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2015高考理科立体几何学案4


学案

第4讲

直线、平面平行的判定及性质

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题.

2 种必会方法——直线与平面平行的判定方法 (1)利用判定定理:关键是找平面内与已知直线

平行的直线. 常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边 或过已知直线作一平面找其交线. (2)利用面面平行的性质定理:当两平面平行时,其中一个平面内的任一直线平行于另一平面. 3 项必须防范——处理直线、平面平行问题时应注意的事项 (1)在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误. (2)把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行. (3)两个平面平行,两个平面内的所有直线并不一定相互平行,它们可能是平行直线、异面直线. 考点 1 直线与平面平行 1.判定定理 [判一判] 判断下列说法是否正确(请在括号内填“√”或“× ”). (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.( ) (2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.( (3)若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等,则直线和平面平行.( (4)若直线 a 与平面 α 内无数条直线平行,则 a∥α .( ) (5)若直线 a∥α ,P∈α ,则过点 P 且平行于 a 的直线有无数条.( ) ) )

(6)空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,则 EF∥平面 BCD.( ) 考点 2 平面与平面平行 1. 判定定理

2.性质定理

2.性质定理

1

解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意 (1)判定定理与性质定理中易忽视的条件,如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视. (2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断. (3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确. [学以致用] 1. [2013·广东高考]设 l 为直线,α ,β 是两个不同的平面.下列命题中正确的是( A. 若 l∥α ,l∥β ,则 α ∥β C. 若 l⊥α ,l∥β ,则 α ∥β [想一想] (1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另一个平面平行吗? (2)如果一个平面内有无数条直线都平行于另一个平面,那么两个平面一定平行吗? [判一判] 判断下列说法是否正确(请在括号内填“√”或“× ”). (1)a?α ,b?α ,a∥β ,b∥β ?α ∥β .( ) (2)若 α ∥β ,a?α ,b?β ,则 a,b 平行或异面.( (3)α ∥β ,β ∥γ ?α ∥γ .( ) (4)若 α ∥β ,直线 a∥α ,则 a∥β .( ) 考向一 有关平行关系的判断 例 1 (1)[2013·浙江高考]设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,( A. 若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B. 若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β C. 若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α D. 若 m∥α ,α ⊥β ,则 m⊥β (2)[2013·南昌第一次模拟]已知 α ,β 是平面,m,n 是直线,给出下列命题: ①若 m⊥α ,m?β ,则 α ⊥β ; ②若 m?α ,n?α ,m∥β ,n∥β ,则 α ∥β ; ③如果 m?α ,n?α ,m,n 是异面直线,那么 n 与 α 相交; ④若 α ∩β =m,n∥m,且 n?α ,n?β ,则 n∥α 且 n∥β . 其中正确命题的个数是( A. 1 C. 3 ) B. 2 D. 4 证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法 (1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线. (2)利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式 证明两直线平行. (3)注意说明已知的直线不在平面内,即三个条件缺一不可
2

)

B. 若 l⊥α ,l⊥β ,则 α ∥β D. 若 α ⊥β ,l∥α ,则 l⊥β )

2. [2014·济南模拟]平面 α ∥平面 β 的一个充分条件是( A. 存在一条直线 a,a∥α ,a∥β

B. 存在一条直线 a,a?α ,a∥β

C. 存在两条平行直线 a,b,a?α ,b?β ,a∥β ,b∥α D. 存在两条异面直线 a,b,a?α ,b?β ,a∥β ,b∥α 考向二 直线与平面平行的判定与性质 例 2 [2013·课标全国卷Ⅱ]如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点.

)

)

[学以致用] 3. [2013·福建高考]如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,

[学以致用] 4. [2013·陕西高考]如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 是底面中心,A1O⊥底面

AD=4,∠PAD=60°.

ABCD,AB=AA1= 2.
(1)证明:平面 A1BD∥平面 CD1B1; (2)求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.

→ (1)当正视方向与向量 A D 的方向相同时,画出四棱锥 P-ABCD 的正视图(要求标出尺寸,并写出演算
过程); (2)若 M 为 PA 的中点,求证:DM∥平面 PBC; (3)求三棱锥 D-PBC 的体积. 考向三 平面与平面平行的判定与性质 例 3 [2014·佛山模拟]如图所示,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 是 BC 上一点,且 A1B∥平面 AC1D,D1 是 (实验班必做)规范答题系列 6——证明线面平行的两种常用方法 [2013·山东节选]如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F 分别 为 PB,AB 的中点.求证:CE∥平面 PAD.

B1C1 的中点,求证:平面 A1BD1∥平面 AC1D.

[奇思妙想] 本题已知不变,求证:AC1∥平面 A1BD1,该如何证明? 判定面面平行的方法 (1)利用定义:即证两个平面没有公共点(不常用). (2)利用面面平行的判定定理(主要方法). (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用). (4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(客观题可用).
3


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