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高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《第一章 三角函数》归纳整合课件


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要点归纳 1.三角函数的概念 重点掌握以下两方面内容: ①理解任意角的概念和弧度的意义,能正确迅速进行弧度与角 度的换算. ②掌握任意的角 α 的正弦、余弦和正切的定义,能正确快速利 用三角函数值在各个象限的符号解题,能求三角函数的定义域 和一些简单三角函数的值域.

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2.同角三角函数的基本关系式 能用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和三角恒等式 的证明;能逆用公式 sin2α+cos2α=1 巧妙解题. 3.诱导公式 能用公式一至公式四将任意角的三角函数化为锐角三角函数, 利用“奇变偶不变,符号看象限”牢记所有诱导公式. 善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用, 通过这些公式进行化简、求值,达到培养推理运算能力和逻辑 思维能力的提高.

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4.三角函数的图象与性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x

图象

定义域

R

R

? π ?kπ- 2 ?

π? , kπ+2?(k∈Z) ?

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值域

[-1,1] π x=2kπ+2(k∈Z)时,

[-1,1] x=2kπ (k∈Z)时, ymax=1; x=2kπ+π (k∈Z)时, ymin=-1

(-∞, +∞)

最值

ymax=1; π x=2kπ- (k∈Z)时, 2 ymin=-1

无最大、最 小值

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周期性 奇偶性

周期 T=2π 奇函数

周期 T=2π 偶函数 在[2kπ-π,

周期 T=π 奇函数

π π 在 2kπ- ,2kπ+ (k∈ 2kπ](k∈Z) 在每个区间 kπ 2 2 上都是增函 π π Z)上都是增函数; -2,kπ+2(k∈ 单调性 数;在[2kπ, π 3π 在 2kπ+ ,2kπ+ (k 2kπ+π](k∈ Z)上都是增函 2 2 数 Z)上都是减 ∈Z)上都是减函数 函数

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轴对称图形, 对 轴对称图形,对称轴方 称轴方程是 x= 中心对称图 π kπ,k∈Z;中心 形,对称中 程是 x=kπ+2,k∈Z; 对称性 ?kπ ? 对称图形, 对称 ? 心? 2 ,0?(k ? 中心对称图形,对称中 ? ? ? ? π ?kπ+ ,0? 中心 心(kπ,0)k∈Z 2 ∈Z) ? ? k∈Z

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5.三角函数的图象与性质的应用 (1)重点掌握“五点法”,会进行三角函数图象的变换,能从图 象中获取尽可能多的信息,如周期、半个周期、四分之一个周 期等,如轴对称、中心对称等,如最高点、最低点与对称中心 之间位置关系等.能从三角函数的图象归纳出函数的性质. (2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶 性和对称性.在运用三角函数性质解题时,要善于运用数形结 合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完 整准确地进行解答.

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专题一

任意角的三角函数的定义及三角函数线

掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线,能够利 用三角函数的定义求三角函数值,利用三角函数线判断三角函 数的符号,借助三角函数线求三角函数的定义域.

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【例 1】 求函数 y= sin x+ 解 由题意知

1 cos x-2的定义域.

?sin x≥0, ?sin x≥0, ? ? ? 即? 1 1 ?cos x-2≥0, ?cos x≥2, ? ? 如图,结合三角函数线知:

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?2kπ≤x≤2kπ+π ?k∈Z?, ? ? π π ?2kπ-3≤x≤2kπ+3 ?k∈Z?, ? π 解得 2kπ≤x≤2kπ+ (k∈Z), 3
? ? π ? ? ?x|2kπ≤x≤2kπ+ ,k∈Z?. ∴函数的定义域为 3 ? ? ? ?

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专题二

同角三角函数的关系式及诱导公式
2 2

sin α (1)牢记两个基本关系式 sin α+cos α=1 及cos α=tan α, 并能应用 两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中,要注 意掌握解题的技巧,同时要体会数学思想方法如数形结合思想、 分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用.

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π (2)诱导公式可概括为 k·± 记 2 α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式. π 忆规律是:奇变偶不变,符号看象限.其中的奇、偶是指2的奇数 倍或偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则函 数名称变为相应的异名函数;若是偶数倍,则函数名称不变.符 号看象限是指把 α 看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号.

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sin2?π-α?· ?2π-α?· ?-π+α? cos tan 【例 2】 已知 f(α)= . sin ?-π+α?· ?-α+3π? tan (1)化简 f(α); 1 π π (2)若 f(α)=8,且4<α<2,求 cos α-sin α 的值 47 (3)若 α=- π,求 f(α)的值. 4 sin2α· α· α cos tan 解 (1)f(α)= =sin α· α. cos ?-sin α??-tan α?

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1 (2)由 f(α)=sin α· α= 可知, cos 8 (cos α-sin α)2=cos2α-2sin α· α+sin2α cos 1 3 =1-2sin α· α=1-2× = , cos 8 4 π π 又∵4<α<2, ∴cos α<sin α,即 cos α-sin α<0, 3 ∴cos α-sin α=- 2 .

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47 π (3)∵α=- π=-6×2π+ , 4 4
? 47 ? ? 47 ? ? 47 ? ∴f?- 4 π?=cos ?- 4 π?· ?- 4 π? sin ? ? ? ? ? ?

=cos

? ? π? π? ?-6×2π+ ?· ? ? 4? sin ?-6×2π+4? ?

π π 2 2 1 =cos 4· 4= 2 × 2 =2. sin

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专题三

三角函数的图象及变换

三角函数的图象是研究三角函数性质的基础,又是三角函数性 质的具体体现.在平时的考查中,主要体现在三角函数图象的 变换和解析式的确定,以及通过对图象的描绘、观察来讨论函 数的有关性质.具体要求: (1)用“五点法”作 y=Asin (ωx+φ)的图象时,确定五个关键点 π 3π 的方法是分别令 ωx+φ=0, ,π, ,2π. 2 2 (2)对于 y=Asin (ωx+φ)+b 的图象变换,应注意先“平移”后 “伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别.
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(3)由已知函数图象求函数 y=Asin (ωx+φ)(A>0, ω>0)的解析式 时,常用的解题方法是待定系数法,由图中的最大值或最小值 确定 A,由周期确定 ω,由适合解析式的点的坐标来确定 φ, 但由图象求得的 y=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式一般不是 唯一的,只有限定 φ 的取值范围,才能得出唯一的解,否则 φ 的值不确定,解析式也就不唯一.

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【例 3】 如图是函数 π y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|< ) 2 的一段图象. (1)求此函数解析式; (2)分析一下该函数是如何通过 y=sin x 变换得来的?

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1 ? 3? -2-?-2? ? ? 1 解:(1)由图象知 A= =2, 2 1 ? 3? -2+?-2? ?2π π? ? ? k= =-1,T=2×? 3 -6?=π, 2 ? ? 2π 1 ∴ω= T =2.∴y=2sin(2x+φ)-1. π π π π 当 x=6时,2×6+φ=2,∴φ=6. π? 1 ? ∴所求函数解析式为 y=2sin?2x+6?-1. ? ?

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? π? π (2)把 y=sin x 向左平移6个单位得到 y=sin?x+6?,然后纵坐标 ? ?

1 保持不变、横坐标缩短为原来的2, 得到
? π? 1 y=sin?2x+6?,再横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 得 2 ? ?

π? π? 1 ? 1 ? 到 y=2sin?2x+6?, 最后把函数 y=2sin?2x+6?的图象向下平移 1 ? ? ? ? π? 1 ? 个单位,得到 y=2sin?2x+6?-1 的图象. ? ?

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【例 4】 设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条 π 对称轴是直线 x= . 8 (1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调递增区间; (3)画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象.

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π 解:(1)∵x=8是函数 y=f(x)图象的对称轴,
? ? π ∴sin?2×8+φ?=± 1, ? ?

π π ∴ +φ=kπ+ (k∈Z), 4 2 π ∴φ=kπ+4(k∈Z). π ∵-π<φ<0,所以-π<kπ+4<0, 5 1 ∴- <k<- , 4 4 又 k∈Z, ∴k=-1, 3π ∴φ=- . 4
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(2)由(1)知

? 3π? y=sin?2x- 4 ?, ? ?

π 3π π 令 2kπ-2≤2x- 4 ≤2kπ+2(k∈Z), π 5π 所以 kπ+8≤x≤kπ+ 8 (k∈Z), 即函数
? 3π? y=sin?2x- 4 ?的单调递增区间是 ? ?

π 5π [kπ+8,kπ+ 8 ](k∈Z).

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(3)由

? 3π? y=sin?2x- 4 ?,可得如下表中数据. ? ?

x

0

π 8

3π 5π 7π 8 8 8 0 1 0

π 2 -2

2 -1 y - 2

故函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象如图所示.

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专题四

三角函数的性质

高考中三角函数的性质是必考内容之一,着重考查三角函数的 定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质,特别是 复合函数的单调性问题应引起重视.

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【例 5】 函数 f(x)=3sin

? π? ?2x- ?的图象为 3? ?

C.

11 ①图象 C 关于直线 x= π 对称; 12 ②函数
? π 5π? f(x)在区间?-12,12?内是增函数; ? ?

π ③由 y=3sin 2x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C. 3 以上三个论断中,正确论断的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 ).

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解析

?11π? ?11 π? ①f? 12 ?=3sin? 6 π-3? ? ? ? ?

3 =3sin 2π=-3, 11 ∴直线 x=12π 为对称轴,①对; π 5π π π π ②由-12<x<12?-2<2x-3<2, 由于函数 y=3sin x
? π π? 在 ?-2,2? 内单调递增,故函数 ? ?

f(x)在

? π 5π? ?- , ?内单调递增,②对; ? 12 12?

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π ③由 y=3sin 2x 的图象向右平移 个单位长度得到函数 y=3sin 3
? π? 2?x-3?的图象,得不到图象 ? ?

C,③错.故选 C.

答案 C

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命题趋势 本章内容在高考中属于热点内容,有关三角函数的内容多为一 道客观道和一道解答题, 一般以基础题的形式出现, 难度以低、 中档题为主,整个命题过程紧扣课本,重点突出.常见的命题 角度主要有: 一是对三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式 的考查.此时要熟练掌握每个公式,不仅要正用,还要会逆用、 变形用.

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二是对函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的考查.主要考查: ①三角函数的图象及其变换,常与向量平移结合在一起考查; ②求三角函数的解析式, 利用条件确定 y=Asin (ωx+φ)中的 A、 ω、φ 三个量.③三角函数图象与性质的综合应用,三角函数的 周期性、单调性、最值、对称性、奇偶性等,近年来高考题努 力求新求异,所以注意与其它章节的联系(如向量).

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高考真题 aπ 1. (2011· 山东高考)若点(a,9)在函数 y=3 的图象上, tan 6 的 则
x

值为( A.0 C.1

). 3 B. 3 D. 3

解析 由题意知 9=3a,∴a=2. aπ π ∴tan 6 =tan 3= 3. 答案 D

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2.(2011· 全国卷Ⅱ高考)为了得到函数 y=sin 只需把函数 y=sin
? π? ?2x+ ?的图象( 6? ?

? π? ?2x- ?的图象, 3? ?

). π B.向右平移 个长度单位 4 π D.向右平移 个长度单位 2

π A.向左平移 个长度单位 4 π C.向左平移 个长度单位 2

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解析

? ? ? π? π ?? y=sin?2x+6?=sin?2?x+12??, ? ? ? ? ??

? ? ? π? π?? y=sin?2x-3?=sin?2?x-6??, ? ? ? ? ??

π ? π? π 故应向右平移12-?-6?=4个长度单位. ? ? 答案 B

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3.(2011· 山东高考)若函数 f(x)=sin

? π? ωx(ω>0)在区间?0,3?上单 ? ?

?π π ? 调递增,在区间?3,2?上单调递减,则 ? ?

ω 等于(

).

2 3 A.3 B.2 解析 由

C.2 D.3
? ?π π ? π? f(x)在?0,3?上为单调递增, 在区间?3,2?上单调递减, ? ? ? ?

ωπ π 再结合 f(x)=sin ωx(ω>0)的图象可知, 3 =2. 答案 B

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4.(2011· 大纲全国高考)设函数 f(x)=cos ωx(ω>0),将 y=f(x)的图 π 象向右平移 个单位长度后, 所得的图象与原图象重合, ω 的最 则 3 小值等于( 1 A. 3 解析 ). B.3 C.6 D.9

π 由题意得: 为函数 f(x)=cos ωx 的最小正周期的正整数倍, 3

π 2π ∴3=k· (k∈N*),∴ω=6k(k∈N*),∴ω 的最小值为 6. ω 答案 C

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π 5.(2011· 辽宁高考)已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2),y =f(x)的部分图象如图,则
?π? f?24?等于( ? ?

).

A.2+ 3 3 C. 3

B. 3 D.2- 3

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解析 由题意,结合图象知函数周期 π 3π π ω=π=2.由 2× 8 +φ=π,得 φ=4. 2
? π? ∴f(x)=Atan?2x+4?. ? ?

?3π T=? 8 - ?

π ? π ?×2= ,∴ 8 ? 2

π 特点(0,1)代入上式,得 1=Atan 4,∴A=1, 即 故
? π? f(x)=tan?2x+4?. ? ? ?π? ?π π? f?24?=tan?24×2+4?=tan ? ? ? ?

π = 3.选 B. 3

答案 B
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6.(2011· 江西高考)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正 2 5 半轴.若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 sin θ=- 5 , 则 y=________. 2 5 解析 根据题意 sin θ=- <0 及 P(4,y)是角 θ 终边上一点,可 5 y 2 5 知 θ 为第四象限角.再由三角函数的定义得, 2 2=- , 5 4 +y 又∵y<0,∴y=-8(合题意),y=8(舍去).综上知 y=-8. 答案 -8

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7.(2011· 江苏高考)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数, A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则 f(0)的值是________. 解析 由题图可知 A= 2,
?7π π? ∵T=4?12-3?=π, ? ?

2π ∴ω= π =2,

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