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广东省中山市华侨中学2016届高三3月高考模拟考试数学(文)试卷


2016 年中山市华侨中学模拟考试文科数学试题 2016/3/28
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1)设集合 M ? {x | x ? x} , N ? {x | lg x ? 0} ,则 M ? N ?
2

A. [0,1]
1 2

B. (0,1]

C. [0,1)
x ?1

D. (??,1] , 其中在区间 (0,1)

(2) 给定函数① y ? x , ② y ? log 1 ( x ? 1) , ③ y ?| x ? 1| , ④y?2
2

上单调递减的函数序号是 A.①④ B.②③
3

C.③④

D.①②

(3)设 a, b ? R ,则“ ? a ? b ? b 2 ? 0 ”是“ a ? b ”的 A.充分不必要条件 条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要

?x ? y ? 1 ? (4)设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 3 x ? y 的最小值为 ?2 x ? y ? 4 ?
(A) 11 (B) 3 (C) 2 (D)

13 3

(5)一个袋子中有号码为 1、2、3、4、5 大小相同的 5 个小球,现从袋中任取出一个球,
取出后不放回,然后再从袋中任取一个球,则第一次取得号码为奇数,第二次取得号码为偶 数球的概率为 A. D. 8 5 (6) 一空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为 12π+ ,则正视图与侧视图 3 中 x 的值为 B. C.

A.5
来源: ziy uanku.com

B.4

C.3

D.2

(7) 一个样本容量为 10 的样本数据, 它们组成一个公差不为 O 的等差数列{ an }, 若 a3 =8,

且 a1,a3,a7 成等比数列,则此样本的平均数和中位数分别是

A.13 ,12

B.13 ,13

C.12 ,13

D.13 ,14.

(8)曲线 y= e ?2 x +1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为 A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.1

(9)已知双曲线

x2 y 2 - 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 8 x 有一个公共的焦 2 a b
B. 3 x ? y ? 0 C. x ? 2 y ? 0 D. 2 x ? y ? 0

点 F,且两曲线的一个交点为 P,若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为 A. x ? 3 y ? 0

(10)若 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,执行如图所示 的程序框图,则输出 S 的值为 A. 4 B. 5 C. 7 D. 9

( 11 )已知 S,A , B , C 是球 O 表面上的点, SA ⊥平面 ABC , AB ⊥ BC,SA=AB=l,BC= 2 ,则球 O 的表面积等于 A.4 ? B.3 ? C.2 ? D. ?

(12)若函数 f ? x ? ? 是

sin x ? 2? ,并且 ? a ? b ? ,则下列各结论正确的 x 3 3 a?b ) 2 a?b ) ? f ?b ? 2 a?b D. f ? b ? ? f ( ) ? f ( ab ) 2
B. f ( ab ) ? f (

A. f ? a ? ? f ( ab ) ? f ( C. f ( ab ) ? f (

a?b ) ? f ?a? 2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考 生都必须作答。第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答。
二、填空题:本大概题共 4 小题,每小题 5 分。

(13)数列 {an } 的首项为 3, {bn } 为等差数列且 bn ? an ?1 ? an (n ? N * ) ,若 b3 ? ?2 ,

b10 ? 12 ,则 a8 ?
(14)已知向量

. ,若 .

⊥ ,则 16 +4 的最小值为

x

y

x2 y 2 x (15)已知直线 y ? 与双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a b 2
交于两点,则该双曲线的离心率的取值范围 是 . (16)如图甲, 在 ?ABC 中, AB ? AC , AD ? BC , D 为.垂足, 则 AB 2 ? BD ? BC , 该 结论称为射影定理. 如图乙, 在三棱锥 A ? BCD 中, AD ? 平面 ABC , AO ? 平面 BCD ,

O 为垂足, 且 O 在 ?BCD 内, 类比射影定理, 探究 S ?ABC 、 S ?BCO 、 S ?BCD 这三者之间满足
的关系是 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)( 本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin x, ?1), n ? (cos x,3) (1)当 m // n 时,求

??

?

?? ?

的值;
,函数

(2)已知在锐角 ΔABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,

?? ? ? f ( x) ? (m ? n) ? n ,求

的取值范围.

(18) (本小题满分 12 分) 某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调 查,以计算每户的碳月排放量.若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”,否则称为“非低 碳族”.若小区内有至少 75% 的住户属于“低碳族”,则称这个小区为“低碳小区”,否则称 为“非低碳小区” .已知备选的 5 个居民小区中有三个非低碳小区,两个低碳小区. (Ⅰ)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率; (Ⅱ)假定选择的“非低碳小区”为小区 A ,调查显示其“低碳族”的比例为

1 ,数据如图 1 2

所示,经过同学们的大力宣传,三个月后,又进行了一次调查,数据如图 2 所示,问这时小 区 A 是否达到“低碳小区”的标准?

频率 组距 0.30 0.25 0.20 0.15 0.05

频率 组距 0.46

0.23 0.14 0.10 0.07 1 2 3 4 5 6 月排放量 (百千克/户 户)

O

O

1

2

3

4

5

图1

图2

月排放量 (百千克/户 户)

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(19) (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, PD⊥底面 ABCD, E 是 AB 上一点. 已 知 PD= 2,CD=4,AD= 3. π (Ⅰ)若∠ADE= ,求证:CE⊥平面 PDE; 6 2 21 (Ⅱ)当点 A 到平面 PDE 的距离为 时,求三棱锥 A-PDE 的侧面 7 积.
中华资源 库

(20) (本小题满分 12 分) 已知 F1 , F2 是椭圆

x2 y 2 右焦点, A 是椭圆上位于第一象限内的一点, ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a 2 b2

???? ? ???? ? 2 AF2 ? F1 F2 ? 0 ,若椭圆的离心率等于 . 2
(1)求直线 AO 的方程( O 为坐标原点) ; (2)直线 AO 交椭圆于点 B ,若三角形 ABF2 的面积等于 4 2 ,求椭圆的方程.

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ?

1 3 a 2 x ? x ? 2x ? a ? R ? . 3 2

(1)当 a ? 3 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若对于任意 x ? ?1, ?? ? 都有 f ?( x) ? 2(a ? 1) 成立,求实数 a 的取值范围; (3)若过点 ? 0, ? ? 可作函数 y ? f ? x ? 图象的三条不同切线,求实数 a 的取值范围.

? ?

1? 3?

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则安所做的第一题计分。 作答时请写清题号。
(22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, ?ABC 为直角三角形, ?ABC ? 90 ? ,以 AB 为直径的圆交 AC 于点 E ,点 D 是 BC 边的中点,连 OD 交圆 O 于点 M . (Ⅰ)求证: O, B, D, E 四点共圆; (Ⅱ)求证: 2 DE 2 ? DM ? AC ? DM ? AB .

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) , 在极坐标系 (与 2 ?y ? 5 ? t ? ? 2
直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴) 中, 圆C 的 方程为 ? ? 2 5 sin ? . (Ⅰ)求圆 C 的圆心到直线 l 的距离; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B .若点 P 的坐标为(3, 5 ) ,求 | PA | ? | PB | .

(24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式证明选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 (1)求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? a ? x ? 2 x 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围。
2 2

2016 年高考文科数学模拟试题答案 2016/3/28
一、选择题 (1)A (6)C
来源:www.ziyuanku. com

(2)B (7)B

(3)A (8)B

(4)B (9)D

(5)D (10)C (11)A

(12)D

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【解析】 a ?

aa ? ab ?

a?b b?b sin x ' x cos x ? sin x ,令 ? ? b , f '? x? ? ( ) ? 2 2 x x2

? ? 2? ? ? ? 2? ? g ? x ? ? x cos x ? sin x, 则 g ' ? x ? ? ? x sin x ? 0 在 ? , 所以 g (x) 为? , ? 成立, ?的 ?3 3 ? ?3 3 ?
减函数,所以 g(x)<g(0)=0 ,所以 f ' ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 为 ?

? ? 2? , ?3 3

? ? 的减函数,所以 ?

f ?b? ? f (

a?b ) ? f ( ab ) . 2
(15) ?

二、填空题 (13) ? 3 三、解答题 (17) (本小题满分 12 分) 解: (I)由 m//n,可得 3sinx=-cosx,于是 tanx= ? (14) 8

? 5 ? ? 2 , ?? ? ? ? ?

2 (16) S △ ABC ? S △ BCO ? S △ BCD

1 . 3

1 ? ?1 sin x ? cos x tan x ? 1 2 3 ∴ ? ? ? ? . …………………………4 分 3 sin x ? 2 cos x 3 tan x ? 2 3 ? (? 1 ) ? 2 9 3 (II)∵在△ABC 中,A+B= ? -C,于是 sin( A ? B ) ? sin C ,
由正弦定理知: 3 sin C ? 2 sin A ? sin C , ∴ sin A ?
3 ? ,可解得 A ? . ………………………………………………6 分 2 3

又△ABC 为锐角三角形,于是

?

6

?B?

?

2



∵ f ( x) =(m+n)· n =(sinx+cosx,2)· (sinx,-1)=sin2x+sinxcosx-2

1 ? cos 2 x 1 2 ? 3 ? sin 2 x ? 2 = sin( 2 x ? ) ? , 2 2 2 4 2 ? 2 ? ? 3 2 3 ∴ f (B ? ) ? sin[2( B ? ) ? ] ? ? sin 2 B ? .……………………10 分
=
8 2 8 4 2 2 2



?
6

?B?

?
2



?
3

? 2B ? ? ,

3 2 3 2 3 < sin 2 B ? ≤ ? . 2 2 2 2 2 ? 3 2 3 即 f ( B ? ) ? (? , ? ] .………………………………………………12 分 8 2 2 2
∴ 0<sin2B≤1,得 ? (18)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设三个“非低碳小区”为 A, B, C ,两个“低碳小区”为 m, n, 用 ( x, y ) 表示选定的两个小区, x, y ? ? A, B, C , m, n? , 则从 5 个小区中任选两个小区,所有可能的结果有 10 个, 它们是 ( A, B ) , ( A, C ) , ?2 分

( A, m) , ( A, n) , ( B, C ) , ( B, m) , ( B, n)


, (C , m) , (C , n) , (m, n) .

5

用 D 表示: “选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件,则 D 中的结果 有 6 个, 它们是:( A, m) ,( A, n) , ( B, m) , ( B, n) , (C , m) , (C , n) . 分 故所求概率 P ( D ) ? 分 (II) 由图 1 可知月碳排放量不超过 300 千克的成为“低碳族”. 所以三个月后小区 A 达到了“低碳小区”标准. 分 (19) (本小题满分 12 分) π 解: (Ⅰ)在 Rt△DAE 中,AD= 3,∠ADE= , 6 ∴AE=AD·tan∠ADE= 3· 又 AB=CD=4,∴BE=3. BC 3 π 在 Rt△EBC 中,BC=AD= 3,∴tan∠CEB= = ,∴∠CEB= . BE 3 6 π π 又∠AED= ,∴∠DEC= ,即 CE⊥DE. 3 2 ∵PD⊥底面 ABCD,CE ? 底面 ABCD, ∴PD⊥CE. ∴CE⊥平面 PDE. ??????????????????????? (6 分) 3 =1. 3 ??10 分 由图 2 可知,三个月后的低碳族的比例为 0.07 ? 0.23 ? 0.46 ? 0.76 ? 0.75 ,????11 分 ????12 ?7

6 3 ? . 10 5

??8

(Ⅱ)∵PD⊥底面 ABCD,PD ? 平面 PDE, ∴平面 PDE⊥平面 ABCD. 如图,过 A 作 AF⊥DE 于 F,∴AF⊥平面 PDE, 2 21 ∴AF 就是点 A 到平面 PDE 的距离,即 AF= . 7 在 Rt△DAE 中,由 AD·AE=AF·DE,得 2 21 3AE= · 3+AE 2,解得 AE=2. 7 1 1 6 ∴S△APD= PD·AD= × 2× 3= , 2 2 2 1 1 S△ADE= AD·AE= × 3×2= 3, 2 2 ∵BA⊥AD,BA⊥PD,∴BA⊥平面 PAD, ∵PA ? 平面 PAD,∴BA⊥PA. 在 Rt△PAE 中,AE=2,PA= PD 2+AD 2= 2+3= 5, 1 1 ∴S△APE= PA·AE= × 5×2= 5. 2 2 ∴三棱锥 A-PDE 的侧面积 S 侧= (20) (本小题满分 12 分) 解: (1)由 AF2 ? F1 F2 ? 0 ,知 AF2 ? F1 F2 ,因为椭圆的离心率等于 6 + 3+ 5.??????????(12 分) 2

???? ? ???? ?

2 , 2
--------2 分

所以, c ?

2 1 a, 可得 b 2 ? a 2 ,设椭圆方程为 x 2 ? 2 y 2 ? a 2 2 2

设 A( x0 , y0 ) ,由 AF2 ? F1 F2 ? 0 ,知 x0 ? c ∴ A(c, y0 ) ,代入椭圆方程可得 y0 ?

???? ? ???? ?

1 a 2

--------4 分

∴A(

2 1 2 ,故直线 AO 的斜率 k ? a, a ) 2 2 2 2 x 2

--------5 分

直线 AO 的方程为 y ?

--------6 分

(2)连结 AF1 , BF1 , AF2 , BF2 , 由椭圆的对称性可知, S ?ABF2 所以

? S ?ABF1 ? S ?AF1 F2 ,

--------9 分 -------10 分

1 1 2c a ? 4 2 2 2

又由 c ?

x2 y 2 2 ?1 a 解得 a 2 ? 16, b 2 ? 16 ? 8 ? 8 ,故椭圆方程为 ? 16 8 2

------12

分 (21) (本小题满分 12 分) 解: (1)当 a ? 3 时, f ? x ? ? ? 分
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1 3 3 2 x ? x ? 2 x ,得 f ' ? x ? ? ? x 2 ? 3x ? 2 .???1 3 2

因为 f ' ? x ? ? ? x ? 3 x ? 2 ? ? ? x ? 1?? x ? 2 ? ,
2

所以当 1 ? x ? 2 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增; 当 x ? 1 或 x ? 2 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减. 所以函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ?1, 2 ? ,单调递减区间为 ? ??,1? 和 ? 2, ?? ? .??3 分 (2)方法 1:由 f ? x ? ? ?

1 3 a 2 x ? x ? 2 x ,得 f ' ? x ? ? ? x 2 ? ax ? 2 , 3 2

因为对于任意 x ? ?1, ?? ? 都有 f '( x) ? 2(a ? 1) 成立, 即对于任意 x ? ?1, ?? ? 都有 ? x ? ax ? 2 ? 2(a ? 1) 成立,
2

即对于任意 x ? ?1, ?? ? 都有 x 2 ? ax ? 2a ? 0 成立,????????????4 分 令 h ? x ? ? x ? ax ? 2a ,要使对任意 x ? ?1, ?? ? 都有 h ? x ? ? 0 成立,
2

?? ? 0, ? ?a 必须满足 ? ? 0 或 ? ? 1, ????????????????5 分 ?2 ? ?h ?1? ? 0.

?a 2 ? 8a ? 0, ? ?a 2 即 a ? 8a ? 0 或 ? ? 1, ????????????????6 分 ?2 ? ?1 ? a ? 0.
所以实数 a 的取值范围为 ? ?1,8 ? .?????????????????7 分 方法 2:由 f ? x ? ? ?

1 3 a 2 x ? x ? 2 x ,得 f ' ? x ? ? ? x 2 ? ax ? 2 , 3 2

因为对于任意 x ? ?1, ?? ? 都有 f '( x) ? 2(a ? 1) 成立, 所以问题转化为,对于任意 x ? ?1, ?? ? 都有 ? f '( x) ?max ? 2(a ? 1) .??????4 分

因为 f ? ? x ? ? ? ? x ? ①当

? ?

a a ? a2 ? ? ? 2 ,其图象开口向下,对称轴为 x ? . 2 2? 4

2

a ? 1 时,即 a ? 2 时, f ' ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减, 2

所以 f ' ? x ?max ? f ' ?1? ? a ? 3 , 由 a ? 3 ? 2 ? a ? 1? ,得 a ? ?1 ,此时 ?1 ? a ? 2 .?????????????5 分 ②当

a ? a? ?a ? ? 1 时,即 a ? 2 时, f ' ? x ? 在 ?1, ? 上单调递增,在 ? , ?? ? 上单调递减, 2 ? 2? ?2 ?
2 ?a? a ? ?2, ? ?2? 4

所以 f ' ? x ?max ? f ' ?



a2 ? 2 ? 2 ? a ? 1? ,得 0 ? a ? 8 ,此时 2 ? a ? 8 .???????????6 分 4

综上①②可得,实数 a 的取值范围为 ? ?1,8 ? .????????????????7 分 (3)设点 P ? t , ? t 3 ?

? ?

1 3

a 2 ? t ? 2t ? 是函数 y ? f ? x ? 图象上的切点, 2 ?
2

则过点 P 的切线的斜率为 k ? f ' ? t ? ? ?t ? at ? 2 , ?????????????8 分 所以过点 P 的切线方程为 y ? t 3 ? 因为点 ? 0, ? ? 在切线上,

1 3

a 2 t ? 2t ? ? ?t 2 ? at ? 2 ? ? x ? t ? .?????9 分 2

? ?

1? 3?

1 1 3 a 2 ? t ? t ? 2t ? ? ?t 2 ? at ? 2 ? ? 0 ? t ? 3 3 2 2 3 1 2 1 即 t ? at ? ? 0 .???????????10 分 3 2 3
所以 ? 若过点 ? 0, ? ? 可作函数 y ? f ? x ? 图象的三条不同切线, 则方程 分

? ?

1? 3?

2 3 1 2 1 t ? at ? ? 0 有三个不同的实数解.??????????????10 3 2 3

2 3 1 2 1 t ? at ? ,则函数 y ? g ? t ? 与 t 轴有三个不同的交点. 3 2 3 a 2 令 g ? ? t ? ? 2t ? at ? 0 ,解得 t ? 0 或 t ? . 2
令 g ?t ? ?

因为 g ? 0 ? ?

1 1 3 1 ?a? ,g? ? ? ? a ? , 3 24 3 ?2?

所以必须 g ?

1 3 1 ?a? ? ? ? a ? ? 0 ,即 a ? 2 . 24 3 ?2?

所以实数 a 的取值范围为 ? 2, ?? ? .??????????????????12 分

(22) (本小题满分 10 分) 解: (1)连接 BE ,则 BE ? EC 又 D 是 BC 的中点,所以 DE ? BD
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?????????????????1 分 ?????????????????3 分

又 OE ? OB, OD ? OD ,所以 ?ODE ? ?ODB ,所以 ?OBD ? ?OED ? 90? ??????????????????????5 分

故 D, E , O, B 四点共圆.

(2) 延长 DO 交圆于点 H ,

? DE 2 ? DM ? DH ? DM ? ( DO ? OH ) ? DM ? DO ? DM ? OH ????????8 分
1 1 ? DE 2 ? DM ? ( AC ) ? DM ? ( AB) ,即 2 DE 2 ? DM ? AC ? DM ? AB ??10 分 2 2

(23) (本小题满分 10 分) 解: (1)由 ? ? 2 5 sin ? 得 x 2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0 ,即 x 2 ? ( y ? 5 ) 2 ? 5

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 由? 得x ? y ?3? 5 ? 0 2 ?y ? 5 ? t ? ? 2
所以 d ?

5 ?3? 5 2

?

3 2 ???????4 分 2
2 2 2 2 t) ? ( t) ? 5 2 2

(2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 (3 ? 即 t ? 3 2t ? 4 ? 0 ,由于 ? ? (3 2 ) 2 ? 4 ? 4 ? 1 ? 0
2

故可设 t1 , t 2 是上述方程的两实根,所以 ? 1

?t ? t 2 ? 3 2 ?t1t 2 ? 4

,又直线 l 过点 p (3, 5 ) ,故由上式

及 t 的几何意义得: PA ? PB ? t1 ? t 2 ? t1 ? t 2 ? 3 2 ???????10 分

(24) (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 7 , 令 x ? 1 ? 0,x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 1,x ? ?2 ,这就是两个分界点。把全体实数分成 3 个区间。 不等式的解集是以下不等式组解集的并集:

?x ? 1 ?? 2 ? x ? 1 ? x ? ?2 ,或 ? ,或 ? ??????3 分 ? ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 7
解得函数 f ( x) 的解集为 (??,?4) ? (3,??) ; (Ⅱ)不等式 f ( x) ? 3 即 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 8 , ????????????5 分

? x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 ,??????????8 分
? 不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 8 解集是 R,? a ? 8 ? 3,

? a 的取值范围是 (??,-5] .??????????????????????10 分


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