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新课标高中数学人教A版必修4章节素质测试题——第一章 三角函数


新课标高中数学人教 A 版必修 4 章节素质测试题——第一章 三角函数
(考试时间:120 分钟 满分:150 分)姓名__________评价_________ 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 以下给出的四个备选答案中,只有一个正确) 1.(07 北京文 1)已知 cos? tan? ? 0 ,那么角 ? 是( ) A.第一或第二象限

角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 2.(07 浙江文 2)已知 cos(

?
2

? ?) ?
3 3

3 ? ,且 | ? | < ,则 tan ? ? ( 2 2
C. ?



A. ?

3 3

B.

3

D.

3

3.(07 天津文 9)设函数 f ( x) ? sin ? x ?

? ?

?? ? ( x ? R ) ,则 f ( x) ( 3?
B.在区间 ? ??, ?



A.在区间 ?

? 2? 7 ? ? , 上是增函数 ?3 6 ? ?

? ?

?? 上是减函数 2? ?

C.在区间 ? , ? 上是增函数 8 4 4.(08 山东理 3)函数 y ? ln cos x(?

?? ?? ? ?

D.在区间 ? , ? 上是减函数 3 6

? ? 5? ? ? ?


?
2

?x?

?
2

) 的图象是(

5.(09 天津文 7)已知函数 f ( x) ? sin(?x ?

?
4

)( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,将 y ? f (x) 的图
) D.

像向左平移 | ? | 个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的一个值是( A.

? 2

B.

3? 8

C.

6.(12 新课标文 9)已知 ? ? 0,? ? ? ? ,直线 x ? 0 的两条相邻的对称轴,则 ? ? ( A. )

?
4

? 4
和x ?

5? 是函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) 图像 4
D.

? 8

? 4

B.

? 3

C.

? 2

7.(10 四川文 7)将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动

? 个单位长度,再把所得各点的 10


3? 4

横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是(

1

A. y ? sin(2 x ?

?
10

)

B. y ? sin(2 x ?

?
5

)

C. y ? sin( x ?

1 2

?
10

)

D. y ? sin( x ? )

1 2

?
20

)

8.(12 辽宁理 7)已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ? (0,π),则 tan ? =(

A.

?1

B. ?

2 2

C.

2 2

D.1

9.(07广东文9)已知简谐运动 f ( x) ? 2sin( 最小正周期 T 和初相 ? 分别为( A. T ? 6, ? ? )

?
3

x ? ? )( ? ?

?
2

) 的图象经过点(0,1),则该简谐运动的

?
6

B. T ? 6, ? ?

?
3

C. T ? 6? , ? ?

?
6

D. T ? 6? , ? ?

?
3

10. (08 浙江理 5) 在同一平面直角坐标系中, 函数 y ? cos( ? 的交点个数是( A.0 ) B.1 C. 2

x 2

3? 1 ), ? [0,2? ]) 的图象和直线 y ? (x 2 2
D. 4

11.(11 天津文 7)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ), x ? R ,其中 ? ? 0, ?? ? ? ? ? , 若f ( x) 的最小 正周期为 6? ,且当 x ?

?
2

时, f ( x) 取得最大值,则(



A. f ( x) 在区间 [?2? , 0] 上是增函数 C. f ( x) 在区间 [3? ,5? ] 上是减函数

B. f ( x) 在区间 [?3? , ?? ] 上是增函数 D. f ( x) 在区间 [4? , 6? ] 上是减函数

12.(11 辽宁文 12)已知函数 f (x) =Atan( ? x+ ? ) ? ? 0, | ? |? ( y= f (x) 的部分图像如下图,则 f ( A.2 + 3

?
2

) , y 1 O
π 3π . . 8 8

?
24

)?(



B. 3 D. 2 ? 3

x

C.

3 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在对应题号后的横线上) 13.(11 重庆文 12)若 cos a ? ? ,且 a ? (? , 14.(11 全国Ⅰ文 14)已知 ? ? (? ,

3 5

3? ) , tan ? ? 2, 则 cos ? = 2

3? ) ,则 tan a ? 2
.

.

15. 08 四川延考区理 15) ( 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? 单调减少,则 ? ? .

?

6

) (? ? 0) 在 (0,

4? 4? 在 ) 单调增加, ( , 2? ) 3 3
(写

16. 07 安徽文 15) ( 函数 f ( x) ? 3 sin(2 x ? 出所有正确结论的编号).

?
3

如下结论中正确的是 ) 的图象为 C,

2

①图象 C 关于直线 x ? ②图象 C 关于点 (

2? ,0) 对称; 3 ? 5? ③函数 f ( x)在区间(? , )内是增函数; 12 12 ? ④由 y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C. 3
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分)设 y ? A sin(?x ? ? ) ? k (A>0,

11 ? 对称; 12

? >0, | ? |< ? )是某港口水的深度 y(m)

与时间 x(h)的函数, 其中 0 ? x ? 24 . 下表是该港口某一天从 0 到 24 时记录的时间 x(h)与水深 y(m)的关系: x y 0 10.5 1 12 4 15 7 12 10 9 y 15 12 10.5 9 13 12 16 15 19 12 22 9 24 10.5

(Ⅰ)求 y 与 x 之间的函数关系式; (Ⅱ)求这一天 18 时时该港口的水深.

O1

4

7

10 13 16

19 22 24

x

18.(本题满分 12 分,05 全国Ⅰ文 17)设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的 一条对称轴是直线 x ? (Ⅰ)求 ? ;

?
8

.

y

(Ⅱ)求函数 y ? f (x) 的单调增区间; (Ⅲ)画出函数 y ? f (x) 在区间 [0, ? ] 上的图像.

O

x

3

19.(本题满分 12 分,12 陕西文 17)函数 f ( x) ? A sin(? x ? 其图像相邻两条对称轴之间的距离为 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式;

?
6

) ? 1( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3,

? . 2

(Ⅱ)设 ? ? (0,

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值. 2 2

?

20.(本题满分 12 分,10 广东文 16)设函数 f ( x) ? 3 sin(?x ? 最小正周期. (Ⅰ)求 f (0) ; (Ⅱ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅲ)已知 f (

?
6

且以 ),? ? 0, x ? (??,??),

? 为 2

?
4

?

?
12

)?

9 ,求 sin ? . 5

4

21.(本题满分 12 分,09 陕西文 17)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中

A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

)的周期为 ? ,且图象上一个最低点为 M ( (Ⅱ)当 x ? [0,

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;

?
12

2? , ?2) . 3

] ,求 f ( x) 的最值.

22. (本题满分 12 分,07 江西文 18)如图,函数 y ? 2cos(? x ? ? )( x ? R,? > 0,≤? ≤ ) 的 0 图象与 y 轴相交于点 (0,3) ,且该函数的最小正周期为 ? . (Ⅰ)求 ? 和 ? 的值; (Ⅱ)已知点 A ? ,? ,点 P 是该函数图象上一点,点 Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点,当 y0 ? 0

π 2

?π ?2

? ?

3 , 2

?π ? x0 ? ? ,π ? 时,求 x0 的值. ?2 ?

y

3

P

O

A

x

5

新课标高中数学人教 A 版必修 4 章节素质检测题——第一章 三角函数(参考答案)
一、选择题答题卡: 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 A 5 D 6 A 7 C 8 A 9 A 10 C 11 A 12 B

二、填空题 13

4 . 3

14. ?

5 , 5

15.

1 . 16. 2
w

①②③ .

三、解答题 17. 解: (Ⅰ)根据题意, A ? 15 ? 12 ? 3,k ? 12,T ? 16 ? 4 ? 12,

?

2?

?

? 12 . 解得 ? ?

?
6

.

? y ? 3 sin( x ? ? ) ? 12. 6

?

由 f max ( x) ? f (4) ? 15 得 sin(

?
6

? 4 ? ?) ? 1,

?

2? ? ? ? ? ? ? k? , k ? Z . 从而 ? ? ? ? k? , k ? Z . 6 3 2

?| ? |? ? ,?? ? ?

?

6

.

故所求的函数关系式为 y ? 3 sin(

?
6

x?

?
6

) ? 12. 其中 x ? [0,24].

(Ⅱ) x ? 18 时, y ? 3 sin( ? 18 ?

?

?
6

6

) ? 12

? 3 sin(3? ? ? 3 sin(? ? ? 3 sin

?
6

) ? 12

?
6

) ? 12

?
6

? 12

1 ? 13 . 2
答:这天 18 时时该港口的水深为 13.5m. 18. 解: (Ⅰ)根据题意得 f ( ) ? 1 ,或f ( ) ? ?1 ,? sin(

?

?

?

?

?
4

?? ?

?
2

8

? k?,k ? Z . 即 ? ? 3? . 4

?
4

8

? ? ) ? 1,或 sin( ? ? ) ? ?1. 4 4

?

? k?,k ? Z .

? ?? ? ? ? 0, ? ? ? ?

6

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? sin(2 x ? 由?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

3? ? ? 5? ? ? 2k? , k ? Z 解得 ? k? ? x ? ? k?,k ? Z . 4 2 8 8
5? ?? ? ? k? , ? k? ?,k ? Z . 8 ?8 ?

3? ). 4

所以函数 y ? f (x) 的单调增区间为 ? (Ⅲ)列表:

x
2x ? 3? 4

0

?

y ? sin(2 x ?

3? ) 4

3? 4
2 2

? 8
?

3? 8

? 2

0 0

5? 8 ? 2
1

7? 8

?
5? 4
? 2 2

?
0

?

?1

图略

y

O

x

19. 解: (Ⅰ)根据题意得 A ? 2, ?

T 2

?
2

, T ? ?.即 ?
) ? 1.

2?

?

? ?, ? ? 2. ?

所求的函数解析式为 f ( x) ? 2 sin(2 x ? (Ⅱ) f ( ) ? 2 sin(? ?

?
6

?

?
6

?? ?
即? ?

?
6

2

) ? 1 ? 2 ,即 sin(? ?

?

?

?
6

? 2k?,或? ?

?
6

?

?
3

5? ? 2k? .其中k ? Z . 6

1 )? . 6 2

? 2k?,或? ? ? ? 2k? .其中k ? Z .

? ? ? (0, ), ? ? . ? 2 3
20. 解: (Ⅰ) f (0) ? 3 sin (Ⅱ)根据题意得 T ?

?

?

?
?

2?

3 ? . 6 2

?

?

2

,?? ? 4.

所以 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 3 sin(4 x ? (Ⅲ) f (

?
6

).

?
4

?

?
12

) ? 3 sin[4(

?
4

?

?
12

)?

?

6

]?

9 , 5

7

3 3 ,也就是 cos? ? . 2 5 5 4 ? sin ? ? ? 1 ? cos2 ? ? ? . 5 2? 21.解: (Ⅰ)由最低点为 M ( , ?2)得A ? 2 . 3 2? 2? 由 T ? ? 得? ? ? ?2. T ? 2? 4? 4? 由点 M ( , ?2) 在图像上得 2sin( ? ? ) ? ?2 即 sin( ? ? ) ? ?1 . 3 3 3 4? ? 11? ? ? ? ? 2k? ? 即? ? 2k? ? ,k ? Z , 3 2 6
即 sin(? ?

?

)?

又 ? ? (0,

?

2

) ,?? ?

?

? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) . 6
(Ⅱ)? x ? ?0,

?

6

.

? ? ? ? ? ?? ?,即0 ? x ? 12 ,? 6 ? 2 x ? 6 ? 3 . ? 12 ?

?当2x+ 当2x+

?
6 ?

?

?
6

,即x ? 0时,f ( x)取得最小值1;

?
6

?
3

,即x ?

?
12

时,f ( x)取得最大值 3 .
3 代入函数 y ? 2cos(? x ? ? ) 中得 cos ? ?

22. 解: (Ⅰ)将 x ? 0 , y ? 因为 0 ≤ ? ≤

3 , 2
y

π π ,所以 ? ? . 6 2 2π 2π ? ? 2. T π
3 . 2

由已知 T ? π ,且 ? ? 0 ,得 ? ?

3

P

(Ⅱ)因为点 A ? ,? , Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, y0 ? 0

?π ?2

? ?

O

A

x

所以点 P 的坐标为 ? 2 x0 ?

? ?

π ? ,3 ? . 2 ?
5π ? 3 π? π ? , ? 的图象上,且 ≤ x0 ≤ π ,所以 cos ? 4 x0 ? ? ? 6 ? 2 6? 2 ?

又因为点 P 在 y ? 2 cos ? 2 x ?

? ?

7π 5π 19π 5π 11π 5π 13π ,从而得 4 x0 ? 或 4 x0 ? , ≤ 4 x0 ? ≤ ? ? 6 6 6 6 6 6 6 2π 3π 即 x0 ? 或 x0 ? . 3 4

8


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