a≠0) ,直线过点(2,3) ,

(2)∵直线 l 与直线 4x+3y﹣7=0 平行,∴ 设直线 l 的方程为 则直线 l 与 x 轴的交点为 A ,



,与 y 轴的交点为 B(0,b) ,





∵直线 l 与两坐标轴围成的三角形周长是 15, ∴ ∴|b|=5,∴b=±5. ∴直线 l 的方程是 , .

即 4x+3y±15=0. 点评: 本题主要考查直线方程的求解和应用,要求熟练掌握常见求直线方程的几种方法. 20. (10 分)求圆心在直线 y=﹣2x 上,并且经过点 A(0,1) ,与直线 x+y=1 相切的圆的标 准方程. 考点: 专题: 分析: 解答: 圆的标准方程. 直线与圆. 根据条件确定圆心和半径,即可求出圆的标准方程. 解:∵圆心在直线 y=﹣2x 上,设圆心坐标为(a,﹣2a)
2 2 2

则圆的方程为(x﹣a) +(y+2a) =r 圆经过点 A(0,1)和直线 x+y=1 相切

所以有

解得



∴圆的方程为 点评: 本题主要考查圆的标准方程的求解,根据条件确定圆心和半径是解决本题的关键.

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