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2016届安徽省蚌埠市高考数学二模试卷(理科)解析版


2016 年安徽省蚌埠市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的一项。 1. (5 分) (2016?蚌埠二模) 已知集合 M={x| A.{1,2,3,4} B.{2,3,4} >0}, N={1, 2, 3, 4}, 则?RM∩N= ( )

C.{

1} D.? 的共轭复数是( )

2. (5 分) (2016?蚌埠二模)i 为虚数单位,则复数 A.﹣1+2i B.1﹣2i C.﹣2+i D.2﹣i

3. (5 分) (2016?蚌埠二模)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,δ ) ,P(ξ≤﹣1)=0.012, 则 P(1<ξ<3)=( ) A.0.488B.0.494 C.0.502 D.0.512

2

4. (5 分) (2016?蚌埠二模)若 x,y 满足

,则 z=5x﹣3y+1 的最小值为(



A.﹣2 B.0

C.1

D.3 ﹣ ) 展开式中含有 x 项,则 n 可能的取值是
n

5. (5 分) (2016?蚌埠二模)二项式( ( ) A.10 B.9

C.8

D.7

6. (5 分) (2016?蚌埠二模) 已知平面向量 , , 均为非零向量, 则 ∥ 是 ( ? ) ? = ? ( ? )成立的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7. (5 分) (2016?蚌埠二模)已知数列{sinan}是公比为﹣1 的等比数列,若数列{an}是等差 数列,则其公差可能是( ) A.﹣ B.﹣ C.π D.2π )

8. (5 分) (2016?蚌埠二模)执行如图的程序框图,若输入 k=63,则输出的 n=(

A.4

B.5

C.6

D.7
2

9. (5 分) (2016?蚌埠二模)已知抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,直线 AB 过 F 点与抛物线 C 交抛物线于 A、B 两点,且 AB=6,若 AB 的垂直平分线交 x 轴于 P 点,则|OP|=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 10. (5 分) (2016?蚌埠二模)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ 均为正常数)的 最小正周期为 π,当 x= 时,函数 f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )

A.f(1)<f(﹣1)<f(0) B.f(0)<f(1)<f(﹣1) C.f(﹣1)<f(0)<f(1) D.f(1)<f(0)<f(﹣1) 11. (5 分) (2016?蚌埠二模)如图所示,网格线上正方形的边长为 1,粗实线和粗虚线给出 的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )

A.

B.6

C.

D.7
3 3

12. (5 分) (2016?蚌埠二模)已知函数 f(x)=lnx﹣x 与 g(x)=x ﹣ax 的图象上存在关 于 x 轴的对称点,则 a 的取值范围为( ) A. (﹣∞,e) B. (﹣∞,e]C. (﹣∞, ) D. (﹣∞, ]

二、填空题: (本题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分)

13. (5 分) (2012?上海)若 f(x)=

为奇函数,则实数 m=



14. (5 分) (2016?蚌埠二模)已知点 P 和点 Q 的纵坐标相同,P 的横坐标是 Q 的横坐标的 3 倍,P 和 Q 的轨迹分别为双曲线 C1 和 C2,若 C1 的渐近线方程为 y=± x,则 C2 的渐近 线方程为 . * 15. (5 分) (2016?蚌埠二模)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=1+an, (n∈N ) ,A=﹣a1a2+a2a3 ﹣a3a4+a4a5﹣…+a2na2n+1,则 A= . 16. (5 分) (2016?蚌埠二模)将 8 个珠子(4 个黑珠子和 4 个白珠子)排成一行,从左边第 一小珠开始向右数珠子,无论数几个珠子,黑珠子的个数总不少于白珠子个数的概率 为 . 三、简答题(本大题共 5 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分) (2016?蚌埠二模)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a= c,且 A=C+

(Ⅰ)求 cosC 的值; (Ⅱ)当 b=1 时,求边 c 的值. 18. (12 分) (2016?蚌埠二模)我国延迟退休年龄将借鉴国外经验,拟对不同群体采取差别 措施, 并以“小步慢走”的方式实施. 现对某市工薪阶层关于“延迟退休年龄”的态度进行调查, 随机抽取了 50 人,他们月收入的频数分布及对“延迟退休年龄”反对的人数如下表. 月收入 [1500, [2500, [3500, [4500, [5500, [6500, (元) 2500) 3500) 4500) 5500) 6500) 7500) 5 10 14 11 6 4 频数 4 8 11 6 2 1 反对人数 (Ⅰ)由以上统计数据估算月收入高于 5500 的调查对象中,持反对态度的概率; (Ⅱ)若对月收入在[1500,2500) ,[2500,3500)的被调查对象中各随机选取两人进行跟 踪调查,记选中的 4 人中赞成“延迟退休年龄”的人数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列和数学期 望. 19. (12 分) (2016?蚌埠二模)如图,多面体 ABCDEF 中,四边形 ABEF 是平行四边形, DF∥BC,BC=BF=2DF=2 ,∠BAC=90°,AB=AC,点 E 在底面 ABC 的射影为 BC 的中 点 O. (Ⅰ)求证:ED⊥平面 EBC; (Ⅱ)求二面角 E﹣BD﹣F 的平面角的余弦值.

20. (12 分) (2016?蚌埠二模)如图,椭圆 E:

=1(a>b>0)的右焦点为 F(c,0) ,

菱形 ABCD 的各顶点在椭圆 E 上,且直线 AB 经过点 F. (I)若直线 AB 方程为 x﹣y﹣ =0,求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求椭圆 E 的离心率的取值范围.

21. (12 分) (2016?蚌埠二模)设函数 f(x)=x +3x+3﹣a?e (a 为非零常数) . (1)求 g(x)= 的单调区间;

2

x

(2)若 f(x)有且仅有一个零点,求 a 的取值范围; (3)若存在 b,c∈R,且 b≠c,使 f(b)=f(c) ,试判断 a?f′( )的符号.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修 4-1: 几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?蚌埠二模)如图所示,两个圆相内切于点 T,公切线为 TN,外圆的弦 TC,TD 分别交内圆于 A、B 两点,并且外圆的弦 CD 恰切内圆于点 M. (Ⅰ)证明:AB∥CD; (Ⅱ)证明:AC?MD=BD?CM.

[选修 4-4:坐标系与参数方程]. 23. (2016?蚌埠二模)已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原 点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 (t 是参数) .

(1)若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=2 ,试求实数 m 的值; (2)设 M(x,y)为曲线上任意一点,求 x+2y﹣2 的取值范围. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (2016?蚌埠二模)设函数 f(x)=|2x﹣1|,x∈R. (1)求不等式|f(x)﹣2|≤7 的解集; (2)若 g(x)= 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围.

2016 年安徽省蚌埠市高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的一项。 1. (5 分) (2016?蚌埠二模) 已知集合 M={x| >0}, N={1, 2, 3, 4}, 则?RM∩N= ( )

A.{1,2,3,4} B.{2,3,4} C.{1} D.? 【分析】求出集合的等价条件,根据集合的基本运算进行求解即可. 【解答】解:M={x| >0}={x|2﹣x>0}={x|x<2},

?RM={x|x≥2}, 则?RM∩N={2,3,4}, 故选:B. 【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.

2. (5 分) (2016?蚌埠二模)i 为虚数单位,则复数 A.﹣1+2i B.1﹣2i C.﹣2+i D.2﹣i

的共轭复数是(



【分析】先化简复数 z,再求 z 的共轭复数 . 【解答】解:复数 z= = =﹣2﹣i,

∴复数 z 的共轭复数是 =﹣2+i. 故选:C. 【点评】本题考查了复数的化简与共轭复数的应用问题,是基础题目. 3. (5 分) (2016?蚌埠二模)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,δ ) ,P(ξ≤﹣1)=0.012, 则 P(1<ξ<3)=( ) A.0.488B.0.494 C.0.502 D.0.512 【分析】 根据随机变量 ξ 服从正态分布, 知正态曲线的对称轴是 x=1, 且P (ξ≤﹣1) =0.012, 依据正态分布对称性,即可求得答案. 2 【解答】解:随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,? ) , ∴曲线关于 x=1 对称, ∵P(ξ≤﹣1)=0.012, ∴P(ξ>3)=0.012, ∴P(﹣1≤ξ≤3)=1﹣2P(ξ>3)=1﹣0.024=0.976, ∴P(1<ξ<3)= (P(﹣1≤ξ≤3)= ×0.976=0.488 故选:A. 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查概率的性质,是一个基础 题.
2

4. (5 分) (2016?蚌埠二模)若 x,y 满足

,则 z=5x﹣3y+1 的最小值为(



A.﹣2 B.0 C.1 D.3 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,即可得到结论. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=5x﹣3y+1 得 y= x+ 平移直线 y= x+ , 经过点 A(0,1)时,直线的截距最大, ,

由图象可知当直线 y= x+ 此时 z 最小, 此时 z=﹣3+1=﹣2, 故选:A.

【点评】本题主要考查导数的几何意义,以及利用线性规划的应用,综合性较强,考查学生 解决问题的能力. 5. (5 分) (2016?蚌埠二模)二项式( ﹣ ) 展开式中含有 x 项,则 n 可能的取值是
n

( ) A.10 B.9 C.8 D.7 【分析】先利用二项展开式的通项公式,整理后让 x 的指数等于 1,求出 r 和 n 的关系,再 把答案代入验证即可. 【解答】解:因为二项式( ﹣ ) 展开式的通项公式为:
n

Tr+1=Cn ? 令﹣2n+

r

? =1,得 5r=4n+2,

=(﹣1) ?Cn ?

r

r



即 r=



即 4n+2 是 5 的倍数, 所以满足条件的数在答案中只有 7. 故选:D. 【点评】本题主要考查了二项式定理的应用问题,解题的关键是利用通项公式求出含 x 项, 从而得出 r 和 n 的关系,是基础题目.

6. (5 分) (2016?蚌埠二模) 已知平面向量 , , 均为非零向量, 则 ∥ 是 ( ? ) ? = ? ( ? )成立的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】根据向量共线定理结合充分必要条件判断即可. 【解答】解:已知平面向量 , , 均为非零向量, 则 ∥ ,则 ? ≠0,∴ = ? ,即( ? )? = ?( ? ) ,是充分条件,

若( ? )? = ?( ? ) , , , 均为非零向量,则 ? ≠0, ∴ = ? ,∴ ∥ ,是必要条件,

故选:C. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查共线向量问题,是一道基础题. 7. (5 分) (2016?蚌埠二模)已知数列{sinan}是公比为﹣1 的等比数列,若数列{an}是等差 数列,则其公差可能是( ) A.﹣ B.﹣ C.π D.2π

【分析】由等比数列和等差数列的性质,结合已知条件推导出 sin(an+d)=﹣sinan,由此能 求出公差 d 可能是 π. 【解答】解:∵数列{sinan}是公比为﹣1 的等比数列, ∴ =﹣1,

∵数列{an}是等差数列, ∴ =﹣1,

∴sin(an+d)=﹣sinan, ∴公差 d 可能是 π.

故选:C. 【点评】本题考查等差数列的一个公差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数 列的性质的合理运用. 8. (5 分) (2016?蚌埠二模)执行如图的程序框图,若输入 k=63,则输出的 n=( )

A.4 B.5 C.6 D.7 【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 m,n,p 的值,当 p=63 时满足条件 p≥ 63,退出循环,输出 n 的值为 6. 【解答】解:模拟执行程序,可得 k=63,m=1,n=1,p=1 m=2,n=2,p=3 不满足条件 p≥63,m=4,n=3,p=7 不满足条件 p≥63,m=8,n=4,p=15 不满足条件 p≥63,m=16,n=5,p=31 不满足条件 p≥63,m=32,n=6,p=63 满足条件 p≥63,退出循环,输出 n 的值为 6. 故选:C. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循 环的办法,但程序的循环体中变量比较多时,要用表格法对数据进行管理,属于基础题. 9. (5 分) (2016?蚌埠二模)已知抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,直线 AB 过 F 点与抛物线 C 交抛物线于 A、B 两点,且 AB=6,若 AB 的垂直平分线交 x 轴于 P 点,则|OP|=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【分析】先根据抛物线方程求出 p 的值,再由抛物线的性质求出 AB 的垂直平分线方程,可 得到答案.
2

【解答】解:∵抛物线 y =4x,∴p=2, 设经过点 F 的直线 y=k(x﹣1)与抛物线相交于 A、B 两点,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 2 2 2 2 2 直线 y=k(x﹣1)代入 y =4x,整理可得 k x ﹣(2k +4)x+k =0, ∴x1+x2=2+ 利用抛物线定义,AB 中点横坐标为 x1+x2=|AB|﹣p=6﹣2=4.AB 中点横坐标为 2 ∴2+ =4,∴k=±

2

AB 中点纵坐标为 k,AB 的垂直平分线方程为 y﹣k=﹣ (x﹣2) , 令 y=0,可得 x=4, ∴|OP|=4. 故选:B. 【点评】本题主要考查了抛物线的性质.属中档题.解题时要认真审题,仔细解答,注意等 价转化思想的合理运用,确定 AB 的垂直平分线方程是关键. 10. (5 分) (2016?蚌埠二模)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ 均为正常数)的 最小正周期为 π,当 x= 时,函数 f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )

A.f(1)<f(﹣1)<f(0) B.f(0)<f(1)<f(﹣1) C.f(﹣1)<f(0)<f(1) D.f(1)<f(0)<f(﹣1) 【分析】由题意和函数的周期性可得 ω,再由最值可得 φ 值,由函数的图象和单调性以及 诱导公式可得大小关系. 【解答】解:∵函数 f(x)=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ 均为正常数)的最小正周期为 π, ∴ =π,解得 ω=2,故 f(x)=Acos(2x+φ) , 时,函数 f(x)取得最小值, ,k∈Z, ) ,

又∵当 x= ∴2?

+φ=kπ,解得 φ=kπ﹣

由题意当 k=1 时 φ= 故 f(0)=Acos =Acos(﹣2﹣ 由﹣π<﹣2﹣

,故 f(x)=Acos(2x+ ) ) ,

,f(1)=Acos(2+

) ,f(﹣1)=Acos(﹣2+ <﹣2+

<0 和函数 y=cosx 在(﹣π,0)

单调递增可得 f(1)<f(﹣1)<f(0) , 故选:A. 【点评】本题考查余弦函数的图象和单调性,涉及诱导公式的应用和函数图象的对称性,属 中档题.

11. (5 分) (2016?蚌埠二模)如图所示,网格线上正方形的边长为 1,粗实线和粗虚线给出 的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )

A.

B.6

C.

D.7

【分析】根据三视图可知几何体是一个棱长为 2 的正方体,分别在 A、B、C、D 四个角上 截取一个直三棱柱,底面是直角边分别是 1、1 的等腰直角三角形,且高为 1. 【解答】解:根据三视图可知几何体是一个棱长为 2 的正方体, 分别在 A、B、C、D 四个角上截取一个直三棱柱,底面是直角边分别是 1、1 的等腰直角三 角形,且高为 1, 所以几何体的体积 V=2×2×2﹣4× =6, 故选:B.

【点评】本题考查了三视图的有关计算、三棱柱与正方体的体积计算公式,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题. 12. (5 分) (2016?蚌埠二模)已知函数 f(x)=lnx﹣x 与 g(x)=x ﹣ax 的图象上存在关 于 x 轴的对称点,则 a 的取值范围为( ) A. (﹣∞,e) B. (﹣∞,e]C. (﹣∞, ) D. (﹣∞, ]
3 3

【分析】由题意可知 f(x)=﹣g(x)有解,即 y=lnx 与 y=ax 有交点,根据导数的几何意义, 求出切点,结合图象,可知 a 的范围. 3 3 【解答】解:函数 f(x)=lnx﹣x 与 g(x)=x ﹣ax 的图象上存在关于 x 轴的对称点, ∴f(x)=﹣g(x)有解,

∴lnx﹣x =﹣x +ax, ∴lnx=ax,在(0,+∞)有解, 分别设 y=lnx,y=ax, 若 y=ax 为 y=lnx 的切线, ∴y′= , 设切点为(x0,y0) , ∴a= ,ax0=lnx0,

3

3

∴x0=e, ∴a= , 结合图象可知,a≤ 故选:D.

【点评】本题导数的几何意义,以及函数值的问题,关键是转化为 y=lnx 与 y=ax 有交点, 属于中档题. 二、填空题: (本题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13. (5 分) (2012?上海)若 f(x)= 【分析】由 f(x)= 【解答】解:∵f(x)= 为奇函数,则实数 m= ﹣2 .

为奇函数,可得 f(﹣1)=﹣f(1) ,代入可求 为奇函数,

∴f(﹣1)=﹣f(1) 即 m﹣1=3(1+m) ∴m=﹣2 故答案为:﹣2 【点评】本题主要考查了奇函数的性质的简单应用,属于基础试题

14. (5 分) (2016?蚌埠二模)已知点 P 和点 Q 的纵坐标相同,P 的横坐标是 Q 的横坐标的 3 倍,P 和 Q 的轨迹分别为双曲线 C1 和 C2,若 C1 的渐近线方程为 y=± 线方程为 y=± x .
2 2

x,则 C2 的渐近

【分析】设 C1 的方程为 y ﹣3x =λ,利用坐标间的关系,求出 Q 的轨迹方程,即可求出 C2 的渐近线方程. 【解答】解:∵若 C1 的渐近线方程为 y=± 2 2 ∴设 C1 的方程为 y ﹣3x =λ, 设 Q(x,y) ,则 P(x′,y′) , 则 , x,

则 x= x′,即 Q( x′,y′) , 代入 y ﹣3x =λ,可得 y ﹣3× x =λ, 即 y ﹣ x =λ, 由 y ﹣ x =λ=0 得 y = x ,即 y=± ∴C2 的渐近线方程为 y=± 故答案为:y=± x x.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x

【点评】 本题主要考查双曲线渐近线方程的计算, 根据坐标关系求出对应的轨迹方程是解决 本题的关键. 15. (5 分) (2016?蚌埠二模)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=1+an, (n∈N ) ,A=﹣a1a2+a2a3 ﹣a3a4+a4a5﹣…+a2na2n+1,则 A= 2n(n+1) . 【分析】可判断数列{an}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,从而可得 an=n,进而可得﹣ a2n﹣1a2n+a2na2n+1=4n,从而求和即可. 【解答】解:∵a1=1,an+1=1+an, ∴数列{an}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列, ∴an=n, ∴﹣a2n﹣1a2n+a2na2n+1=a2n(a2n+1﹣a2n﹣1)=2n(2n+1﹣(2n﹣1) )=4n, ∴A=﹣a1a2+a2a3﹣a3a4+a4a5﹣…+a2na2n+1 =(﹣a1a2+a2a3)+(﹣a3a4+a4a5)+…+(﹣a2n﹣1a2n+a2na2n+1) =4+8+…+4n= =2n(n+1) ,
*

故答案为:2n(n+1) . 【点评】 本题考查了等差数列的性质的判断与应用, 同时考查了并项求和法的应用及转化思 想的应用.

16. (5 分) (2016?蚌埠二模)将 8 个珠子(4 个黑珠子和 4 个白珠子)排成一行,从左边第 一小珠开始向右数珠子,无论数几个珠子,黑珠子的个数总不少于白珠子个数的概率为 . 【分析】将 8 个珠子(4 个黑珠子和 4 个白珠子)排成一行,先求出基本事件总数,再由求 出,由此能求出无论数几个珠子,黑珠子的个数总不少于白珠子个数包含的基本事件个数, 由此能求出无论数几个珠子,黑珠子的个数总不少于白珠子个数的概率. 【解答】解:将 8 个珠子(4 个黑珠子和 4 个白珠子)排成一行, 基本事件总数为 n= ,

∵从左边第一小珠开始向右数珠子,无论数几个珠子,黑珠子的个数总不少于白珠子个数, ∴8 个球的排列顺序有: (1)黑白黑白黑白黑白; (2)黑黑白白黑黑白白; (3)黑黑黑白白 白黑白; (4)黑黑黑黑白白白白; (5)黑白黑黑白白黑白; (6)黑黑白白黑白黑白; (7)黑白黑白 黑黑白白; (8)黑白黑黑黑白白白; (9)黑黑白黑白黑白白; (10)黑黑黑白白黑白白; (11)黑黑白 黑黑白白白; (12)黑黑黑白黑白白白; (13)黑白黑黑白黑白白; (14)黑黑白黑白白黑白. ∴无论数几个珠子,黑珠子的个数总不少于白珠子个数的概率: p = .

故答案为: . 【点评】本题考查概率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运 用. 三、简答题(本大题共 5 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分) (2016?蚌埠二模)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a= c,且 A=C+

(Ⅰ)求 cosC 的值; (Ⅱ)当 b=1 时,求边 c 的值. 【分析】 (I)由 A=C+ sinA= ,可得 sinA=sin =cosC,由 a= c,利用正弦定理可得

sinC,化简即可得出. ,sinC= .利用 A=C+ . =cosC, .可得 sinA=cosC,cosA.可得

(II)由(I)可得:cosC=

sinB=sin(A+C) ,再利用正弦定理可得 【解答】解: (I)∵A=C+ 由 a= c,∴sinA= ∴ sinC=cosC, ,∴sinA=sin

sinC,

∴tanC= ∴cosC=

,∴C 为锐角. = . ,sinC= .

(II)由(I)可得:cosC= ∵A=C+ . ,cosA=﹣

∴sinA=cosC=



∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC = ∴ ﹣ , = .

可得 c=

=

=



【点评】本题考查了正弦定理、诱导公式、同角三角函数基本关系式、和差公式,考查了推 理能力与计算能力,属于中档题. 18. (12 分) (2016?蚌埠二模)我国延迟退休年龄将借鉴国外经验,拟对不同群体采取差别 措施, 并以“小步慢走”的方式实施. 现对某市工薪阶层关于“延迟退休年龄”的态度进行调查, 随机抽取了 50 人,他们月收入的频数分布及对“延迟退休年龄”反对的人数如下表. 月收入 [1500, [2500, [3500, [4500, [5500, [6500, (元) 2500) 3500) 4500) 5500) 6500) 7500) 5 10 14 11 6 4 频数 4 8 11 6 2 1 反对人数 (Ⅰ)由以上统计数据估算月收入高于 5500 的调查对象中,持反对态度的概率; (Ⅱ)若对月收入在[1500,2500) ,[2500,3500)的被调查对象中各随机选取两人进行跟 踪调查,记选中的 4 人中赞成“延迟退休年龄”的人数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列和数学期 望. 【分析】 (1)月收入高于 5500 的人数有 10 人,其中持反对态度的人数有 3 人,由此能估算 月收入高于 4000 的调查对象中,持反对态度的概率. (2)由已知 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ 的分布列和 Eξ. 【解答】解: (1)根据题意,由于对某市工薪阶层关于“延迟退休年龄”的态度进行调查,随 机抽取了 50 人, 他们月收入的频数分布可知月收入高于 5500 的人数有 6+4=10 人, 其中持反对态度的人数有 2+1=3 人, ∴估算月收入高于 4000 的调查对象中,持反对态度的概率 p= .

(2)根据题意,由于对月收入在[1500,2500) ,[2500,3500)的被调查对象中各随机选取 两人进行跟踪调查, 可知 ξ 的可能取值为 0,1,2,3, P(ξ=0)= = ,

P(ξ=1)=

+

=



P(ξ=2)=

+

=

P(ξ=3)= ∴ξ 的分布列为: ξ 0 P Eξ= +

=



1

2

3

+

=0.8.

【点评】 本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法, 是中档题, 解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用. 19. (12 分) (2016?蚌埠二模)如图,多面体 ABCDEF 中,四边形 ABEF 是平行四边形, DF∥BC,BC=BF=2DF=2 ,∠BAC=90°,AB=AC,点 E 在底面 ABC 的射影为 BC 的中 点 O. (Ⅰ)求证:ED⊥平面 EBC; (Ⅱ)求二面角 E﹣BD﹣F 的平面角的余弦值.

【分析】 (Ⅰ)连结 EO,AO,DO,推导出四边形 BFDO 是平行四边形,四边形 AEDO 是 平行四边形,从而 DE AO,再推导出 AO⊥平面 EBC,由此能证明 ED⊥平面 EBC.

(Ⅱ)以 O 为原点,OA 为 x 轴,OB 为 y 轴,OE 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向 量法能求出二面角 E﹣BD﹣F 的平面角的余弦值. 【解答】证明: (Ⅰ)连结 EO,AO,DO, ∵多面体 ABCDEF 中,四边形 ABEF 是平行四边形,DF∥BC,BC=BF=2DF=2 , ∠BAC=90°,AB=AC,点 E 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点 O, ∴EO⊥底面 ABC,AO⊥BC,OA=OB=OC=DF= , AE=BF=2 ,OE= = = ,

∴OB

DF,∴四边形 BFDO 是平行四边形,∴OD∥BF∥AF,且 OD=BF=AE=2 AO,



∴四边形 AEDO 是平行四边形,∴DE

∵AO⊥BC,且 AO⊥EO,BC∩EO=O,∴AO⊥平面 EBC, ∴ED⊥平面 EBC. 解: (Ⅱ)以 O 为原点,OA 为 x 轴,OB 为 y 轴,OE 为 z 轴,建立空间直角坐标系, B(0, ,0) ,D(﹣ ,0, ) ,E(0,0, ) ,F(﹣ , , ) , =(﹣ ,﹣ , ) , =(0,﹣ , ) , =(﹣ ,0, ) ,

设平面 BDE 的法向量 =(x,y,z) , 则 ,取 y= ,得 =(0, ,1) ,

设平面 BDF 的法向量 =(a,b,c) , 则 ,取 a= ,得 =( ) ,

设二面角 E﹣BD﹣F 的平面角为 θ, 则 cosθ= = = ,

∴二面角 E﹣BD﹣F 的平面角的余弦值为 .

【点评】本题考查线面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真 审题,注意向量法的合理运用.

20. (12 分) (2016?蚌埠二模)如图,椭圆 E:

=1(a>b>0)的右焦点为 F(c,0) ,

菱形 ABCD 的各顶点在椭圆 E 上,且直线 AB 经过点 F. (I)若直线 AB 方程为 x﹣y﹣ =0,求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求椭圆 E 的离心率的取值范围.

【分析】 (I)由题意可得直线 x﹣y﹣ =0 过 F(1,0) ,设 A(m,n) ,B(s,t) ,由对 称性可得 C(﹣m,﹣n) ,D(﹣s,﹣t) ,由菱形的对角线垂直,可得 kAC?kBD=﹣1,将直 线方程代入椭圆方程,运用韦达定理,结合直线的斜率公式,化简整理可得 a,b 的方程, 解方程可得 a,b,进而得到椭圆方程; (Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣c) ,设 A(m,n) ,B(s,t) ,由对称性可得 C(﹣m, ﹣n) ,D(﹣s,﹣t) ,由菱形的对角线垂直,可得 kAC?kBD=﹣1,将直线 AB 的方程代入椭 2 2 2 4 2 2 2 2 圆方程,运用韦达定理和直线的斜率公式,化简整理,可得 k (a c ﹣b )=a b ,由 a c 4 2 2 2 ﹣b >0,即 ac>b =a ﹣c ,结合离心率公式计算即可得到所求范围. 【解答】解: (I)由题意可得直线 x﹣y﹣ =0 过 F(1,0) , 设 A(m,n) ,B(s,t) ,由对称性可得 C(﹣m,﹣n) ,D(﹣s,﹣t) , 由菱形的对角线垂直,可得 kAC?kBD=﹣1, 将直线 y= (x﹣1) ,代入椭圆方程,可得 2 2 2 2 2 2 2 (b +2a )x ﹣4a x+2a ﹣a b =0, m+s= ,ms= ,



=﹣1 即

=﹣1,

即为 3ms+2﹣2(m+s)=0, 即 3?
2 2

+2﹣2?
2 2

=0,

化为 2a +2b ﹣3a b =0, 2 2 又 a ﹣b =1, 2 2 解得 a =2,b =1, 即有椭圆的方程为 +y =1;
2

(Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣c) , 设 A(m,n) ,B(s,t) ,由对称性可得 C(﹣m,﹣n) ,D(﹣s,﹣t) , 由菱形的对角线垂直,可得 kAC?kBD=﹣1,

将直线 AB 的方程代入椭圆方程可得, (b +a k )x ﹣2a k cx+a c k ﹣a b =0, 即有 m+s= ,ms= ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

即有

= ﹣1 即
2 2 2 2

=﹣1,

即有(1+k )ms﹣k c(m+s)+k c =0, (1+k )?
2 2 2 4 2

﹣k c?
2 2

2

+k c =0,

2 2

化简可得 k (a c ﹣b )=a b , 2 2 4 2 2 2 由 a c ﹣b >0,即 ac>b =a ﹣c , 由 e= ,可得 e +e﹣1>0, 解得 e> ,或 e< (舍去) , ,1) .
2

则椭圆的离心率的范围是(

【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用对称性和联立直线方程与椭圆方程,由韦达 定理和两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,考查椭圆的离心率的范围,注意运用联立直线 方程和椭圆方程,运用不等式的性质和解法,以及离心率公式,属于中档题. 21. (12 分) (2016?蚌埠二模)设函数 f(x)=x +3x+3﹣a?e (a 为非零常数) . (1)求 g(x)= 的单调区间;
2 x

(2)若 f(x)有且仅有一个零点,求 a 的取值范围; (3)若存在 b,c∈R,且 b≠c,使 f(b)=f(c) ,试判断 a?f′( )的符号.

【分析】 (1)g(x)=

=

﹣a,g′(x)=

,令 g′(x)=0,解得 x=0,

或﹣1. 列出表格即可得出单调性与单调区间. (2)令 f(x)=0,可得:a= ,令 h(x)= ,由(1)可得:h(x)min=h

(﹣1)=e,h(x)max=h(0)=3,h(x)>0.利用(1)画出函数 h(x)的图象,则 f(x) 有且仅有一个零点,转化为函数 h(x)与直线 y=a 有且仅有一个交点,即可得出 a 的取值 范围. (3)存在 b,c∈R,且 b≠c,使 f(b)=f(c) ,即函数 f(x)有且仅有两个零点,转化为 函数 h(x)与直线 y=a 有且仅有两个交点.不妨设 b<c.

①a=e 时,b=﹣1,e=h(c)=
x

,可得 e

c+1

=c +3c+3,

2

=

,由图象

可得:0<c<1.f′(x)=2x+3﹣e?e ,代入 a?f′(
b

) ,即可判断出符号.

②a=3 时,c=0,3=h(b)= ∈ ,代入 a?f′(

,e = )即可判断出符号.

,由图象可得:﹣2<b<﹣1,

【解答】解: (1)g(x)=

=

=

﹣a,

g′(x)=

=



令 g′(x)=0,解得 x=0,或﹣1. (﹣∞,﹣ x 0 ﹣1 (﹣1,0) (0,+∞) 1) 0 0 g′(x) ﹣ + ﹣ g(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由表格可知:函数 g(x)的单调递增区间为(﹣1,0) ;单调递减区间为(﹣∞,﹣1) , (0, +∞) . (2)令 f(x)=0,可得:a= ,

令 h(x)=

,h(x)min=h(﹣1)=e,h(x)max=h(0)=3,h(x)>0.

利用(1)画出函数 h(x)的图象, 由 f(x)有且仅有一个零点,转化为函数 h(x)与直线 y=a 有且仅有一个交点. ∴当 a>3 或 0<a<e 时,函数 h(x)与直线 y=a 有且仅有一个交点. 因此:当 a>3 或 0<a<e 时,f(x)有且仅有一个零点. (3)存在 b,c∈R,且 b≠c,使 f(b)=f(c) ,即函数 f(x)有且仅有两个零点,转化为 函数 h(x)与直线 y=a 有且仅有两个交点. 不妨设 b<c. ①a=e 时,b=﹣1,e=h(c)= ,∴e
c+1

=c +3c+3,

2



=



由图象可得:0<c<1. x f′(x)=2x+3﹣e?e ,

a?f′( ﹣

)=e(c﹣1+3﹣ )>0.

)=e(c+2﹣

)=e(c+2﹣

)=e(

②a=3 时,c=0,3=h(b)=

,e =

b



由图象可得:﹣2<b<﹣1. f′(x)=2x+3﹣e?e , a?f′( )=3(9﹣
x





)>0. )的符号为正“+”号.

综上可得:a?f′(

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、函数图象的交点与函数零点的关系, 考查了数形结合方法、分析推理转化解决问题能力与计算能力,属于难题. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修 4-1: 几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?蚌埠二模)如图所示,两个圆相内切于点 T,公切线为 TN,外圆的弦 TC,TD 分别交内圆于 A、B 两点,并且外圆的弦 CD 恰切内圆于点 M. (Ⅰ)证明:AB∥CD; (Ⅱ)证明:AC?MD=BD?CM.

【分析】 (Ⅰ)证明∠TCD=∠TAB,即可证明 AB∥CD; (Ⅱ)证明:∠MTD=∠ATM,利用正弦定理证明 ,由 AB∥CD 知 ,即可

证明 AC?MD=BD?CM. 【解答】 (Ⅰ)由弦切角定理可知,∠NTB=∠TAB,…(3 分) 同理,∠NTB=∠TCD,所以,∠TCD=∠TAB, 所以,AB∥CD.…(5 分) (Ⅱ)连接 TM、AM, 因为 CD 是切内圆于点 M, 所以由弦切角定理知,∠CMA=∠ATM, 又由(Ⅰ)知 AB∥CD, 所以,∠CMA=∠MAB,又∠MTD=∠MAB, 所以∠MTD=∠ATM.…(8 分) 在△MTD 中,由正弦定理知, 在△MTC 中,由正弦定理知, 所以 所以 ,由 AB∥CD 知 , , ,因∠TMC=π﹣∠TMD,

,即,AC?MD=BD?CM.…(10 分)

【点评】本题考查正弦定理,弦切角定理,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. [选修 4-4:坐标系与参数方程].

23. (2016?蚌埠二模)已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原 点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 (t 是参数) .

(1)若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=2 ,试求实数 m 的值; (2)设 M(x,y)为曲线上任意一点,求 x+2y﹣2 的取值范围. 2 2 2 2 【分析】 (1)曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ,即 ρ =4ρcosθ,利用 ρ =x +y ,x=ρcosθ 即 可化为直角坐标方程. 直线 l 的参数方程是 (t 是参数) , 消去参数 t 可得普通方程. 利 . 及其弦长公式 l=2

用点到直线的距离公式可得: 圆心到直线 l 的距离 d= 即可解得 m.

(2)设 x+2y﹣2=t,即 x+2y﹣2﹣t=0,由于直线与圆有公共点可得

≤2,解出

即可得出. 2 【解答】解: (1)曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ,即 ρ =4ρcosθ, 2 2 2 2 化为直角坐标方程:x +y =4x,可得(x﹣2) +y =4,可得圆心 C(2,0) ,半径 r=2. 直线 l 的参数方程是 ∴圆心到直线 l 的距离 d= (t 是参数) ,可得普通方程 x﹣y﹣m=0. .



=2

,化为:

=±1,解得 m=2



(2)设 x+2y﹣2=t,即 x+2y﹣2﹣t=0, 则 ≤2,

解得 ≤t≤2 . ∴x+2y﹣2 的取值范围是 . 【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、直线与圆相交 弦长公式、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (2016?蚌埠二模)设函数 f(x)=|2x﹣1|,x∈R. (1)求不等式|f(x)﹣2|≤7 的解集; (2)若 g(x)= 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围.

【分析】 (1)由不等式|f(x)﹣2|≤7,可得﹣5≤2x+1≤9,由此求得它的解集; (2)由题意可得|2x+1|+|2x﹣1|+m≠0 恒成立.利用绝对值三角不等式可得|2x+1|+|2x﹣ 1|≥2,可得 m 的范围. 【解答】解: (1)由不等式|f(x)﹣2|≤7, 可得﹣7≤f(x)﹣2≤7,﹣5≤f(x)≤9, 即|2x﹣1|≤9,即﹣4≤x≤5, 故不等式|f(x)﹣2|≤7 的解集为[﹣4,5].

(2)g(x)=

=

的定义域为 R,

可得|2x﹣1|+|2x+1|+m≠0 恒成立. ∵|2x﹣1|+|2x+1|≥|(2x﹣1)﹣(2x+1)|=2, ∴m>﹣2. 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,绝对值三角不等式,体现了转化的数学思想, 属于中档题.


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