2016届安徽省蚌埠市高考数学二模试卷(理科)解析版

2016 年安徽省蚌埠市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的一项。 1． （5 分） （2016?蚌埠二模） 已知集合 M={x| A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} ＞0}， N={1， 2， 3， 4}， 则?RM∩N= （ ）

C．{

1} D．? 的共轭复数是（ ）

2． （5 分） （2016?蚌埠二模）i 为虚数单位，则复数 A．﹣1+2i B．1﹣2i C．﹣2+i D．2﹣i

3． （5 分） （2016?蚌埠二模）已知随机变量 ξ 服从正态分布 N（1，δ ） ，P（ξ≤﹣1）=0.012， 则 P（1＜ξ＜3）=（ ） A．0.488B．0.494 C．0.502 D．0.512

2

4． （5 分） （2016?蚌埠二模）若 x，y 满足

，则 z=5x﹣3y+1 的最小值为（

）

A．﹣2 B．0

C．1

D．3 ﹣ ） 展开式中含有 x 项，则 n 可能的取值是
n

5． （5 分） （2016?蚌埠二模）二项式（ （ ） A．10 B．9

C．8

D．7

6． （5 分） （2016?蚌埠二模） 已知平面向量 ， ， 均为非零向量， 则 ∥ 是 （ ? ） ? = ? （ ? ）成立的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7． （5 分） （2016?蚌埠二模）已知数列{sinan}是公比为﹣1 的等比数列，若数列{an}是等差 数列，则其公差可能是（ ） A．﹣ B．﹣ C．π D．2π ）

8． （5 分） （2016?蚌埠二模）执行如图的程序框图，若输入 k=63，则输出的 n=（

A．4

B．5

C．6

D．7
2

9． （5 分） （2016?蚌埠二模）已知抛物线 C：y =4x 的焦点为 F，直线 AB 过 F 点与抛物线 C 交抛物线于 A、B 两点，且 AB=6，若 AB 的垂直平分线交 x 轴于 P 点，则|OP|=（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 10． （5 分） （2016?蚌埠二模）已知函数 f（x）=Acos（ωx+φ） （A，ω，φ 均为正常数）的 最小正周期为 π，当 x= 时，函数 f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（ ）

A．f（1）＜f（﹣1）＜f（0） B．f（0）＜f（1）＜f（﹣1） C．f（﹣1）＜f（0）＜f（1） D．f（1）＜f（0）＜f（﹣1） 11． （5 分） （2016?蚌埠二模）如图所示，网格线上正方形的边长为 1，粗实线和粗虚线给出 的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A．

B．6

C．

D．7
3 3

12． （5 分） （2016?蚌埠二模）已知函数 f（x）=lnx﹣x 与 g（x）=x ﹣ax 的图象上存在关 于 x 轴的对称点，则 a 的取值范围为（ ） A． （﹣∞，e） B． （﹣∞，e]C． （﹣∞， ） D． （﹣∞， ]

二、填空题： （本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）

13． （5 分） （2012?上海）若 f（x）=

为奇函数，则实数 m=

．

14． （5 分） （2016?蚌埠二模）已知点 P 和点 Q 的纵坐标相同，P 的横坐标是 Q 的横坐标的 3 倍，P 和 Q 的轨迹分别为双曲线 C1 和 C2，若 C1 的渐近线方程为 y=± x，则 C2 的渐近 线方程为 ． * 15． （5 分） （2016?蚌埠二模）已知数列{an}满足 a1=1，an+1=1+an， （n∈N ） ，A=﹣a1a2+a2a3 ﹣a3a4+a4a5﹣…+a2na2n+1，则 A= ． 16． （5 分） （2016?蚌埠二模）将 8 个珠子（4 个黑珠子和 4 个白珠子）排成一行，从左边第 一小珠开始向右数珠子，无论数几个珠子，黑珠子的个数总不少于白珠子个数的概率 为 ． 三、简答题(本大题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17． （12 分） （2016?蚌埠二模）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a= c，且 A=C+

（Ⅰ）求 cosC 的值； （Ⅱ）当 b=1 时，求边 c 的值． 18． （12 分） （2016?蚌埠二模）我国延迟退休年龄将借鉴国外经验，拟对不同群体采取差别 措施， 并以“小步慢走”的方式实施． 现对某市工薪阶层关于“延迟退休年龄”的态度进行调查， 随机抽取了 50 人，他们月收入的频数分布及对“延迟退休年龄”反对的人数如下表． 月收入 [1500， [2500， [3500， [4500， [5500， [6500， （元） 2500） 3500） 4500） 5500） 6500） 7500） 5 10 14 11 6 4 频数 4 8 11 6 2 1 反对人数 （Ⅰ）由以上统计数据估算月收入高于 5500 的调查对象中，持反对态度的概率； （Ⅱ）若对月收入在[1500，2500） ，[2500，3500）的被调查对象中各随机选取两人进行跟 踪调查，记选中的 4 人中赞成“延迟退休年龄”的人数为 ξ，求随机变量 ξ 的分布列和数学期 望． 19． （12 分） （2016?蚌埠二模）如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABEF 是平行四边形， DF∥BC，BC=BF=2DF=2 ，∠BAC=90°，AB=AC，点 E 在底面 ABC 的射影为 BC 的中 点 O． （Ⅰ）求证：ED⊥平面 EBC； （Ⅱ）求二面角 E﹣BD﹣F 的平面角的余弦值．

20． （12 分） （2016?蚌埠二模）如图，椭圆 E：

=1（a＞b＞0）的右焦点为 F（c，0） ，

菱形 ABCD 的各顶点在椭圆 E 上，且直线 AB 经过点 F． （I）若直线 AB 方程为 x﹣y﹣ =0，求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）求椭圆 E 的离心率的取值范围．

21． （12 分） （2016?蚌埠二模）设函数 f（x）=x +3x+3﹣a?e （a 为非零常数） ． （1）求 g（x）= 的单调区间；

2

x

（2）若 f（x）有且仅有一个零点，求 a 的取值范围； （3）若存在 b，c∈R，且 b≠c，使 f（b）=f（c） ，试判断 a?f′（ ）的符号．

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-1： 几何证明选讲] 22． （10 分） （2016?蚌埠二模）如图所示，两个圆相内切于点 T，公切线为 TN，外圆的弦 TC，TD 分别交内圆于 A、B 两点，并且外圆的弦 CD 恰切内圆于点 M． （Ⅰ）证明：AB∥CD； （Ⅱ）证明：AC?MD=BD?CM．

[选修 4-4：坐标系与参数方程]． 23． （2016?蚌埠二模）已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原 点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是 （t 是参数） ．

（1）若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且|AB|=2 ，试求实数 m 的值； （2）设 M（x，y）为曲线上任意一点，求 x+2y﹣2 的取值范围． [选修 4-5：不等式选讲] 24． （2016?蚌埠二模）设函数 f（x）=|2x﹣1|，x∈R． （1）求不等式|f（x）﹣2|≤7 的解集； （2）若 g（x）= 的定义域为 R，求实数 m 的取值范围．

2016 年安徽省蚌埠市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的一项。 1． （5 分） （2016?蚌埠二模） 已知集合 M={x| ＞0}， N={1， 2， 3， 4}， 则?RM∩N= （ ）

A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{1} D．? 【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可． 【解答】解：M={x| ＞0}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，

?RM={x|x≥2}， 则?RM∩N={2，3，4}， 故选：B． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

2． （5 分） （2016?蚌埠二模）i 为虚数单位，则复数 A．﹣1+2i B．1﹣2i C．﹣2+i D．2﹣i

的共轭复数是（

）

【分析】先化简复数 z，再求 z 的共轭复数 ． 【解答】解：复数 z= = =﹣2﹣i，

∴复数 z 的共轭复数是 =﹣2+i． 故选：C． 【点评】本题考查了复数的化简与共轭复数的应用问题，是基础题目． 3． （5 分） （2016?蚌埠二模）已知随机变量 ξ 服从正态分布 N（1，δ ） ，P（ξ≤﹣1）=0.012， 则 P（1＜ξ＜3）=（ ） A．0.488B．0.494 C．0.502 D．0.512 【分析】 根据随机变量 ξ 服从正态分布， 知正态曲线的对称轴是 x=1， 且P （ξ≤﹣1） =0.012， 依据正态分布对称性，即可求得答案． 2 【解答】解：随机变量 ξ 服从正态分布 N（1，? ） ， ∴曲线关于 x=1 对称， ∵P（ξ≤﹣1）=0.012， ∴P（ξ＞3）=0.012， ∴P（﹣1≤ξ≤3）=1﹣2P（ξ＞3）=1﹣0.024=0.976， ∴P（1＜ξ＜3）= （P（﹣1≤ξ≤3）= ×0.976=0.488 故选：A． 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础 题．
2

4． （5 分） （2016?蚌埠二模）若 x，y 满足

，则 z=5x﹣3y+1 的最小值为（

）

A．﹣2 B．0 C．1 D．3 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=5x﹣3y+1 得 y= x+ 平移直线 y= x+ ， 经过点 A（0，1）时，直线的截距最大， ，

由图象可知当直线 y= x+ 此时 z 最小， 此时 z=﹣3+1=﹣2， 故选：A．

【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及利用线性规划的应用，综合性较强，考查学生 解决问题的能力． 5． （5 分） （2016?蚌埠二模）二项式（ ﹣ ） 展开式中含有 x 项，则 n 可能的取值是
n

（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 【分析】先利用二项展开式的通项公式，整理后让 x 的指数等于 1，求出 r 和 n 的关系，再 把答案代入验证即可． 【解答】解：因为二项式（ ﹣ ） 展开式的通项公式为：
n

Tr+1=Cn ? 令﹣2n+

r

? =1，得 5r=4n+2，

=（﹣1） ?Cn ?

r

r

，

即 r=

；

即 4n+2 是 5 的倍数， 所以满足条件的数在答案中只有 7． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二项式定理的应用问题，解题的关键是利用通项公式求出含 x 项， 从而得出 r 和 n 的关系，是基础题目．

6． （5 分） （2016?蚌埠二模） 已知平面向量 ， ， 均为非零向量， 则 ∥ 是 （ ? ） ? = ? （ ? ）成立的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据向量共线定理结合充分必要条件判断即可． 【解答】解：已知平面向量 ， ， 均为非零向量， 则 ∥ ，则 ? ≠0，∴ = ? ，即（ ? ）? = ?（ ? ） ，是充分条件，

若（ ? ）? = ?（ ? ） ， ， ， 均为非零向量，则 ? ≠0， ∴ = ? ，∴ ∥ ，是必要条件，

故选：C． 【点评】本题考查了充分必要条件，考查共线向量问题，是一道基础题． 7． （5 分） （2016?蚌埠二模）已知数列{sinan}是公比为﹣1 的等比数列，若数列{an}是等差 数列，则其公差可能是（ ） A．﹣ B．﹣ C．π D．2π

【分析】由等比数列和等差数列的性质，结合已知条件推导出 sin（an+d）=﹣sinan，由此能 求出公差 d 可能是 π． 【解答】解：∵数列{sinan}是公比为﹣1 的等比数列， ∴ =﹣1，

∵数列{an}是等差数列， ∴ =﹣1，

∴sin（an+d）=﹣sinan， ∴公差 d 可能是 π．

故选：C． 【点评】本题考查等差数列的一个公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数 列的性质的合理运用． 8． （5 分） （2016?蚌埠二模）执行如图的程序框图，若输入 k=63，则输出的 n=（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 m，n，p 的值，当 p=63 时满足条件 p≥ 63，退出循环，输出 n 的值为 6． 【解答】解：模拟执行程序，可得 k=63，m=1，n=1，p=1 m=2，n=2，p=3 不满足条件 p≥63，m=4，n=3，p=7 不满足条件 p≥63，m=8，n=4，p=15 不满足条件 p≥63，m=16，n=5，p=31 不满足条件 p≥63，m=32，n=6，p=63 满足条件 p≥63，退出循环，输出 n 的值为 6． 故选：C． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循 环的办法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题． 9． （5 分） （2016?蚌埠二模）已知抛物线 C：y =4x 的焦点为 F，直线 AB 过 F 点与抛物线 C 交抛物线于 A、B 两点，且 AB=6，若 AB 的垂直平分线交 x 轴于 P 点，则|OP|=（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】先根据抛物线方程求出 p 的值，再由抛物线的性质求出 AB 的垂直平分线方程，可 得到答案．
2

【解答】解：∵抛物线 y =4x，∴p=2， 设经过点 F 的直线 y=k（x﹣1）与抛物线相交于 A、B 两点，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 2 2 2 2 2 直线 y=k（x﹣1）代入 y =4x，整理可得 k x ﹣（2k +4）x+k =0， ∴x1+x2=2+ 利用抛物线定义，AB 中点横坐标为 x1+x2=|AB|﹣p=6﹣2=4．AB 中点横坐标为 2 ∴2+ =4，∴k=±

2

AB 中点纵坐标为 k，AB 的垂直平分线方程为 y﹣k=﹣ （x﹣2） ， 令 y=0，可得 x=4， ∴|OP|=4． 故选：B． 【点评】本题主要考查了抛物线的性质．属中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等 价转化思想的合理运用，确定 AB 的垂直平分线方程是关键． 10． （5 分） （2016?蚌埠二模）已知函数 f（x）=Acos（ωx+φ） （A，ω，φ 均为正常数）的 最小正周期为 π，当 x= 时，函数 f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（ ）

A．f（1）＜f（﹣1）＜f（0） B．f（0）＜f（1）＜f（﹣1） C．f（﹣1）＜f（0）＜f（1） D．f（1）＜f（0）＜f（﹣1） 【分析】由题意和函数的周期性可得 ω，再由最值可得 φ 值，由函数的图象和单调性以及 诱导公式可得大小关系． 【解答】解：∵函数 f（x）=Acos（ωx+φ） （A，ω，φ 均为正常数）的最小正周期为 π， ∴ =π，解得 ω=2，故 f（x）=Acos（2x+φ） ， 时，函数 f（x）取得最小值， ，k∈Z， ） ，

又∵当 x= ∴2?

+φ=kπ，解得 φ=kπ﹣

由题意当 k=1 时 φ= 故 f（0）=Acos =Acos（﹣2﹣ 由﹣π＜﹣2﹣

，故 f（x）=Acos（2x+ ） ） ，

，f（1）=Acos（2+

） ，f（﹣1）=Acos（﹣2+ ＜﹣2+

＜0 和函数 y=cosx 在（﹣π，0）

单调递增可得 f（1）＜f（﹣1）＜f（0） ， 故选：A． 【点评】本题考查余弦函数的图象和单调性，涉及诱导公式的应用和函数图象的对称性，属 中档题．

11． （5 分） （2016?蚌埠二模）如图所示，网格线上正方形的边长为 1，粗实线和粗虚线给出 的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A．

B．6

C．

D．7

【分析】根据三视图可知几何体是一个棱长为 2 的正方体，分别在 A、B、C、D 四个角上 截取一个直三棱柱，底面是直角边分别是 1、1 的等腰直角三角形，且高为 1． 【解答】解：根据三视图可知几何体是一个棱长为 2 的正方体， 分别在 A、B、C、D 四个角上截取一个直三棱柱，底面是直角边分别是 1、1 的等腰直角三 角形，且高为 1， 所以几何体的体积 V=2×2×2﹣4× =6， 故选：B．

【点评】本题考查了三视图的有关计算、三棱柱与正方体的体积计算公式，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题． 12． （5 分） （2016?蚌埠二模）已知函数 f（x）=lnx﹣x 与 g（x）=x ﹣ax 的图象上存在关 于 x 轴的对称点，则 a 的取值范围为（ ） A． （﹣∞，e） B． （﹣∞，e]C． （﹣∞， ） D． （﹣∞， ]
3 3

【分析】由题意可知 f（x）=﹣g（x）有解，即 y=lnx 与 y=ax 有交点，根据导数的几何意义， 求出切点，结合图象，可知 a 的范围． 3 3 【解答】解：函数 f（x）=lnx﹣x 与 g（x）=x ﹣ax 的图象上存在关于 x 轴的对称点， ∴f（x）=﹣g（x）有解，

∴lnx﹣x =﹣x +ax， ∴lnx=ax，在（0，+∞）有解， 分别设 y=lnx，y=ax， 若 y=ax 为 y=lnx 的切线， ∴y′= ， 设切点为（x0，y0） ， ∴a= ，ax0=lnx0，

3

3

∴x0=e， ∴a= ， 结合图象可知，a≤ 故选：D．

【点评】本题导数的几何意义，以及函数值的问题，关键是转化为 y=lnx 与 y=ax 有交点， 属于中档题． 二、填空题： （本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13． （5 分） （2012?上海）若 f（x）= 【分析】由 f（x）= 【解答】解：∵f（x）= 为奇函数，则实数 m= ﹣2 ．

为奇函数，可得 f（﹣1）=﹣f（1） ，代入可求 为奇函数，

∴f（﹣1）=﹣f（1） 即 m﹣1=3（1+m） ∴m=﹣2 故答案为：﹣2 【点评】本题主要考查了奇函数的性质的简单应用，属于基础试题

14． （5 分） （2016?蚌埠二模）已知点 P 和点 Q 的纵坐标相同，P 的横坐标是 Q 的横坐标的 3 倍，P 和 Q 的轨迹分别为双曲线 C1 和 C2，若 C1 的渐近线方程为 y=± 线方程为 y=± x ．
2 2

x，则 C2 的渐近

【分析】设 C1 的方程为 y ﹣3x =λ，利用坐标间的关系，求出 Q 的轨迹方程，即可求出 C2 的渐近线方程． 【解答】解：∵若 C1 的渐近线方程为 y=± 2 2 ∴设 C1 的方程为 y ﹣3x =λ， 设 Q（x，y） ，则 P（x′，y′） ， 则 ， x，

则 x= x′，即 Q（ x′，y′） ， 代入 y ﹣3x =λ，可得 y ﹣3× x =λ， 即 y ﹣ x =λ， 由 y ﹣ x =λ=0 得 y = x ，即 y=± ∴C2 的渐近线方程为 y=± 故答案为：y=± x x．
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x

【点评】 本题主要考查双曲线渐近线方程的计算， 根据坐标关系求出对应的轨迹方程是解决 本题的关键． 15． （5 分） （2016?蚌埠二模）已知数列{an}满足 a1=1，an+1=1+an， （n∈N ） ，A=﹣a1a2+a2a3 ﹣a3a4+a4a5﹣…+a2na2n+1，则 A= 2n（n+1） ． 【分析】可判断数列{an}是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，从而可得 an=n，进而可得﹣ a2n﹣1a2n+a2na2n+1=4n，从而求和即可． 【解答】解：∵a1=1，an+1=1+an， ∴数列{an}是以 1 为首项，1 为公差的等差数列， ∴an=n， ∴﹣a2n﹣1a2n+a2na2n+1=a2n（a2n+1﹣a2n﹣1）=2n（2n+1﹣（2n﹣1） ）=4n， ∴A=﹣a1a2+a2a3﹣a3a4+a4a5﹣…+a2na2n+1 =（﹣a1a2+a2a3）+（﹣a3a4+a4a5）+…+（﹣a2n﹣1a2n+a2na2n+1） =4+8+…+4n= =2n（n+1） ，
*

故答案为：2n（n+1） ． 【点评】 本题考查了等差数列的性质的判断与应用， 同时考查了并项求和法的应用及转化思 想的应用．

16． （5 分） （2016?蚌埠二模）将 8 个珠子（4 个黑珠子和 4 个白珠子）排成一行，从左边第 一小珠开始向右数珠子，无论数几个珠子，黑珠子的个数总不少于白珠子个数的概率为 ． 【分析】将 8 个珠子（4 个黑珠子和 4 个白珠子）排成一行，先求出基本事件总数，再由求 出，由此能求出无论数几个珠子，黑珠子的个数总不少于白珠子个数包含的基本事件个数， 由此能求出无论数几个珠子，黑珠子的个数总不少于白珠子个数的概率． 【解答】解：将 8 个珠子（4 个黑珠子和 4 个白珠子）排成一行， 基本事件总数为 n= ，

∵从左边第一小珠开始向右数珠子，无论数几个珠子，黑珠子的个数总不少于白珠子个数， ∴8 个球的排列顺序有： （1）黑白黑白黑白黑白； （2）黑黑白白黑黑白白； （3）黑黑黑白白 白黑白； （4）黑黑黑黑白白白白； （5）黑白黑黑白白黑白； （6）黑黑白白黑白黑白； （7）黑白黑白 黑黑白白； （8）黑白黑黑黑白白白； （9）黑黑白黑白黑白白； （10）黑黑黑白白黑白白； （11）黑黑白 黑黑白白白； （12）黑黑黑白黑白白白； （13）黑白黑黑白黑白白； （14）黑黑白黑白白黑白． ∴无论数几个珠子，黑珠子的个数总不少于白珠子个数的概率： p = ．

故答案为： ． 【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运 用． 三、简答题(本大题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17． （12 分） （2016?蚌埠二模）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a= c，且 A=C+

（Ⅰ）求 cosC 的值； （Ⅱ）当 b=1 时，求边 c 的值． 【分析】 （I）由 A=C+ sinA= ，可得 sinA=sin =cosC，由 a= c，利用正弦定理可得

sinC，化简即可得出． ，sinC= ．利用 A=C+ ． =cosC， ．可得 sinA=cosC，cosA．可得

（II）由（I）可得：cosC=

sinB=sin（A+C） ，再利用正弦定理可得 【解答】解： （I）∵A=C+ 由 a= c，∴sinA= ∴ sinC=cosC， ，∴sinA=sin

sinC，

∴tanC= ∴cosC=

，∴C 为锐角． = ． ，sinC= ．

（II）由（I）可得：cosC= ∵A=C+ ． ，cosA=﹣

∴sinA=cosC=

．

∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC = ∴ ﹣ ， = ．

可得 c=

=

=

．

【点评】本题考查了正弦定理、诱导公式、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题． 18． （12 分） （2016?蚌埠二模）我国延迟退休年龄将借鉴国外经验，拟对不同群体采取差别 措施， 并以“小步慢走”的方式实施． 现对某市工薪阶层关于“延迟退休年龄”的态度进行调查， 随机抽取了 50 人，他们月收入的频数分布及对“延迟退休年龄”反对的人数如下表． 月收入 [1500， [2500， [3500， [4500， [5500， [6500， （元） 2500） 3500） 4500） 5500） 6500） 7500） 5 10 14 11 6 4 频数 4 8 11 6 2 1 反对人数 （Ⅰ）由以上统计数据估算月收入高于 5500 的调查对象中，持反对态度的概率； （Ⅱ）若对月收入在[1500，2500） ，[2500，3500）的被调查对象中各随机选取两人进行跟 踪调查，记选中的 4 人中赞成“延迟退休年龄”的人数为 ξ，求随机变量 ξ 的分布列和数学期 望． 【分析】 （1）月收入高于 5500 的人数有 10 人，其中持反对态度的人数有 3 人，由此能估算 月收入高于 4000 的调查对象中，持反对态度的概率． （2）由已知 ξ 的可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 ξ 的分布列和 Eξ． 【解答】解： （1）根据题意，由于对某市工薪阶层关于“延迟退休年龄”的态度进行调查，随 机抽取了 50 人， 他们月收入的频数分布可知月收入高于 5500 的人数有 6+4=10 人， 其中持反对态度的人数有 2+1=3 人， ∴估算月收入高于 4000 的调查对象中，持反对态度的概率 p= ．

（2）根据题意，由于对月收入在[1500，2500） ，[2500，3500）的被调查对象中各随机选取 两人进行跟踪调查， 可知 ξ 的可能取值为 0，1，2，3， P（ξ=0）= = ，

P（ξ=1）=

+

=

，

P（ξ=2）=

+

=

P（ξ=3）= ∴ξ 的分布列为： ξ 0 P Eξ= +

=

，

1

2

3

+

=0.8．

【点评】 本题考查概率的求法， 考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法， 是中档题， 解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用． 19． （12 分） （2016?蚌埠二模）如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABEF 是平行四边形， DF∥BC，BC=BF=2DF=2 ，∠BAC=90°，AB=AC，点 E 在底面 ABC 的射影为 BC 的中 点 O． （Ⅰ）求证：ED⊥平面 EBC； （Ⅱ）求二面角 E﹣BD﹣F 的平面角的余弦值．

【分析】 （Ⅰ）连结 EO，AO，DO，推导出四边形 BFDO 是平行四边形，四边形 AEDO 是 平行四边形，从而 DE AO，再推导出 AO⊥平面 EBC，由此能证明 ED⊥平面 EBC．

（Ⅱ）以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OE 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出二面角 E﹣BD﹣F 的平面角的余弦值． 【解答】证明： （Ⅰ）连结 EO，AO，DO， ∵多面体 ABCDEF 中，四边形 ABEF 是平行四边形，DF∥BC，BC=BF=2DF=2 ， ∠BAC=90°，AB=AC，点 E 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点 O， ∴EO⊥底面 ABC，AO⊥BC，OA=OB=OC=DF= ， AE=BF=2 ，OE= = = ，

∴OB

DF，∴四边形 BFDO 是平行四边形，∴OD∥BF∥AF，且 OD=BF=AE=2 AO，

，

∴四边形 AEDO 是平行四边形，∴DE

∵AO⊥BC，且 AO⊥EO，BC∩EO=O，∴AO⊥平面 EBC， ∴ED⊥平面 EBC． 解： （Ⅱ）以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OE 为 z 轴，建立空间直角坐标系， B（0， ，0） ，D（﹣ ，0， ） ，E（0，0， ） ，F（﹣ ， ， ） ， =（﹣ ，﹣ ， ） ， =（0，﹣ ， ） ， =（﹣ ，0， ） ，

设平面 BDE 的法向量 =（x，y，z） ， 则 ，取 y= ，得 =（0， ，1） ，

设平面 BDF 的法向量 =（a，b，c） ， 则 ，取 a= ，得 =（ ） ，

设二面角 E﹣BD﹣F 的平面角为 θ， 则 cosθ= = = ，

∴二面角 E﹣BD﹣F 的平面角的余弦值为 ．

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真 审题，注意向量法的合理运用．

20． （12 分） （2016?蚌埠二模）如图，椭圆 E：

=1（a＞b＞0）的右焦点为 F（c，0） ，

菱形 ABCD 的各顶点在椭圆 E 上，且直线 AB 经过点 F． （I）若直线 AB 方程为 x﹣y﹣ =0，求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）求椭圆 E 的离心率的取值范围．

【分析】 （I）由题意可得直线 x﹣y﹣ =0 过 F（1，0） ，设 A（m，n） ，B（s，t） ，由对 称性可得 C（﹣m，﹣n） ，D（﹣s，﹣t） ，由菱形的对角线垂直，可得 kAC?kBD=﹣1，将直 线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，结合直线的斜率公式，化简整理可得 a，b 的方程， 解方程可得 a，b，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设直线 AB 的方程为 y=k（x﹣c） ，设 A（m，n） ，B（s，t） ，由对称性可得 C（﹣m， ﹣n） ，D（﹣s，﹣t） ，由菱形的对角线垂直，可得 kAC?kBD=﹣1，将直线 AB 的方程代入椭 2 2 2 4 2 2 2 2 圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，可得 k （a c ﹣b ）=a b ，由 a c 4 2 2 2 ﹣b ＞0，即 ac＞b =a ﹣c ，结合离心率公式计算即可得到所求范围． 【解答】解： （I）由题意可得直线 x﹣y﹣ =0 过 F（1，0） ， 设 A（m，n） ，B（s，t） ，由对称性可得 C（﹣m，﹣n） ，D（﹣s，﹣t） ， 由菱形的对角线垂直，可得 kAC?kBD=﹣1， 将直线 y= （x﹣1） ，代入椭圆方程，可得 2 2 2 2 2 2 2 （b +2a ）x ﹣4a x+2a ﹣a b =0， m+s= ，ms= ，

由

=﹣1 即

=﹣1，

即为 3ms+2﹣2（m+s）=0， 即 3?
2 2

+2﹣2?
2 2

=0，

化为 2a +2b ﹣3a b =0， 2 2 又 a ﹣b =1， 2 2 解得 a =2，b =1， 即有椭圆的方程为 +y =1；
2

（Ⅱ）设直线 AB 的方程为 y=k（x﹣c） ， 设 A（m，n） ，B（s，t） ，由对称性可得 C（﹣m，﹣n） ，D（﹣s，﹣t） ， 由菱形的对角线垂直，可得 kAC?kBD=﹣1，

将直线 AB 的方程代入椭圆方程可得， （b +a k ）x ﹣2a k cx+a c k ﹣a b =0， 即有 m+s= ，ms= ，
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

即有

= ﹣1 即
2 2 2 2

=﹣1，

即有（1+k ）ms﹣k c（m+s）+k c =0， （1+k ）?
2 2 2 4 2

﹣k c?
2 2

2

+k c =0，

2 2

化简可得 k （a c ﹣b ）=a b ， 2 2 4 2 2 2 由 a c ﹣b ＞0，即 ac＞b =a ﹣c ， 由 e= ，可得 e +e﹣1＞0， 解得 e＞ ，或 e＜ （舍去） ， ，1） ．
2

则椭圆的离心率的范围是（

【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用对称性和联立直线方程与椭圆方程，由韦达 定理和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查椭圆的离心率的范围，注意运用联立直线 方程和椭圆方程，运用不等式的性质和解法，以及离心率公式，属于中档题． 21． （12 分） （2016?蚌埠二模）设函数 f（x）=x +3x+3﹣a?e （a 为非零常数） ． （1）求 g（x）= 的单调区间；
2 x

（2）若 f（x）有且仅有一个零点，求 a 的取值范围； （3）若存在 b，c∈R，且 b≠c，使 f（b）=f（c） ，试判断 a?f′（ ）的符号．

【分析】 （1）g（x）=

=

﹣a，g′（x）=

，令 g′（x）=0，解得 x=0，

或﹣1． 列出表格即可得出单调性与单调区间． （2）令 f（x）=0，可得：a= ，令 h（x）= ，由（1）可得：h（x）min=h

（﹣1）=e，h（x）max=h（0）=3，h（x）＞0．利用（1）画出函数 h（x）的图象，则 f（x） 有且仅有一个零点，转化为函数 h（x）与直线 y=a 有且仅有一个交点，即可得出 a 的取值 范围． （3）存在 b，c∈R，且 b≠c，使 f（b）=f（c） ，即函数 f（x）有且仅有两个零点，转化为 函数 h（x）与直线 y=a 有且仅有两个交点．不妨设 b＜c．

①a=e 时，b=﹣1，e=h（c）=
x

，可得 e

c+1

=c +3c+3，

2

=

，由图象

可得：0＜c＜1．f′（x）=2x+3﹣e?e ，代入 a?f′（
b

） ，即可判断出符号．

②a=3 时，c=0，3=h（b）= ∈ ，代入 a?f′（

，e = ）即可判断出符号．

，由图象可得：﹣2＜b＜﹣1，

【解答】解： （1）g（x）=

=

=

﹣a，

g′（x）=

=

，

令 g′（x）=0，解得 x=0，或﹣1． （﹣∞，﹣ x 0 ﹣1 （﹣1，0） （0，+∞） 1） 0 0 g′（x） ﹣ + ﹣ g（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由表格可知：函数 g（x）的单调递增区间为（﹣1，0） ；单调递减区间为（﹣∞，﹣1） ， （0， +∞） ． （2）令 f（x）=0，可得：a= ，

令 h（x）=

，h（x）min=h（﹣1）=e，h（x）max=h（0）=3，h（x）＞0．

利用（1）画出函数 h（x）的图象， 由 f（x）有且仅有一个零点，转化为函数 h（x）与直线 y=a 有且仅有一个交点． ∴当 a＞3 或 0＜a＜e 时，函数 h（x）与直线 y=a 有且仅有一个交点． 因此：当 a＞3 或 0＜a＜e 时，f（x）有且仅有一个零点． （3）存在 b，c∈R，且 b≠c，使 f（b）=f（c） ，即函数 f（x）有且仅有两个零点，转化为 函数 h（x）与直线 y=a 有且仅有两个交点． 不妨设 b＜c． ①a=e 时，b=﹣1，e=h（c）= ，∴e
c+1

=c +3c+3，

2

∴

=

，

由图象可得：0＜c＜1． x f′（x）=2x+3﹣e?e ，

a?f′（ ﹣

）=e（c﹣1+3﹣ ）＞0．

）=e（c+2﹣

）=e（c+2﹣

）=e（

②a=3 时，c=0，3=h（b）=

，e =

b

，

由图象可得：﹣2＜b＜﹣1. f′（x）=2x+3﹣e?e ， a?f′（ ）=3（9﹣
x

∈

，

）＞0． ）的符号为正“+”号．

综上可得：a?f′（

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、函数图象的交点与函数零点的关系， 考查了数形结合方法、分析推理转化解决问题能力与计算能力，属于难题． 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-1： 几何证明选讲] 22． （10 分） （2016?蚌埠二模）如图所示，两个圆相内切于点 T，公切线为 TN，外圆的弦 TC，TD 分别交内圆于 A、B 两点，并且外圆的弦 CD 恰切内圆于点 M． （Ⅰ）证明：AB∥CD； （Ⅱ）证明：AC?MD=BD?CM．

【分析】 （Ⅰ）证明∠TCD=∠TAB，即可证明 AB∥CD； （Ⅱ）证明：∠MTD=∠ATM，利用正弦定理证明 ，由 AB∥CD 知 ，即可

证明 AC?MD=BD?CM． 【解答】 （Ⅰ）由弦切角定理可知，∠NTB=∠TAB，…（3 分） 同理，∠NTB=∠TCD，所以，∠TCD=∠TAB， 所以，AB∥CD．…（5 分） （Ⅱ）连接 TM、AM， 因为 CD 是切内圆于点 M， 所以由弦切角定理知，∠CMA=∠ATM， 又由（Ⅰ）知 AB∥CD， 所以，∠CMA=∠MAB，又∠MTD=∠MAB， 所以∠MTD=∠ATM．…（8 分） 在△MTD 中，由正弦定理知， 在△MTC 中，由正弦定理知， 所以 所以 ，由 AB∥CD 知 ， ， ，因∠TMC=π﹣∠TMD，

，即，AC?MD=BD?CM．…（10 分）

【点评】本题考查正弦定理，弦切角定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． [选修 4-4：坐标系与参数方程]．

23． （2016?蚌埠二模）已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原 点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是 （t 是参数） ．

（1）若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且|AB|=2 ，试求实数 m 的值； （2）设 M（x，y）为曲线上任意一点，求 x+2y﹣2 的取值范围． 2 2 2 2 【分析】 （1）曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ，即 ρ =4ρcosθ，利用 ρ =x +y ，x=ρcosθ 即 可化为直角坐标方程． 直线 l 的参数方程是 （t 是参数） ， 消去参数 t 可得普通方程． 利 ． 及其弦长公式 l=2

用点到直线的距离公式可得： 圆心到直线 l 的距离 d= 即可解得 m．

（2）设 x+2y﹣2=t，即 x+2y﹣2﹣t=0，由于直线与圆有公共点可得

≤2，解出

即可得出． 2 【解答】解： （1）曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ，即 ρ =4ρcosθ， 2 2 2 2 化为直角坐标方程：x +y =4x，可得（x﹣2） +y =4，可得圆心 C（2，0） ，半径 r=2． 直线 l 的参数方程是 ∴圆心到直线 l 的距离 d= （t 是参数） ，可得普通方程 x﹣y﹣m=0． ．

∴

=2

，化为：

=±1，解得 m=2

．

（2）设 x+2y﹣2=t，即 x+2y﹣2﹣t=0， 则 ≤2，

解得 ≤t≤2 ． ∴x+2y﹣2 的取值范围是 ． 【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、直线与圆相交 弦长公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． [选修 4-5：不等式选讲] 24． （2016?蚌埠二模）设函数 f（x）=|2x﹣1|，x∈R． （1）求不等式|f（x）﹣2|≤7 的解集； （2）若 g（x）= 的定义域为 R，求实数 m 的取值范围．

【分析】 （1）由不等式|f（x）﹣2|≤7，可得﹣5≤2x+1≤9，由此求得它的解集； （2）由题意可得|2x+1|+|2x﹣1|+m≠0 恒成立．利用绝对值三角不等式可得|2x+1|+|2x﹣ 1|≥2，可得 m 的范围． 【解答】解： （1）由不等式|f（x）﹣2|≤7， 可得﹣7≤f（x）﹣2≤7，﹣5≤f（x）≤9， 即|2x﹣1|≤9，即﹣4≤x≤5， 故不等式|f（x）﹣2|≤7 的解集为[﹣4，5]．

（2）g（x）=

=

的定义域为 R，

可得|2x﹣1|+|2x+1|+m≠0 恒成立． ∵|2x﹣1|+|2x+1|≥|（2x﹣1）﹣（2x+1）|=2， ∴m＞﹣2． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，体现了转化的数学思想， 属于中档题．