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广东省汕头市潮南区2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)


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广东省汕头市潮南区 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (理科)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 2 1. (5 分)命题“? x∈R,x +1≥1”的否定是() 2 2 2 2 A. ? x∈R,x +1<1 B. ? x∈R,x +1≤1 C. ? x∈R,x +1<1 D. ? x∈R,x +1≥1

2. (5 分)已知向量 =(3,﹣1,2) , =(x,y,﹣4) ,且 ∥ ,则 x+y=() A. 8 B. 4 C. ﹣ 4 D. ﹣8 ,则 AC=() D.

3. (5 分)在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°, A. B. C.

4. (5 分)若函数 f(x)=cos x﹣ (x∈R) ,则 f(x)是() A. 最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 π 的奇函数 D. 最小正周期为 π 的偶函数

2

C. 最小正周期为 2π 的偶函数

5. (5 分)已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,则这个几 何体的体积是()

A. 8cm

3

B. 12cm

3

C. 24cm

3

D. 72cm

3

6. (5 分)运行如图的程序框图,则输出 s 的结果是()

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A.

B.

C.

D.

7. (5 分)设 x,y∈R 且满足

,则 z=x+2y 的最小值等于()

A. 2

B. 3

C. 9

D. 11

8. (5 分)若 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(3)=0,则 xf(x)<0 的 解集是() A. {x|﹣3<x<0 或 x>3} B. {x|x<﹣3 或 0<x<3} C. {x|x<﹣3 或 x>3} D. {x|﹣3<x<0 或 0<x<3}

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 2 9. (5 分)设全集 U 是实数集 R,M={x|﹣2≤x≤2},N={x|x ﹣4x+3>0},则 M∩N=.

10. (5 分)双曲线



=1 的渐近线方程是.

11. (5 分)函数 y=sinx+sin(x﹣

)的最小正周期为,最大值是.

12. (5 分)圆心在直线 x﹣2y+7=0 上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(﹣2,0) 、B(﹣4,0) ,则圆 C 的方程为. 13. (5 分)二次函数 y=x +2ax+b 在[﹣1,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范是. 14. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n﹣an,则数列{an}的通项公式 an=.
2

三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 15. (12 分)已知直线 l 的方程为 4x+3y﹣12=0,求满足下列条件的直线 l′的方程:

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅰ)l′与 l 平行且过点(﹣1,﹣3) ; (Ⅱ)l′与 l 垂直且过点(﹣1,﹣3) . 16. (12 分) 设命题 p: 实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0, 其中 a>0; 命题 q: 实数 x 满足 x ﹣5x+6≤0 (1)若 a=1,且 q∧p 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 17. (14 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA 垂直 于底面 ABCD,PA=AD=AB=2BC=2,M,N 分别为 PC,PB 的中点. (1)求证:PB⊥DM; (2)求平面 ADMN 与平面 ABCD 所成的二面角的余弦值; (3)求点 B 到平面 PAC 的距离.
2 2 2

18. (14 分)已知数列{an}满足 a1=0,

,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,

且数列 S1+1, S2+1, S3+1,? Sn+1?是首项和公比都为 4 的等比数列. (Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)设数列{an}的前 n 项和为 Tn,求 的值.

19. (14 分)设函数 f(x)=a ﹣(k﹣1)a (a>0,且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)求 k 的值; 2 (2)若 f(1)<0,试判断函数单调性,并求使不等式 f(x +tx)+f(4﹣x)<0 恒成立的 t 的取值范围; 2 (3)若 a=2,且 g(x)=f (x)﹣2mf(x)+2 在[1,+∞)上的最小值为﹣2,求 m 的值.

x

﹣x

20. (14 分) 已知椭圆 C 的中心在原点, 焦点 y 在轴上, 焦距为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点

, 且过点 M



的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,且 N 恰好为 AB 中点,能否在椭圆 C

上找到点 D,使△ABD 的面积最大?若能,求出点 D 的坐标;若不能,请说明理由.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 广东省汕头市潮南区 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 2 1. (5 分)命题“? x∈R,x +1≥1”的否定是() 2 2 2 2 A. ? x∈R,x +1<1 B. ? x∈R,x +1≤1 C. ? x∈R,x +1<1 D. ? x∈R,x +1≥1 考点: Venn 图表达集合的关系及运算;交、并、补集的混合运算. 专题: 规律型. 分析: 全称命题:“? x∈A,P(x)”的否定是特称命题:“? x∈A,非 P(x)”,结合 2 已知中原命题“? x∈R,都有有 x +1≥1”,易得到答案. 2 解答: 解:∵原命题“? x∈R,有 x +1≥1” 2 ∴命题“? x∈R,有 x +1≥1”的否定是: 2 ? x∈R,使 x +1<1. 故选 C. 点评: 本题考查的知识点是命题的否定,其中熟练掌握全称命题:“? x∈A,P(x)”的 否定是特称命题:“? x∈A,非 P(x)”,是解答此类问题的关键.

2. (5 分)已知向量 =(3,﹣1,2) , =(x,y,﹣4) ,且 ∥ ,则 x+y=() A. 8 B. 4 C. ﹣ 4 D. ﹣8

考点: 共线向量与共面向量. 专题: 空间向量及应用. 分析: 由向量 =(3,﹣1,2) , =(x,y,﹣4) ,且 ∥ ,得 出结果. 解答: 解:∵向量 =(3,﹣1,2) , =(x,y,﹣4) ,且 ∥ , ∴ , ,由此能法语

解得 x=﹣6,y=2, x+y=﹣6+2=﹣4. 故选:C. 点评: 本题考查实数和的求法,是基础题,解题时要注意空间向量的平行的条件的灵活运 用. 3. (5 分)在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°, A. B. C. ,则 AC=() D.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 结合已知,根据正弦定理, 解答: 解:根据正弦定理, , 可求 AC



故选 B 点评: 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础试题
2

4. (5 分)若函数 f(x)=cos x﹣ (x∈R) ,则 f(x)是() A. 最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 π 的奇函数 D. 最小正周期为 π 的偶函数

C. 最小正周期为 2π 的偶函数

考点: 二倍角的余弦. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 利用二倍角公式化简函数,即可得出结论. 解答: 解:∵f(x)=cos x﹣ = cos2x, ∴f(﹣x)= cos(﹣2x)= cos2x=f(x) , ∴函数是偶函数, ∵T= ,
2

∴f(x)是最小正周期为 π 的偶函数. 故选:D. 点评: 本题考查二倍角的余弦,考查三角函数的性质,考查学生的计算能力,属于基础题. 5. (5 分)已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,则这个几 何体的体积是()

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A. 8cm

3

B. 12cm

3

C. 24cm

3

D. 72cm

3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 通过三视图复原的几何体,以及三视图的数据,直接求解几何体的体积. 解答: 解:因为三视图复原的几何体是三棱锥,三棱锥的底面三角形是底为 6,高为 4 的等 腰三角形, 三棱锥的高为 3, 所以三棱锥的体积为: =12 (cm ) .
3

故选 B. 点评: 本题考查三视图与几何体的关系的判断几何体的体积的求法,考查空间想象能力以 及计算能力. 6. (5 分)运行如图的程序框图,则输出 s 的结果是()

A.

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 模拟程序框图的运行过程,即可得出该程序运行后输出的 s 值是什么.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:模拟程序框图的运行过程,得: s=0,n=2,n<10?,是,s=0+ = ; n=4,n<10?,是,s= + = ; n=6,n<10?,是,s= + = n=8,n<10?,是,s= + = ; ; .

n=10,n<10?,否,输出 s=

故选:A. 点评: 本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,是基础题目.

7. (5 分)设 x,y∈R 且满足

,则 z=x+2y 的最小值等于()

A. 2

B. 3

C. 9

D. 11

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先画出满足条件的平面区域,由 z=x+2y 变形为 y=﹣ x+ ,显然,直线过点(1,1) 时,z 最小,代入求出即可. 解答: 解:画出满足条件的平面区域,如图示:

, 由 z=x+2y 得:y=﹣ x+ , 由 解得: ,

显然,直线过点(1,1)时,z 最小, ∴z 最小值=3, 故选:B.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考察了简单的线性规划问题,考察数形结合思想,通过将直线变形找出 z 取最 小值的区域内的点是解题的关键,本题是一道基础题. 8. (5 分)若 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(3)=0,则 xf(x)<0 的 解集是() A. {x|﹣3<x<0 或 x>3} B. {x|x<﹣3 或 0<x<3} C. {x|x<﹣3 或 x>3} D. {x|﹣3<x<0 或 0<x<3} 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 易判断 f(x)在(﹣∞,0)上的单调性及 f(x)图象所过特殊点,作出 f(x)的 草图,根据图象可解不等式. 解答: 解:∵f(x)在 R 上是奇函数,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴f(x)在(﹣∞,0)上也是增函数, 由 f(3)=0,得 f(﹣3)=﹣f(3)=0, 即 f(﹣3)=0, 由 f(﹣0)=﹣f(0) ,得 f(0)=0, 作出 f(x)的草图,如图所示: 由图象,得 xf(x)<0? 或 ,

解得 0<x<3 或﹣3<x<0, ∴xf(x)<0 的解集为: (﹣3,0)∪(0,3) , 故选:D.

点评: 本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用,考查数形结合思想,灵活作出函数的草 图是解题关键. 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 2 9. (5 分)设全集 U 是实数集 R,M={x|﹣2≤x≤2},N={x|x ﹣4x+3>0},则 M∩N={x|﹣2≤x <1}.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 N 中不等式的解集确定出 N,找出 M 与 N 的交集即可. 解答: 解:由 N 中的不等式变形得: (x﹣1) (x﹣3)>0, 解得:x<1 或 x>3, 即 N={x|x<1 或 x>3}, ∵M={x|﹣2≤x≤2}, ∴M∩N={x|﹣2≤x<1}, 故答案为:{x|﹣2≤x<1}. 点评: 本题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键,属于基础题.

10. (5 分)双曲线



=1 的渐近线方程是 y=± x.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 把双曲线的标准方程中的 1 换成 0 即得渐近线方程,化简即可得到所求. 解答: 解:∵双曲线方程为 故答案为 y=± . ﹣ =1 的,则渐近线方程为线 ﹣ =0,即 y=± ,

点评: 本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,把双曲线的标准方程 中的 1 换成 0 即得渐近线方程. )的最小正周期为 2π ,最大值是

11. (5 分)函数 y=sinx+sin(x﹣



考点: 两角和与差的正弦函数;诱导公式的作用. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 利用两角和与差的正弦函数化简函数我一个角的一个三角函数的形式,然后直接求 出函数的周期与最大值. 解答: 解:因为函数 y=sinx+sin(x﹣ 所以函数的周期为 T= =2π (2 分) ; )=sinx+ sinx﹣ cosx= sin(x﹣ ) .

函数的最大值为: (3 分) 故答案为:2π ; . 点评: 本题考查三角函数的化简求值,函数周期的求法,考查基本知识的应用. 12. (5 分)圆心在直线 x﹣2y+7=0 上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(﹣2,0) 、B(﹣4,0) ,则圆 2 2 C 的方程为(x+3) +(y﹣2) =5.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: 先由条件求得圆心的坐标为 C(﹣3,2) ,半径 r=|AC|= ,从而得到圆 C 的方程. 解答: 解析:直线 AB 的中垂线方程为 x=﹣3,代入直线 x﹣2y+7=0,得 y=2, 故圆心的坐标为 C(﹣3,2) ,再由两点间的距离公式求得半径 r=|AC|= , 2 2 ∴圆 C 的方程为 (x+3) +(y﹣2) =5, 2 2 故答案为 (x+3) +(y﹣2) =5. 点评: 本题主要考查于娜的标准方程,直线和圆的位置关系的应用,属于中档题. 13. (5 分)二次函数 y=x +2ax+b 在[﹣1,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范是[1,+∞) . 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 2 分析: 由 f(x)在[﹣1,+∞)上单调递增,可知二次函数 y=x +2ax+b 的对称轴为 x=﹣a≤ ﹣1 可求 2 解答: 解:二次函数 y=x +2ax+b 的对称轴为 x=﹣a ∵f(x)在[﹣1,+∞)上单调递增, ∴﹣a≤﹣1 即 a≥1 故答案为[1,+∞) 点评: 本题主要考查了二次函数的单调性的应用,解题的关键是把函数的单调区间的端点 与二次函数的对称轴进行比较. 14. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n﹣an,则数列{an}的通项公式 an= .
2

考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 由数列递推式 Sn=2n﹣an 得到 Sn﹣1=2 (n﹣1) ﹣an﹣1, 两式作差后构造型的等比数列∴{an ﹣2},由等比数列的通项公式求得答案. 解答: 解:由 Sn=2n﹣an ① 得 Sn﹣1=2(n﹣1)﹣an﹣1 (n≥2)② ①﹣②得:2an=an﹣1+2, ∴ 又 S1=a1=2×1﹣a1,得 a1=1. ∴{an﹣2}构成以﹣1 为首项,以 为公比的等比数列. ∴ . 当 n=1 时上式成立. , (n≥2) ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴ 故答案为: . .

点评: 本题考查数列的递推式,考查了 an=pan﹣1+q 型递推式的通项公式的求法,关键是构造 出新的等比数列,是中档题. 三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 15. (12 分)已知直线 l 的方程为 4x+3y﹣12=0,求满足下列条件的直线 l′的方程: (Ⅰ)l′与 l 平行且过点(﹣1,﹣3) ; (Ⅱ)l′与 l 垂直且过点(﹣1,﹣3) . 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)由 l′∥l,则可设 l′的方程为:4x+3y+C=0.把点(﹣1,﹣3)代入解得即 可. (Ⅱ)由 l′⊥l,则可设 l′:3x﹣4y+m=0,把点(﹣1,﹣3)代入解得即可. 解答: 解: (Ⅰ)由 l′∥l,则可设 l′的方程为:4x+3y+C=0. ∵l′过点(﹣1,﹣3) ,∴4×(﹣1)+3×(﹣3)+C=0 解得:C=13, ∴l′的方程为:4x+3y+13=0. (Ⅱ)由 l′⊥l,则可设 l′:3x﹣4y+m=0, ∵l′过(﹣1,﹣3) ,∴3×(﹣1)﹣4×(﹣3)+m=0 解得:m=﹣9,∴l′的方程为:3x﹣4y﹣9=0. 点评: 本题考查了相互平行和垂直的直线的斜率之间的关系,属于基础题. 16. (12 分) 设命题 p: 实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0, 其中 a>0; 命题 q: 实数 x 满足 x ﹣5x+6≤0 (1)若 a=1,且 q∧p 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: (1)利用一元二次不等式的解法可化简命题 p,若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真,即可 得出; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件? 解答: 解: (1)p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a>0 ?(x﹣3a) (x﹣a)<0,∵a>0 为,所以 a<x<3a; 当 a=1 时,p:1<x<3; 2 命题 q:实数 x 满足 x ﹣5x+6≤0?2≤x≤3;若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真,∴2≤x<3; 故 x 的取值范围是[2,3) (2)p 是 q 的必要不充分条件,即由 p 得不到 q,而由 q 能得到 p;
2 2 2 2 2

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∴(a,3a)? [2,3]?

,1<a<2

∴实数 a 的取值范围是(1,2) . 点评: 考查解一元二次不等式,p∧q 的真假和 p, q 真假的关系,以及充分条件、必要条件、 必要不充分条件的概念.属于基础题. 17. (14 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA 垂直 于底面 ABCD,PA=AD=AB=2BC=2,M,N 分别为 PC,PB 的中点. (1)求证:PB⊥DM; (2)求平面 ADMN 与平面 ABCD 所成的二面角的余弦值; (3)求点 B 到平面 PAC 的距离.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)利用等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、共面定理、线面垂直的判定和 性质定理即可证明; (2)利用(1)的结论和二面角的定义即可得出; (3)利用“等积变形”VP﹣ABC=VB﹣PAC,即可得出. 解答: (1)证明:∵N 是 PB 的中点,PA=AB, ∴AN⊥PB. 由 PA⊥底面 ABCD,得 PA⊥AD, ∵∠BAD=90°,即 BA⊥AD, 又 BA∩AP=A,∴AD⊥平面 PAB, ∴AD⊥PB, ∵M、N 为中点,∴MN∥BC, 又 BC∥AD,∴MN∥AD, 即 A、D、M、N 共面 又 AD∩AN=A,且 AD,AN 在平面 ADMN 内, ∴PB⊥平面 ADMN,故 PB⊥DM. (2)由(1)知,AD⊥平面 PAB,∴AN⊥AD,又 AB⊥AD, ∴∠BAN 是平面 ADMN 与平面 ABCD 所成的二面角的平面角. 在直角三角形 PAB 中,PB= = . = .

∵N 直角三角形 PAB 斜边 PB 的中点,∴AN=

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 在直角三角形 NAB 中, . .

即平面 ADMN 与平面 ABCD 所成的二面角的余弦值为 (3)由已知得,AC= = 设点 B 到平面 PAC 的距离为 h, 则 由 VP﹣ABC=VB﹣PAC,即 即点 B 到平面 PAC 的距 = ,得 . , = . = , = .

点评: 熟练掌握等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、共面定理、线面垂直的判定和 性质定理、二面角的定义、“等积变形”是解题的关键. 18. (14 分)已知数列{an}满足 a1=0, ,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,

且数列 S1+1, S2+1, S3+1,? Sn+1?是首项和公比都为 4 的等比数列. (Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)设数列{an}的前 n 项和为 Tn,求 的值.

考点: 数列的求和. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)易知{an}是等差数列,可求 an,利用等比数列的通项公式可求得 Sn,由 Sn 和 bn 的关系可求 bn; (Ⅱ)求出 Tn,利用裂项相消法可求得结果; * 解答: 解: (Ⅰ)由题意知:an+1﹣an=1,n∈N ,满足 a1=0, ∴数列{an}是以 0 为首项,公差等于 1 的等差数列, ∴an=a1+(n﹣1)d=n﹣1; 又由题意可得: =4 ,
n

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴Sn= (1)当 n=1 时, (2)当 n≥2 时,bn=Sn﹣Sn﹣1= 检验 n=1 时也符合,∴ ; ; =4, =4 ,
n

(Ⅱ)由(Ⅰ)知: ∴当 n≥2 时, ∴ + = = =

= , +2(



+?+

)+?+2(

)=2﹣ .

点评: 本题主要考查等差、等比数列的概念、通项公式、前 n 项和公式等基本知识,简单 的数列求和方法等,属于中档题. 19. (14 分)设函数 f(x)=a ﹣(k﹣1)a (a>0,且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)求 k 的值; 2 (2)若 f(1)<0,试判断函数单调性,并求使不等式 f(x +tx)+f(4﹣x)<0 恒成立的 t 的取值范围; 2 (3)若 a=2,且 g(x)=f (x)﹣2mf(x)+2 在[1,+∞)上的最小值为﹣2,求 m 的值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据奇函数的性质可得 f(0)=0,由此求得 k 值; x ﹣x (2)由 f(x)=a ﹣a (a>0 且 a≠1) ,f(1)<0,求得 0<a<1,f(x)在 R 上单调递减, 2 2 不等式化为 f(x +tx)<f(x﹣4) ,即 x +(t﹣1)x+4>0 恒成立, 由△<0 求得 t 的取值范围; x ﹣x (3)把 a=2 代入函数 f(x)的解析式,令 t=f(x)=2 ﹣2 (x≥1)换元,求出 t 的范围, 2 2 则 y=g(x)=f (x)﹣2mf(x)+2=t ﹣2mt+2,然后利用二次函数的单调性求得 y 的最小值, 由最小值为﹣2 求 m 的值. 解答: 解: (1)∵f(x)是定义域为 R 的奇函数,∴f(0)=0, ∴1﹣(k﹣1)=0,∴k=2. x ﹣x 当 k=2 时,f(x)=a ﹣a (a>0 且 a≠1) ,∴f(﹣x)=﹣f(x)成立, ∴f(x)是定义域为 R 的奇函数; x ﹣x (2)函数 f(x)=a ﹣a (a>0 且 a≠1) , ∵f(1)<0,∴a﹣ <0, ∵a>0,∴0<a<1. x ﹣x 由于 y=a 单调递减,y=a 单调递增,故 f(x)在 R 上单调递减. 2 2 不等式 f(x +tx)+f(4﹣x)<0,可化为 f(x +tx)<f(x﹣4) . 2 2 ∴x +tx>x﹣4,即 x +(t﹣1)x+4>0 恒成立,
x ﹣x

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴△=(t﹣1) ﹣16<0,解得﹣3<t<5; (3)a=2 时,f(x)=2 ﹣2 ,令 t=f(x)=2 ﹣2 (x≥1) ,则 t ∴y=g(x)=f (x)﹣2mf(x)+2=t ﹣2mt+2. 对称轴方程为 t=m,当 m 时,y=t ﹣2mt+2 在[ , 由 当m ,解得:m= 时,y=t ﹣2mt+2 在[ , 由 2﹣m =﹣2,解得 m=﹣2(舍)或 m=2. ∴m=2. 点评: 本题考查指数型复合函数的性质以及应用,考查函数的奇偶性的应用,训练了利用 二次函数的单调性求函数的最值,属于中高档题.
2 2 2 2 2 x ﹣x x ﹣x 2



)上为增函数,

(舍) ; )上为减函数,在(m,+∞)上为增函数,

20. (14 分) 已知椭圆 C 的中心在原点, 焦点 y 在轴上, 焦距为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点

, 且过点 M



的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,且 N 恰好为 AB 中点,能否在椭圆 C

上找到点 D,使△ABD 的面积最大?若能,求出点 D 的坐标;若不能,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)法一:利用椭圆的定义和参数 a,b,c 的关系即可得出; 法二:代入椭圆的标准方程,利用待定系数法即可得出; (2)法一:利用“点差法”,直线与椭圆相切得到△=0 即可得出; 法二:联立直线与椭圆的方程,利用根与系数的关系即可得出. 解答: 解: (1) 法一: 依题意, 设椭圆方程为 , 则 , ,

∵椭圆两个焦点为



∴2a=|MF1|+|MF2|= ∴a=2. ∴b =a ﹣c =1,∴椭圆 C 的方程为
2 2 2

=4,



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法二:依题意,设椭圆方程为

,则





,解之得



∴椭圆 C 的方程为



(2)法一:设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,则



?①

?②

①﹣②,得







设与直线 AB 平行且与椭圆相切的直线方程为 l':2x+y+m=0,

联立方程组

,消去 y 整理得 8x +4mx+m ﹣4=0,

2

2

由判别式△=16m ﹣32(m ﹣4)=0 得 , 由图知,当 时,l'与椭圆的切点为 D,此时△ABD 的面积最大, ∵ ,∴xD= = , . .

2

2

∴D 点的坐标为

法二:设直线 AB 的方程为

,联立方程组



消去 y 整理得



设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,则

,∴k=﹣2.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴直线 AB 的方程为 (以下同法一) . ,即 2x+y﹣2=0.

点评: 熟练掌握椭圆的定义、标准方程、参数 a、b、c 的关系、待定系数法、“点差法”、 直线与椭圆相切得到△=0、直线与椭圆相交问题联立方程并利用根与系数的关系是解题的关 键.

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