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顺义区2016届高三尖子生素质展示数学文科试卷参考答案


顺义区 2016 届高三尖子生综合素质展示数学试卷(文科)
参考答案及评分标准

2015.12 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. B ; 2. D ; 3. A; 4. A ; 5. D; 6 . C; 7. B ; 8. C .

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 1 ? i 12. 10. 2 13. 20 , 2 n 11. 2 14. ①②③

4 24 ,? 5 25

注: 12 题、13 题第一空 2 分,第二空 3 分.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为函数 f ( x ) 的定义域为 R,且为奇函数, 所以 f (?1) ? ? f (1) , 即 a ? 1 ? ?(a ? 1) , 解得 a ? 0 . 验证可得 a ? 0 时, f ( x ) 是奇函数. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 f ( x) ? x ? | x | ? ?
2 ? ? x , x ? 0, 2 ? ?? x , x ? 0.

【 2 分】

【 5 分】

【 7 分】

则当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,且 f ( x ) 在 [0, b] 上为增函数; 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,且 f ( x ) 在 [?b, 0) 上为增函数.
2 2

【 9 分】

所以当 x ? b 时, f ( x ) 取到最大值 b ;当 x ? ?b 时, f ( x ) 取到最小值 ?b . 【11 分】
2 2 依题意,得 b ? (?b ) ? b ,解得 b ?

1 或 b ? 0 (舍去) , 2
【13 分】

故当 b ?

1 时,函数 f ( x ) 在区间 [?b, b] 上最大值与最小值的差为 b . 2

第 1 页 共 5 页

16.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:设等差数列 {an } 的公差是 d ,则有

?a1 ? d ? 3, ? ?2a1 ? 7d ? 11.
解得 a1 ? 2 , d ? 1 . 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? a1 ? (n ?1)d ? n ? 1 . (Ⅱ)解: bn ? 2( an ?

【 2 分】

【 4 分】 【 6 分】 【 8 分】

1 1 1 ) ? 2( n ?1 ? n ?1 ) ? 2 n ? n ? 2 . an 2 2 2

因为数列 {2n} 是首项为 2 ,公差为 2 的等差数列;数列 { 比数列,

1 1 1 } 是首项为 ,公比为 的等 n 2 2 2
【10 分】

1 1 [1 ? ( )n ] n(n ? 1) 2 2 ? 2n ? n 2 ? 3n ? 1 ? 1 . 所以 Sn ? 2 ? ? 1 2 2n 1? 2
17.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由频率分布表得 即 m ? n ? 0.45 . 由抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个, 得 n?

【13 分】

0 . 0? 5m?

0 .? 15

? 0n .3 ?5 ,

1
【 2 分】

2 ? 0 .1 . 20

【 4 分】 【 5 分】

所以 m ? 0.45 ? 0.1 ? 0.35 .

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得,等级为 3 的零件有 3 个,记作 x1 , x2 , x3 ;等级为 5 的零件有 2 个,记作

y1 , y2 .从 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任意抽取 2 个零件,所有可能的结果为: ( x1, x2 ),( x1, x3 ),( x1, y1 ),( x1, y2 ),( x2 , x3 ),( x2 , y1 ),( x2 , y2 ),( x3 , y1),( x3 , y2 ),( y1, y2 )
共计 10 种. 记事件 A 为“从零件 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任取 2 件,其等级相等”. 则 A 包含的基本事件为 ( x1 , x2 ),( x1 , x3 ),( x2 , x3 ),( y1 , y2 ) 共 4 个. 【11 分】 【 9 分】

第 2 页 共 5 页

故所求概率为 P ( A) ?

4 ? 0.4 . 10

【13 分】

18.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:在△ AOB 中,由余弦定理得:

AB2 ? OA2 ? OB2 ? 2OA ? OB ? cos ?

【 2 分】 【 4 分】 【 6 分】 【 8 分】

????????? 22 ? 12 ? 2 ? 2 ? cos? ? 5 ? 4cos? ,
所以 AB ? 5 ? 4cos ? . (Ⅱ)解:四边形 OAMB 的面积 S ? S?OAB ? S?ABM

1 3 ? OA ? OB ? sin ? ? AB 2 2 4 1 3 ? ? 2sin ? ? (5 ? 4cos ? ) 2 4 ? sin ? ? 3 cos ? ? 5 3 4
【12 分】 【10 分】

? 5 3 ? 2sin(? ? ) ? . 3 4
又 0 ? ? ? ? ,则当 ? ?

5? 5 3 时,四边形 OAMB 的面积最大值 2 ? . 6 4

【14 分】

19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:由椭圆方程可得, a ? 2 , b ? 3 , 从而椭圆的半焦距 c ? a2 ? b2 ? 1. 所以椭圆的离心率为 e ? 【 3 分】 【 5 分】

c 1 ? . a 2

(Ⅱ)解:依题意,直线 BC 的斜率不为 0 ,设其方程为 x ? ty ? 1 .

将其代入

x2 y 2 ? ? 1 ,整理得 (4 ? 3t 2 ) y2 ? 6ty ? 9 ? 0 . 4 3

【 7 分】

第 3 页 共 5 页

设 B( x1 , y1 ) ,C ( x2 , y2 ) ,所以 y1 ? y2 ? 易知直线 AB 的方程是 y ?

?6t ?9 , y1 y2 ? . 2 4 ? 3t 4 ? 3t 2

【 9 分】

y1 6 y1 ( x ? 2) ,从而可得 M (4, ), x1 ? 2 x1 ? 2
【10 分】

同理可得 N (4,

6 y2 ). x2 ? 2

假设 x 轴上存在定点 P ( p, 0) 使得 MP ? NP ,则有 PM ? PN ? 0 . 所以 ( p ? 4) ?
2

???? ? ??? ?

【11 分】

36 y1 y2 ?0. ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
2

将 x1 ? ty1 ? 1, x2 ? ty2 ? 1 代入上式,整理得 ( p ? 4) ?

36 y1 y2 ? 0. t y1 y2 ? 3t ( y1 ? y2 ) ? 9
2

所以 ( p ? 4) ?
2

36(?9) ? 0 ,即 ( p ? 4)2 ? 9 ? 0 , 2 t (?9) ? 3t (?6t ) ? 9(4 ? 3t )
2

解得 p ? 1 ,或 p ? 7 . 所以, x 轴上存在定点 P(1, 0) 或 P(7, 0) ,使得 MP ? NP 成立.

【14 分】

20.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln(1 ? x) ?

x(1 ? ? x) . 1? x

【 1 分】

?x 则 h(0) ? 0 ,且 h?( x) ? f ? (x ) ? g( ) ?
① 若0 ? ? ?

(1 ?2 ? ) x ? ? x2 . (1 ? x) 2

【 3 分】

1 1 ? 2? ,则当 0 ? x ? 时, h?( x) ? 0 , 2 ? 1 ? 2?

故 h( x) 在 (0,

?

) 上为增函数,

所以 h( x) ? h(0) ? 0 , 即 f ( x) ? g ( x) ,与题设矛盾. ② 当? ? 【 5 分】

1 时, h?( x) ? 0 , 2

故 h( x) 在 (0, ??) 上为减函数, 所以 h( x) ? h(0) ? 0 ,
第 4 页 共 5 页

即 f ( x) ? g ( x) ,符合题意. 综上,实数 ? 的取值范围是 [ , ??) . (Ⅱ)证明:在(Ⅰ)中,令 ? ?

1 2

【 7 分】 【 8 分】 【 9 分】

1 x(2 ? x) ? ln(1 ? x) . ,得 x ? 0 时,必有 2 2 ? 2x 1 2k ? 1 1? k ? 0 ,则有 . ? ln k 2k (k ? 1) k

设 k ? 0 ,在上面不等式中取 x ? 所以 T2 n ? Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 4n n ? 1 n ? 2 2n 4n
2 n ?1 ?1 1 ? 2 n ?1 2k ? 1 ? ?? ? ?? 2(k ? 1) ? k ? n ? 2k ? k ?n 2k (k ? 1) 2 n ?1 k ? 1 2 n ?1 ? ? ln ? ? [ln(k ? 1) ? ln k ] k k ?n k ?n ? ln 2n ? ln n ? ln 2.

【10 分】

所以 T2 n ? Tn ?

1 ? ln 2 . 4n

【13 分】

第 5 页 共 5 页


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