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浙江高考数学理科二轮讲练【专题7】第2讲-数形结合思想(含答案)


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第2讲

数形结合思想

1.数形结合的数学思想:包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为 两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目 的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严密性来 阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的 几何性质. 2.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则: (1)等价性原则.在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出 现漏洞.有时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只能是一 种直观而浅显的说明,要注意其带来的负面效应. (2)双方性原则.既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,仅对代数问题进行 几何分析容易出错. (3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时,一要考虑是否可行和是否 有利;二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系、做好转化;三要挖掘隐含条件,准 确界定参变量的取值范围,特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线. 3.数形结合思想解决的问题常有以下几种: (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围. (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围. (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系. (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式. (5)构建立体几何模型研究代数问题. (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题. (7)构建方程模型,求根的个数. (8)研究图形的形状、位置关系、性质等. 4.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择题、填空题时 发挥着奇特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度.具

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体操作时,应注意以下几点: (1)准确画出函数图象,注意函数的定义域. (2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法, 值得注意的是 首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图), 然后作出两个函数的图象,由图求解.

热点一 利用数形结合思想讨论方程的根 例1 (2014· 山东)已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根, )

则实数 k 的取值范围是( 1 1 A.(0, ) B.( ,1) 2 2 C.(1,2) D.(2,+∞) 答案 B

解析 先作出函数 f(x)=|x-2|+1 的图象,如图所示,

1 当直线 g(x)=kx 与直线 AB 平行时斜率为 1,当直线 g(x)=kx 过 A 点时斜率为 ,故 f(x)=g(x) 2 1 有两个不相等的实根时,k 的范围为( ,1). 2 思维升华 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解 的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的 表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函 数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数. ?x2+bx+c,x≤0, ? 设函数 f(x)=? 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程 ? ?2, x>0, f(x)=x 的解的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

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答案 C

解析 由 f(-4)=f(0),f(-2)=-2, ?x2+4x+2,x≤0, ? 解得 b=4,c=2,∴f(x)=? ?2, x>0. ?

2 ? ?x +4x+2, ? 作出函数 f(x)= ?2, x>0 ?

x≤0,

与 y=x 的图象,如图,

由图知交点个数有 3 个,故选 C. 热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围 例2 (1)已知奇函数 f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R},且在(0,+∞)上单调递增,若 f(1)=0,

则满足 x· f(x)<0 的 x 的取值范围是________. 1 (2)若不等式|x-2a|≥ x+a-1 对 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围是________. 2

答案 (1)(-1,0)∪(0,1) 1? (2)? ?-∞,2? 解析 (1)作出符合条件的一个函数图象草图即可,由图可知 x· f(x)<0 的 x 的取值范围是(-

1,0)∪(0,1). (2)

1 1 作出 y=|x-2a|和 y= x+a-1 的简图,依题意知应有 2a≤2-2a,故 a≤ . 2 2 思维升华 求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选

择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题, 往往可以避免烦琐的运算,获得简捷的解答. (1)设 A={(x,y)|x2+(y-1)2=1},B={(x,y)|x+y+m≥0},则使 A?B 成立的实

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数 m 的取值范围是__________. (2)若不等式 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为区间[a,b],且 b-a=2,则 k=________. 答案 (1)[ 2-1,+∞) (2) 2 解析 (1) 集合 A 是一个圆 x2+(y-1)2=1 上的点的集合,集合 B 是一个不等式 x+y+m≥0 表示的平面区域内的点的集合,

要使 A?B,则应使圆被平面区域所包含(如图),即直线 x+y+m=0 应与圆相切或相离(在圆 |m+1| 的下方),而当直线与圆相切时有 =1,又 m>0, 2 所以 m= 2-1, 故 m 的取值范围是 m≥ 2-1. (2)令 y1= 9-x2, y2=k(x+2)- 2,在同一个坐标系中作出其图象,

因 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为[a,b]且 b-a=2. 结合图象知 b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2 2). 又因为点(-2,- 2)在直线上, 2 2+ 2 所以 k= = 2. 1+2 热点三 利用数形结合思想解最值问题 例3 (1)已知 P 是直线 l:3x+4y+8=0 上的动点,PA、PB 是圆 x2+y2-2x-2y+1=0 的两

条切线,A、B 是切点,C 是圆心,则四边形 PACB 面积的最小值为________. ?x-2y+1≥0, ? (2)已知点 P(x,y)的坐标 x,y 满足? 则 x2+y2-6x+9 的取值范围是( ? | x | - y - 1 ≤ 0 , ? A.[2,4] B.[2,16] C.[4,10] D.[4,16]

)

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答案 (1)2 2 解析

(2)B

(1)从运动的观点看问题,当动点 P 沿直线 3x+4y+8=0 向左上方或右下方无穷远处运动时, 1 1 直角三角形 PAC 的面积 SRt△PAC= |PA|· |AC|= |PA|越来越大,从而 S 四边形 PACB 也越来越大;当点 2 2 P 从左上、右下两个方向向中间运动时,S
四边形 PACB

变小,显然,当点 P 到达一个最特殊的位

置,即 CP 垂直直线 l 时,S 四边形 PACB 应有唯一的最小值, |3×1+4×1+8| 此时|PC|= =3, 32+42 从而|PA|= |PC|2-|AC|2=2 2. 1 所以(S 四边形 PACB)min =2× ×|PA|×|AC|=2 2. 2 (2)

画出可行域如图,所求的 x2+y2-6x+9=(x-3)2+y2 是点 Q(3,0)到可行域上的点的距离的平 方,由图形知最小值为 Q 到射线 x-y-1=0(x≥0)的距离 d 的平方,最大值为|QA|2=16. |3-0-1| 2 ∵d2=( 2 ) =( 2)2=2. 1 +?-1?2 ∴取值范围是[2,16]. 思维升华 (1)在几何的一些最值问题中,可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换, 快速求得最值. (2)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,就要考虑用数形结合的思想方法来解 题,即所谓的几何法求解. (1)(2013· 重庆)设 P 是圆(x-3)2+(y+1)2=4 上的动点, Q 是直线 x=-3 上的动点, 则|PQ|的最小值为( )

A.6 B.4 C.3 D.2

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x-y+1≤0, ? ? (2)若实数 x、y 满足?x>0, ? ?y≤2,

y 则 的最小值是______. x

答案 (1)B (2)2 解析 (1)由题意,知圆的圆心坐标为(3,-1),圆的半径长为 2,|PQ|的最小值为圆心到直线 x=-3 的距离减去圆的半径长,所以|PQ|min=3-(-3)-2=4.故选 B. (2) 可行域如图所示.

y 又 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率 k. x 由图知,过点 A 的直线 OA 的斜率最小. ? ?x-y+1=0, 联立? 得 A(1,2), ?y=2, ? 2-0 y 所以 kOA= =2.所以 的最小值为 2. x 1-0

1.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义等都实现 以形助数的途径,当试题中涉及这些问题的数量关系时,我们可以通过图形分析这些数量关 系,达到解题的目的. 2.有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,这就要对图形进行数量上的分析,通 过数的帮助达到解题的目的. 3.利用数形结合解题,有时只需把图象大致形状画出即可,不需要精确图象. 4. 数形结合思想常用模型: 一次、 二次函数图象; 斜率公式; 两点间的距离公式(或向量的模); 点到直线的距离公式等.

真题感悟 1.(2013· 重庆)已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N 分别是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )

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A.5 2-4 C.6-2 2 答案 A

B. 17-1 D. 17

解析 设 P(x,0),设 C1(2,3)关于 x 轴的对称点为 C1′(2,-3),那么|PC1|+|PC2|=|PC1′|+ |PC2|≥|C1′C2|= ?2-3?2+?-3-4?2=5 2. 而|PM|+|PN|=|PC1|+|PC2|-4≥5 2-4. 2.(2014· 江西)在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( 4 3 A. π B. π 5 4 5 C.(6-2 5)π D. π 4 答案 A 解析 ∵∠AOB=90° ,∴点 O 在圆 C 上. 设直线 2x+y-4=0 与圆 C 相切于点 D, 则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线 2x+y-4=0 的距离, ∴点 C 在以 O 为焦点,以直线 2x+y-4=0 为准线的抛物线上, ∴当且仅当 O,C,D 共线时,圆的直径最小为|OD|. |2×0+0-4| 4 又|OD|= = , 5 5 2 ∴圆 C 的最小半径为 , 5 2 4 ∴圆 C 面积的最小值为 π( )2= π. 5 5
2 ? ?-x +2x,x≤0, ? 3. (2013· 课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)= 若|f(x)|≥ax, 则 a 的取值范围是( ?ln?x+1?,x>0. ?

)

)

A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] 答案 D 解析 函数 y=|f(x)|的图象如图.

①当 a=0 时,|f(x)|≥ax 显然成立.
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②当 a>0 时,只需在 x>0 时, ln(x+1)≥ax 成立. 比较对数函数与一次函数 y=ax 的增长速度. 显然不存在 a>0 使 ln(x+1)≥ax 在 x>0 上恒成立. ③当 a<0 时,只需在 x<0 时,x2-2x≥ax 成立. 即 a≥x-2 成立,所以 a≥-2. 综上所述:-2≤a≤0.故选 D. 4.(2014· 天津)已知函数 f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程 f(x)-a|x-1|=0 恰有 4 个互异的实数根, 则实数 a 的取值范围为________. 答案 (0,1)∪(9,+∞) 解析 设 y1=f(x)=|x2+3x|,y2=a|x-1|, 在同一直角坐标系中作出 y1=|x2+3x|,y2=a|x-1|的图象如图所示.

由图可知 f(x)-a|x-1|=0 有 4 个互异的实数根等价于 y1=|x2+3x|与 y2=a|x-1|的图象有 4 个 不同的交点,且 4 个交点的横坐标都小于 1, 2 ? ?y=-x -3x, ? 所以 有两组不同解. ?y=a?1-x? ? 消去 y 得 x2+(3-a)x+a=0 有两个不等实根, 所以 Δ=(3-a)2-4a>0,即 a2-10a+9>0, 解得 a<1 或 a>9. 又由图象得 a>0,所以 0<a<1 或 a>9. 押题精练 1.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 )

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(数形结合法) ∵a>0,∴a2+1>1. 而 y=|x2-2x|的图象如图, ∴y=|x2-2x|的图象与 y=a2+1 的图象总有两个交点. 2.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A.(-∞,-1]∪[4,+∞) B.(-∞,-2]∪[5,+∞) C.[1,2] D.(-∞,1]∪[2,+∞) 答案 A )

-4 ?x<-3?, ? ? ?-3≤x<1?, 解析 f(x)=|x+3|-|x-1|=?2x+2 ? ?x≥1?. ?4

画出函数 f(x)的图象,如图,可以看出

函数 f(x)的最大值为 4,故只要 a2-3a≥4 即可,解得 a≤-1 或 a≥4.正确选项为 A. 3.经过 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,则直线 l 的斜率 k 和倾斜角 α 的取值范围分别为________,________. π 3π 答案 [-1,1] [0, ]∪[ ,π) 4 4 解析

如图所示,结合图形:为使 l 与线段 AB 总有公共点,则 kPA≤k≤kPB,而 kPB>0,kPA<0,故 k<0 时,倾斜角 α 为钝角,k=0 时,α=0,k>0 时,α 为锐角. -2-?-1? 又 kPA= =-1, 1-0

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-1-1 =1,∴-1≤k≤1. 0-2 π 又当 0≤k≤1 时,0≤α≤ ; 4 3π π 3π 当-1≤k<0 时, ≤α<π.故倾斜角 α 的取值范围为 α∈[0, ]∪[ ,π). 4 4 4 kPB= 2x+3y-6≤0, ? ? 4.(2013· 山东)在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组?x+y-2≥0, ? ?y≥0 一动点,则|OM|的最小值是________. 答案 2 所表示的区域上

解析 由题意知原点 O 到直线 x+y-2=0 的距离为|OM|的最小值. 2 所以|OM|的最小值为 = 2. 2 5.(2013· 江西)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交于 A、B 两点,O 为坐标原点,当 △AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率为________. 3 答案 - 3 1 1 1 解析 ∵S△AOB= |OA||OB|sin∠AOB= sin∠AOB≤ . 2 2 2

π 当∠AOB= 时,S△AOB 面积最大. 2 2 此时 O 到 AB 的距离 d= . 2 设 AB 方程为 y=k(x- 2)(k<0),即 kx-y- 2k=0. | 2k| 2 3 由 d= 2 = 得 k=- . 3 k +1 2

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