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江苏省连云港市灌云一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江苏省连云港市灌云一中高二(上)期中数学试 卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1.不等式 x ﹣x﹣2>0 的解集是
2

. . .

2.在等差数列{an}中,若 a3=﹣5,a7=﹣1,则 a5 的值为 3.在△ABC 中,已知 , ,a=6,则 b=



4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣n ,则 a10=

3

2

. .

5.若 m、m+1、m+2 是钝角三角形的三边长,则实数 m 的取值范围是 6.在△ABC 中,若 a =b +bc+c ,则 A=
2 2 2 2

°. .

7.等差数列{an}的前 n 项的和 sn=pn +n(n+1)+p+3,则 p=

8.三角形的一边长为 14,这条边所对的角为 60°,另两边之比为 8:5,则这个三角形的 面积为 .

9.若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=5y﹣x 的最大值为



10.已知两个等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn.且

,则

=



11.函数 y=

(x>﹣1)的最小值为



12.在数列{an}中,a1=2,an+1=4an﹣3n+1,n∈N 且 n>1,若λ≥Sn+1﹣4Sn 恒成立,则实数λ 的取值范围为 .

*

13.若当 x∈[﹣2,2]时,不等式 x +ax+3≥a 恒成立,则 a 的取值范围为 14.数列{an}满足 an+1+(﹣1) an=2n﹣1,则{an}的前 60 项和为
n

2

. .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15.在△ABC 中,已知 AC=2,BC=3, (1)求 sinB 的值; (2)求△ABC 的面积. .

16. (1)解不等式: (2)已知不等式 x ﹣2x+k ﹣1>0 对一切实数 x 恒成立,求实数 k 的取值范围. 17.数列{an}的前 n 项为 Sn,Sn=2an﹣3n(n∈N ) . (1)证明:数列{an+3}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式 an. 18. (理科)2013 年将举办的第十二届中国? 东海国际水晶节,主题为“水晶之都? 福如东 海” ,于 9 月 28 日在国内唯一水晶博物馆正式开幕.为方便顾客,在休息区 200m 的矩形区 域内布置了如图所示的休闲区域(阴影部分) ,已知下方是两个相同的矩形.在休闲区域四 周各留下 1m 宽的小路,若上面矩形部分与下方矩形部分高度之比为 1:2.问如何设计休息 区域,可使总休闲区域面积最大.
2 * 2 2

19.已知 f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 m,n∈[﹣1,1],m+n≠0 时,有 (1)解不等式
2

. ;

(2)若 f(x)≤t ﹣2at+1 对所有 x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求实数 t 的取值范 围.

20.将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表.记表中第一列数 a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1.Sn 为数列{bn}的前 n 项和,且满足 2bn=bnSn 2 * ﹣Sn (n≥2,n∈N ) . (1)证明数列{ }是等差数列,并求数列{bn}的通项公式;

(2)图中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序构成等比数列,且公比为同一 个正数.当 a81=﹣ 时,求上表中第 k(k≥3)行所有数的和.

2014-2015 学年江苏省连云港市灌云一中高二 (上) 期中 数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1.不等式 x ﹣x﹣2>0 的解集是 {x|x>2 或 x<﹣1}
2



考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 先将一元二次不等式进行因式分解,然后直接利用一元二次不等式的解法,求解即 可.
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解答: 解:不等式 x ﹣x﹣2>0 化为: (x﹣2) (x+1)>0,解得 x>2 或 x<﹣1. 所以不等式的解集为:{x|x>2 或 x<﹣1}; 故答案为:{x|x>2 或 x<﹣1}. 点评: 本题是基础题,考查一元二次不等式的解法,考查计算能力,属于基础题. 2.在等差数列{an}中,若 a3=﹣5,a7=﹣1,则 a5 的值为 ﹣3 . 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题.

2

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分析: 利用等差数列的性质 a3+a7=2a5,进而可得答案. 解答: 解:由等差数列的性质得:a3+a7=2a5=﹣6, ∴a5=﹣3, 故答案为:﹣3. 点评: 本题考查等差数列的性质,熟练掌握等差中项,可以提高做题的效率.属于基础题.

3.在△ABC 中,已知



,a=6,则 b= 5



考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理列出关系式,将 sinA,sinB 及 a 的值代入计算即可求出 b 的值.
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解答: 解:∵sinA= ,sinB=

,a=6,

∴由正弦定理

=

得:b=

=

=5



故答案为:5 点评: 此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关 键.

4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣n ,则 a10= 考点: 数列的函数特性. 专题: 函数的性质及应用.
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3

2

252 .

分析: 直接利用已知条件求出 a10=S10﹣S9 的结果即可. 3 2 3 2 3 2 解答: 解:数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣n ,则 a10=S10﹣S9=10 ﹣10 ﹣(9 ﹣9 )=252. 故答案为:252. 点评: 本题考查数列的函数的特征,基本知识的考查. 5.若 m、m+1、m+2 是钝角三角形的三边长,则实数 m 的取值范围是 1<m<3 . 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 设最大边 m+2 对的钝角为α,利用余弦定理表示出 cosα,将三边长代入表示出 cos α,根据 cosα小于 0 求出 m 的范围,再根据三边关系求出 m 范围,综上,即可得到满足题 意 m 的范围. 解答: 解:∵m、m+1、m+2 是钝角三角形的三边长,且最大边 m+2 对的钝角为α,
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∴由余弦定理得:cosα=

=

<0,

解得:0<m<3, ∵m+m+1>m+2, ∴m>1, 则实数 m 的范围是 1<m<3. 故答案为:1<m<3 点评: 此题考查了余弦定理,以及三角形的三边关系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 6.在△ABC 中,若 a =b +bc+c ,则 A= 120 °. 考点: 余弦定理. 专题: 计算题.
2 2 2 2

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分析: 先根据 a =b +bc+c ,求得 bc=﹣(b +c ﹣a )代入余弦定理中可求得 cosA,进而求 得 A. 解答: 解:根据余弦定理可知 cosA= ∵a =b +bc+c , 2 2 2 ∴bc=﹣(b +c ﹣a ) ∴cosA=﹣ ∴A=120° 故答案为 120° 点评: 本题主要考查了余弦定理的应用.属基础题.
2 2 2

2

2

2

2

2

7.等差数列{an}的前 n 项的和 sn=pn +n(n+1)+p+3,则 p= ﹣3 . 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列.

2

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分析: 根据当 n≥2 时,an=sn﹣sn﹣1,把条件代入化简求出 an,由当 n=1 时,a1=s1 求出 a1, 代入 an 列出关于 p 的方程求出 p 的值. 2 解答: 解:因为等差数列{an}的前 n 项的和 sn=pn +n(n+1)+p+3, 所以当 n≥2 时,an=sn﹣sn﹣1 2 2 =pn +n(n+1)+p+3﹣[p(n﹣1) +n(n﹣1)+p+3] =(2p+2)n﹣p, 当 n=1 时,a1=s1=2p+5,也适合上式, 即 2p+5=(2p+2)×1﹣p,解得 p=﹣3, 故答案为:﹣3. 点评: 本题考查等差数列的通项公式,以及数列的前 n 项的和 sn 与 an 的关系式应用,属于 基础题. 8.三角形的一边长为 14,这条边所对的角为 60°,另两边之比为 8:5,则这个三角形的 面积为 . 考点: 三角形中的几何计算. 专题: 解三角形. 分析: 设另两边分别为 8k 和 5k,由余弦定理可求得 k=2,故另两边分别为 16 和 10,故 这个三角形的面积为
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×16×10sin60°,计算求得结果. 解答: 解:设另两边分别为 8k 和 5k,由余弦定理可得 14 =64k +25k ﹣80k cos60°, ∴k=2,故另两边分别为 16 和 10,故这个三角形的面积为 ×16×10sin60°= ,
2 2 2 2

故答案为: . 点评: 本题考查余弦定理的应用,三角形的面积公式,求出 k=2 是解题的关键,属于中档 题.

9.若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=5y﹣x 的最大值为 16 .

考点: 专题: 分析: 解答:

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值. 解:作出不等式对应的平面区域(阴影部分) ,
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由 z=5y﹣x,得 y= 平移直线 y= 此时 z 最大. 由 ,解得

, 经过点 B 时,直线 y=﹣2x+z 的截距最大,

,由图象可知当直线 y=



即 B(4,4) . 此时 z 的最大值为 a=z=5×4﹣4=20﹣4=16, 故答案为:16

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.

10.已知两个等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn.且

,则

=



考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 题目给出了两个等差数列的前 n 项和的比值,求解两个数列的第 11 项的比,可以借 助等差数列的前 n 项和在 n 为奇数时的公式 进行转化.
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解答: 解:因为数列{an}、{bn}都是等差数列,根据等差中项的概念知数列中的第 11 项为 数列前 21 项的等差中项, 所以 S21=21a11,T21=21b11, 所以 .

故答案为 .

点评: 本题主要考查了等差数列的性质和数列的求和.解题的关键是利用了等差数列的前 n 项和在 n 为奇数时的公式,若 n 为奇数,则 .

11.函数 y=

(x>﹣1)的最小值为 4



考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 化简函数的解析式,然后利用基本不等式求解最小值即可.
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解答: 解:函数 y= ∵x>﹣1,∴x+1>0, y=2(x+1)+ 当且仅当 +1≥2 即 x=

=2(x+1)+

+1,

+1=4 时等号成立.



函数的最小值为:4 . 故答案为:4 . 点评: 本题考查基本不等式求解函数的最值,基本知识的考查. 12.在数列{an}中,a1=2,an+1=4an﹣3n+1,n∈N 且 n>1,若λ≥Sn+1﹣4Sn 恒成立,则实数λ 的取值范围为 [0,+∞) . 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列.
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*

分析: 由已知条件推导出 an=4

n﹣1

+n,Sn=



Sn+1=

+

,从而 Sn+1﹣4Sn=﹣ (3n +n﹣4) ,n=1,最大值为 0.由

2

此能求出实数λ的取值范围. 解答: 解:由题设 a n+1=4an﹣3n+1,得 a n+1﹣(n+1)=4(an﹣n) ,n∈N*. 又 a1﹣1=1,所以数列{an﹣n}是首项为 1,且公比为 4 的等比数列. n﹣1 n﹣1 an﹣n=4 ,于是数列{an}的通项公式为 an=4 +n. ∴数列{an}的前 n 项和 Sn= ,

Sn+1=

+

∴Sn+1﹣4Sn=﹣ (3n +n﹣4) , ∴n=1,最大值为 0. ∵λ≥Sn+1﹣4Sn 恒成立, ∴λ≥0, ∴实数λ的取值范围为[0,+∞) . 故答案为:[0,+∞) . 点评: 本题考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意构造法的合 理运用. 13.若当 x∈[﹣2,2]时,不等式 x +ax+3≥a 恒成立,则 a 的取值范围为 [﹣7,2] . 考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用.
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2

2

分析: 由已知条件知,x∈[﹣2,2]时,x +ax+3﹣a≥0 恒成立,令 f(x)=x +ax+3﹣a, 利用二次函数在端点的函数值, 对称轴以及函数的最小值列出不等式组, 求解可得 a 的取值 范围. 解答: 解:原不等式变成:x +ax+3﹣a≥0,令 f(x)=x +ax+3﹣a,则由已知条件得:
2 2

2

2

,或

,或





可得 a∈? ;

解:

可得﹣7≤a≤﹣4;

解:

可得﹣6≤a≤2;

综上:﹣7≤a≤2; ∴a 的取值范围为[﹣7,2]. 故答案为:[﹣7,2]. 点评: 考查二次函数和一元二次不等式的关系,一元二次不等式解的情况,可结合图象求 解,考查转化思想的应用. 14.数列{an}满足 an+1+(﹣1) an=2n﹣1,则{an}的前 60 项和为 1830 . 考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 计算题;压轴题.
n

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分析: 令 bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4, 则 bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣2+a4n+16=bn+16 可得数列{bn}是以 16 为公差的等差数列,而{an}的前 60 项和为即为数列{bn}的前 15 项和, 由等差数列的求和公式可求 解答: 解:∵ ∴ 令 bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4,a4n+1+a4n+3=(a4n+3+a4n+2)﹣(a4n+2﹣a4n+1)=2, a4n+2+a4n+4=(a4n+4﹣a4n+3)+(a4n+3+a4n+2)=16n+8, 则 bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n+16=bn+16 ∴数列{bn}是以 16 为公差的等差数列,{an}的前 60 项和为即为数列{bn}的前 15 项和 ∵b1=a1+a2+a3+a4=10 ∴ =1830 ,

点评: 本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和,等差数列的求和公式的应用,解 题的关键是通过构造等差数列 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15.在△ABC 中,已知 AC=2,BC=3, (1)求 sinB 的值; (2)求△ABC 的面积. 考点: 正弦定理;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题. 分析: (1)先根据 cosA 求得 sinA,再根据正弦定理求得 sinB. (2)先根据 sinC=sin(A+B) ,根据两角和公式求得 sinC,再根据三角形面积公式,答案可 得.
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解答: 解: (1)在△ABC 中,



由正弦定理, (2) ,

.所以 , .



点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用.属基础题.

16. (1)解不等式: (2)已知不等式 x ﹣2x+k ﹣1>0 对一切实数 x 恒成立,求实数 k 的取值范围.
2 2

考点: 一元二次不等式的应用. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: (1)移项,通分,即可求解不等式;
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(2)不等式 x ﹣2x+k ﹣1>0 对一切实数 x 恒成立,等价于判别式小于 0,由此可求实数 k 的取值范围. 解答: 解: (1)由题意, ,∴ ,∴x<﹣4 或 x≥

2

2

∴不等式的解集为(﹣∞,﹣4)∪[ ,+∞) ; (2)∵不等式 x ﹣2x+k ﹣1>0 对一切实数 x 恒成立, 2 ∴△=4﹣4(k ﹣1)<0 ∴k> 或 k<﹣ 即实数 k 的取值范围是(﹣∞,﹣ )∪( ,+∞) . 点评: 本题考查解不等式,考查恒成立问题,考查学生的计算能力,属于基础题. 17.数列{an}的前 n 项为 Sn,Sn=2an﹣3n(n∈N ) . (1)证明:数列{an+3}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式 an. 考点: 数列递推式;等比关系的确定. 专题: 综合题;点列、递归数列与数学归纳法.
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2

2

*

分析: (1) 证明数列{an+3}是等比数列, 利用等比数列的定义, 证明 即可; (2)根据数列{an+3}是以 6 为首项,2 为公比的等比数列,可求求数列{an}的通项公式. 解答: (1)证明:由 Sn=2an﹣3n,得 Sn﹣1=2an﹣1﹣3(n﹣1) (n≥2) , 则有 an=2an﹣2an﹣1﹣3an+3=2(an﹣1+3) (n≥2) , ∵a1=S1=2a1﹣3,∴a1=3, ∴a1+3=6≠0, 由此可得 a2+3=12≠0,以此类推 an+3≠0, ∴ ,

∴数列{an+3}是以 6 为首项,2 为公比的等比数列.…(6 分) (2)解:∵a1=S1=2a1﹣3,∴a1=3. 由(1)知 ,∴ .…(12 分)

点评: 证明数列是等比数列,定义是根本,求数列的通项,正确运用等比数列的通项是关 键. 18. (理科)2013 年将举办的第十二届中国? 东海国际水晶节,主题为“水晶之都? 福如东 海” ,于 9 月 28 日在国内唯一水晶博物馆正式开幕.为方便顾客,在休息区 200m 的矩形区 域内布置了如图所示的休闲区域(阴影部分) ,已知下方是两个相同的矩形.在休闲区域四
2

周各留下 1m 宽的小路,若上面矩形部分与下方矩形部分高度之比为 1:2.问如何设计休息 区域,可使总休闲区域面积最大.

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 应用题. 分析: 设整个休息区域的宽为 xm,建立休闲区域面积对应的函数关系式,利用基本不等式 进行求解即可.
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解答: 解:设整个休息区域的宽为 xm,则高为 下方矩形宽为 ,高为

m. ; .

上方矩形宽为 x﹣2,高为 则休闲区域面积

= m. 当且仅当 答:当矩形的宽为 ,即 m 时,上式取等号.
2

m,高为 15m 时,休闲区域面积最大.

点评: 本题主要考查函数的应用题,利用基本不等式进行求解是解决本题的关键.考查学 生的运算能力. 19.已知 f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 m,n∈[﹣1,1],m+n≠0 时,有 (1)解不等式
2

. ;

(2)若 f(x)≤t ﹣2at+1 对所有 x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求实数 t 的取值范 围. 考点: 函数恒成立问题;函数奇偶性的性质.

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专题: 综合题. 分析: (1)由 f(x)是奇函数和单调性的定义,可得 f(x)在[﹣1,1]上是增函数,再 利用定义的逆用求解; (2)先由(1)求得 f(x)的最大值,再转化为关于 a 的不等式恒成立问题求解. 解答: 解: (1)任取 x1,x2∈[﹣1, 1]且 x1<x2,则

∴f(x2)>f(x1) ,∴f(x)为增函数 ∵



∴ 即不等式

, 的解集为 .

(2)由于 f(x)为增函数,∴f(x)的最大值为 f(1)=1, ∴f(x)≤t ﹣2at+1 对 x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,等价于 t ﹣2at+1≥1 对任意 的 a∈[﹣1,1]恒成立, 即 t ﹣2at≥0 对任意的 a∈[﹣1,1]恒成立. 2 把 y=t ﹣2at 看作 a 的函数,由于 a∈[﹣1,1]知其图象是一条线段. 2 ∵t ﹣2at≥0 对任意的 a∈[﹣1,1]恒成立 ∴
2 2 2

∴ 解得 t≤﹣2 或 t=0 或 t≥2. 点评: 本题主要考查单调性和奇偶性的综合应用及函数最值、 恒成立问题的转化化归思想. 20.将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表.记表中第一列数 a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1.Sn 为数列{bn}的前 n 项和,且满足 2bn=bnSn 2 * ﹣Sn (n≥2,n∈N ) . (1)证明数列{ }是等差数列,并求数列{bn}的通项公式;

(2)图中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序构成等比数列,且公比为同一 个正数.当 a81=﹣ 时,求上表中第 k(k≥3)行所有数的和.

考点: 数列的求和;等差关系的确定. 专题: 综合题;等差数列与等比数列.
2

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分析: (1)由 n≥2 时,2bn=bnSn﹣Sn ,得 2(Sn﹣Sn﹣1)=(Sn﹣Sn﹣1)Sn﹣ 两边同除以 SnSn﹣1 整理后得 ,由此可知数列{

=﹣SnSn﹣1,

}是等差数列,从而可求得

Sn,根据 Sn 与 bn 的关系可求得 bn; (2)设上表中从第三行起,每行中的数构成的等比数列的公比都为 q,且 q>0.易判断 a81 所在的行和列,借助 bn 可求得公比 q,再根据等比数列的求和公式可求得结果; 2 解答: 解: (1)由已知,当 n≥2 时,2bn=bnSn﹣Sn , 又 Sn=b1+b2+b3+…+bn, ∴2(Sn﹣Sn﹣1)=(Sn﹣Sn﹣1)Sn﹣ ∴ ∴数列{ ∴ ∴当 n≥2 时,bn=Sn﹣Sn﹣1= ,又 S1=b1=a1=1. }是首项为 1,公差为 的等差数列. ,则 =﹣ . , =﹣SnSn﹣1,





(2)设上表中从第三行起,每行中的数构成的等比数列的公比都为 q,且 q>0. ∵1+2+…+12= =78,

∴表中第 1 行至第 12 行共含有数列{an}的前 78 项, 故 a81 在表中第 13 行第 3 列,∴ 又 ,∴q=2. .

记表中第 k(k≥3)行所有数的和为 Sn,则

=﹣

?

=



点评: 本题考查等差关系的确定、等比数列的通项公式及数列的求和,属中档题,考查学 生分析问题解决问题的能力.


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