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同角三角函数基本关系式


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一. 气象学家洛伦兹 1963 年提出一种观点:南美洲亚 创 马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶,偶尔扇动几下 设 翅膀,可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷 情 风。这就是理论界闻名的“蝴蝶效

应”。南美洲亚 景,马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯 引 的龙卷风看来是毫不相干的两种事物,却会有这样 的联系,这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系 入 的观点。既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的, 课 那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的 题 关系!到底是什么关系呢?这就是这节课的课题。

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二. 问题1:回顾三种常用三角函数的定义。 y 角?的终边 复 sin ? ? y cos? ? x 习 r r 其中r ? x ? y ? P ( x, y ) 回 r 顾 tan ? ? y x , O x M 整 合 提 问题2:角α终边与单位圆的交点P的坐标是什么? 高
2 2

P(cos? , sin ? )

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三. 讲 授 新 课 , 公 式 证 明










思考



(一)学生自主探究:
sin 2 90? ? cos2 90? ? ?
sin 2 30? ? cos2 30? ? ? sin 2 45? ? cos2 45? ? ?

? ? 1” ?均等于“ ? ?

从以上过程中,你能发现一般规律了吗?你 能用代数式表示这个规律吗?
sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

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思考



sin30? ?? ? cos30 sin45? ?? ? cos45

? ?

tan30? =? tan45? =?

从以上过程中,你能发现一般规律了吗?你 能用代数式表示这个规律吗?

sin? tan? ? cos?

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证明思 路













在直角三角形 OMP中由勾股定理很 容易得到:

sin2 ? ? cos2 ? ? 1
由正切函数的定义很容易得到:

sin? tan? ? cos?

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恒等 式
α∈



(二).同角三角函数基本关系式
平方关系

{

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

R

商数关系

sin ? ? tan ? cos ?

??

?
2

? k? , k ? Z

方程(组) 思想

知一求二

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几点说明:
1 、此关系式是对同角而言的,与角的表达形式无关.

? 2 ? 如: sin ? cos ? 1, 2 2
2

sin 3? ? tan 3? cos 3?

2 、注意某些变式的运用 1 ? sin 2 ? ? cos2 ?, sin 2 ? ? 1 ? cos2 ?, 如: sin a sin a = cos a t an a , cos a = t an a
2 2 (sin ? ) 3、sin ? 是 的简写形式,与 sin? 不同。

2

4、同一个角的三个三角函数值“知一求二”

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4



导 释

学 练





应用一:求 值 四. 例1 已知 sin ? ? 5 .且?是第二象限的角,求 cos ?和 tan ?的值. 学 以 致 用 , 提 高 能 力

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变式训练1


4 5



导 释

学 练





(1)已知 sin ? ? .且?是第一象限的角,求 cos ?和 tan ?的值. 解得: cos? ? 1 ? ( )2 ?
4 5 3 5
4 sin ? 5 4 tan? ? ? ? cos? 3 3 5

4 (2) 已知 sin ? ? .求 cos ?和 tan ?的值. 5
3 4 当?为第一象限角时,cos ? ? , tan ? ? 5 3
3 4 当?为第二象限角时,cos ? ? ? , tan ? ? ? 5 3

小结:求值时角的范围优先考虑是三角函数解题的一 个基本策略,在学习中要不断渗透,同时要注意分类讨 论数学思想的应用。

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变式训练2













已知tan? ? ? 5, 且?是第二象限的角,求 sin ?和cos?的值

解:由题意和基本三角恒等式,列出方程组
?sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ? ? sin ? ? ?? 5 ? cos? ( 1 ) (2)

由( 2)得sin ? ? ? 5 cos? , 代入( 1 )整理得6 cos2 ? ? 1
因为?是第二象限的角,所以 cos? ? ? sin ? ? 30 6 6 , 代入(2)得 6

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变式训练3













1 已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α= . 5

(1)求 tan α 的值;
1 (2)把 2 用 tan α 表示出来,并求其值. cos α-sin2α

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已知: t an? ? 5,求下列各式的值 . 1 (1) 5 sin ? ? 3 cos? 2 (1) 7 sin ? ? 9 cos? 1 cos2 ? ( 2) (2) 32 4 sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? 3
20 2 2 (3) 2 sin ? ? 3 cos? sin ? ? 5 cos ? (3) 13

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例2 化简













应用二:化 简

sin ? ? cos ? tan ? ? 1

小结:化简的原则是:(1)尽量减少三角函数的种数(一 般是切化弦),(2)遇到分式一般考虑通分

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变式训练:
化简 1. 1 ? sin 2 440?













2. sin ? cos? (tan? ? cot? )

3. 1 ? tan2 ? cos2 ?

?

?

4.已知sin α=2sin β,tan α=3tan β,求cos α.

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五. 课 堂 总 结 , 系 统 把 握













知识方面: 1、两个基本关系式的内容及推导。
2、同角三角函数基本关系式的两种应用。

思想方法: 1、数形结合思想
2、分类讨论的思想 3、转化的思想 4、方程思想

两个公式 、两个应用、 四个思想

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六. 当 堂 检 测 , 巩 固 提 高








, tan ?





? 3? 3 ? ? ? ,求 cos? 1.已知 sin ? ? ,且 2 2 5

cos ? ? ?

4 5

tan ? ? ?

3 4

1 ? ? 2.(2008山西高考)已知 sin ? cos ? ? , 且 ? ? ? , 求 cos ? ? sin ?的值 8 4 2

3 cos? ? sin ? ? ? 2
3.化简

1 ? 2sin 40? cos 40?

? (sin 40? ? cos 40? ) 2 ?| cos 40? ? sin 40? |? cos 40? ? sin 40?

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六. 当 堂 检 测 , 巩 固 提 高













1 ? t an? 1 4、已知 ?? , 1 ? t an? 3 5sin? ? 2cos? 1 2 求( 1 ) ;(2) sin 2? ? cos2?。 5cos? ? 3sin? 4 5

7 ( 1) 12;(2) 25

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七. 作 业 布 置 , 巩 固 落 实













必做题:课时作业

预习应用三-----证明

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