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2011年高一数学暑假作业及答案(人教版)


复习部分 作业 1 直线与圆的方程(一)


1. ( 09 年重庆高考)直线 y ? x ? 1 与圆

x2 + y 2 - 2x + 4y = 0 截得最长弦所在的
直线方程为( A. 3x - y - 5 = 0 C. x + 3y - 3 = 0 ) B. 3x + y - 7 = 0 D. x - 3y + 1 = 0

x2 ? y 2 ? 1的位置关系为(



A.相切 B. 相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 2.方程 x2+y2+2ax-by+c=0 表示圆心为 C(2, 2) ,半径为 2 的圆,则 a、b、c 的值 依次为( ) A.2、4、4; B.-2、4、4; C.2、-4、4; D.2、-4、-4 3(2011 年重庆高考)圆心在 y 轴上,半径 为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A. x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 B. x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 )

9. ( 2011 年 四 川 高 考 ) 圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 0 的圆心坐标是 10.圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 和

x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的公共弦所在直线方程
为_ ___. 11.(2011 年天津高考)已知圆 C 的圆心是 直线 x ? y ? 1 ? 0 与 x 轴的交点,且圆 C 与 直线 x ? y ? 3 ? 0 相切,则圆 C 的方程

C. ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 D. x2 ? ( y ? 3)2 ? 1 4.直线 3x-4y-4=0 被圆(x-3)2+y2=9 截得的弦 长为( ) A. 2 2 B .4 C. 4 2 D .2 2 5. M(x0,y0)为圆 x +y2=a2(a>0)内异于 圆心的一点,则直线 x0x+y0y=a2 与该圆的位 置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交 6 、圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 关于直线

为 . 12(2010 山东高考)已知圆 C 过点 (1, 0) , 且圆心在 x 轴的正半轴上, 直线 l : y ? x ? 1 被该圆所截得的弦长为 2 2 ,则圆 C 的标 准方程为____________ 13. 求过点 P (6, -4) 且被圆 x ? y ? 20
2 2

2 x ? y ? 5 ? 0 对称的圆的方程是
A. ( x ? 7) ? ( y ? 1) ? 1
2 2



截得长为 6 2 的弦所在的直线方程. ).

B. ( x ? 7) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

C. ( x ? 6) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

D. ( x ? 6) ? ( y ? 2) ? 1 2 2 2 2 7、两圆 x +y -4x+6y=0 和 x +y -6x=0 的连心线方程为( ).
2 2

A.x+y+3=0 C.3x-y-9=0 8. 过 点

B.2x-y-5=0 D.4x-3y+7=0 直 线 中 , 被

的 , 1 (2 )

1

14、已知圆 C 的方程为 x2+y2=4. (1)直线 l 过点 P(1,2), 且与圆 C 交于 A、 B 两点,若|AB|=2 3,求直线 l 的方程; → (2)圆 C 上一动点 M(x0,y0),ON=(0, → → → y0),若向量OQ=OM+ON,求动点 Q 的轨 迹方程

"人"的结构就是相互支撑,"众"人的事业需要每个人的参与。

作业 2

直线与圆的方程(二)


1.点 (1,1)在圆( x ? a) 2 ? ( y ? a) 2 ? 4 的内部,则 a 的取值范围是( A. ? 1 ? a ? 1 B. 0 ? a ? 1 C. a ? ?1或a ? 1 D . a ? ?1
2 2

2.(09 年上海高考)点 P(4,-2)与圆 x ? y ? 4 上任一点连续的中点轨迹方程是( ) A. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

B. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

C. ( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 4
2 2

D. ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 1
2 2

3.(09 年陕西高考)过原点且倾斜角为 60 ? 的直线被圆 x ? y ? 4 y ? 0 所截得的弦长为
2 2

A. 3

B.2
2 2

C. 6

D.2 3
2 2

4.已知方程 x +y +4x-2y-4=0,则 x +y 的最大值是 ( A.9 B.14 C.14- 6 5 D.14+ 6 5

)

5、 (09 年辽宁高考)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上, 则圆 C 的方程为( ) A. ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 2
2 2

B. ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

2

C. ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 D. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 c 6、两圆相交于两点(1,3)和(m,1),两圆的圆心都在直线 x-y+ =0 上,则 m+c 的值是 2 ( ) A.-1 B.2 C .3 D.0 7.(2011 安徽)若直线 ?x ? y ? a ? ? 过圆 x? ? y ? ? ?x ? ? y ? ? 的圆心,则 a 的值为( A. ? 1 B.1 C. 3 D. ? 3 2 8.(09 年广东高考)设圆 C 与圆 x2+ (y-3) =1 外切, 与直线 y =0 相切, 则 C 的圆心轨迹为( A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 )

)

9. (09 年天津高考) 若圆 x 2 ? y 2 ? 4 与圆 x 2 ? y 2 ? 2ay ? 6 ? 0(a ? 0) 的公共弦长为 2 3 , 则 a=________. 10.(09 年广东高考)以点(2,?1 )为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是 .

11. ( 09 年陕西高考)过原点且倾斜角为 60 ? 的直线被圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 所截得的弦长 为 . 3 12、过点 P(-3,- )且被圆 x2+y2=25 所截得的弦长为 8 的直线方程为__________. 2 13、已知圆 C 的圆心在直线 l1:x-y-1=0 上,与直线 l2:4x+3y+14=0 相切,且截得直 线 l3:3x+4y+10=0 所得弦长为 6,求圆 C 的方程.

3

14.(09 年湖南高考)已知圆 C : x2 ? y 2 ? 12, 直线 l : 4 x ? 3 y ? 25. (1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为? (2) 圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为 ?

4

挫折其实就是迈向成功所应缴的学费。

作业 3

算法初步

1、流程图

表示的是(



A.终端框(起始框) 、 处理框、判断框 B.判断框、输入框、判断框 C.终端框(起始框) 、 判断框、处理框 D.输入框、处理框、判断框 2、算法的三种基本结构是 ( ) A. 顺序结构、模块结构、条件结构 B. 顺序结构、循环结构、模块结构 C. 顺序结构、条件结构、循环结构 D. 模块结构、条件结构、循环结构 3、计数变量、累加(积)变量出现在下列那种结构中( ) A 判断结构 B 顺序结构 C 条件结构 D 循环结构 4、下列给出的赋值语句中正确的是( ) A.3=A B. M=-M C. B=A=2 D.

x? y ?0

5. 给出以下四个问题,①输入一个数 x,输出它的绝对值.②求周 长为 6 的正方形的面积; ③求三个数 a,b,c 中的最大数.④求函数
? x ? 1, x ? 0, 的函数值 . f ( x) ? ? x ? 2, x ? 0

其中不需要用条件语句来描述其算

法的有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 6(2011 辽宁)执行右面的程序框图,如果输入的 n 是 4,则输 出的 P 是( ) A.8;B.5;C.3;D.2 7.(2011 天津)阅读右边的程序框图,若输出 s 的值为 ?7 ,则 判断框内可填写( ) . i ? 3? i ? 4? A. B. C. i ? 5? D. i ? 6? 8(2010 天津文数)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则 输出 s 的值为( ) A. -1 B.0 C.1 D.3 9.在数学中,算法通常是指按照 解决一类 问题的 的步骤. 描述算法的方法通常有: (1)自然语言; (2) ; (3)伪代码.

5

(7 题) 10、算法的 5 大特征分别是: (1)有 0 到多个输入; (2) (4)有限性; (5) . 11(2010 山东高考)执行左图所示流程框图,若 输入 x ? 4 ,则输出 y 的值 为____________________.

(8 题) ; (3)可行性;

12、 (2011 全国高考) 执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是________. 12 题

13、观察下面框图表示了怎样的算法。

6

14、为了节约用水,学校改革澡堂收费制度,实行计时收费,30 分钟以内,每分钟收费 0.1 元,30 分钟以上每分钟 0.2 元,请设计算法,完成澡堂计费工作,要求输入时间,输出费用。

“我反复思索好几个月,好几年;有九十九次都是错的,而第一百次我对了”——爱因斯坦

作业 4 统计
1. 某校高一级有 932 名学生, 现在需要抽取 86 名学生的期末数学成绩作为样本进行统计分 析。下面说法正确的是: ( ) A、这 932 名学生是一个总体 B、这 86 名学生是一个样本 C、每个学生是一个个体 D、这个样本的容量为 86 2.从 932 人中抽取一个样本容量为 100 的样本,采用系统抽样的方法则必须从这 932 人中 剔除( )人 A、16 B、24 C、32 D、48 3. 两个样本,甲:5,4,3,2,1;乙:4,0,2,1,-2. 那么样本甲和样本乙的波动大小 情况是( ) A.甲、乙波动大小一样 B. 甲的波动比乙的波动大 C. 乙的波动比甲的波动大 C. 甲、乙的波动大小无法比较 4. 为了了解 1200 名学生对学校某项教改试验的意见, 打算从中抽取一个容量为 40 的样本, 考虑用系统抽样,则分段的间隔 k 为( ) A.40 B. 30 C. 20 D. 12 5. 一批热水器共有 98 台,其中甲厂生产的有 56 台,乙厂生产的有 42 台,用分层抽样从 中抽出一个容量为 14 的样本,那么甲、乙两厂各抽得的热水器的台数是( ) A.甲厂 9 台,乙厂 5 台 B. 甲厂 8 台,乙厂 6 台 C. 甲厂 10 台,乙厂 4 台 D. 甲厂 7 台,乙厂 7 台 6.下列叙述中正确的是( ) A.从频率分布表可以看出样本数据对于平均数的波动大小 B. 频数是指落在各个小组内的数据 C. 每小组的频数与样本容量之比是这个小组的频率 D. 组数是样本平均数除以组距 7. (10 山东高考文)在某项体育比赛中一位同学被评委所打出的分数如下: 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均分值为和方差分别为( )

7

A. 92,2 B. 92 ,2.8 C. 93,2 D. 93,2.8 8. (08 山东高考文)从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如表,则这 100 人成 绩的标准差为( ) 分数 人数 A. 3 B. 2 10
5

5 20

4 10

3 30

2 30

1 10

C.3

D. 8 5

9.(11 山东高考文)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表:

? 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额 ? ?a ? ? bx ? 中的 b 根据上表可得回归方程 y
为( ) B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元

A.63.6 万元

10. (山东高考文)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300 名学生,为 了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调查,应 在丙专业抽取的学生人数为 .

11、观察新生婴儿的体重,其频率分布直方图如图: 则新生婴儿体重在(2700,3000)的频率为______________________

12、 已知样本 99,100,101,x,y 的平均数是 100,方差是 2,则 xy=_____________ 13、如图,是某单位职工年龄(取正整数)的频数分布图,根据图形提供的信息,回答下列 问题(直接写出答案) 注:每组可含最低值,不含最高值 (1)该单位职工共有多少人? (2)不小于 38 岁但小于 44 岁的职工人数占职工总人数 的百分比是多少? (3)如果 42 岁的职工有 4 人,那么年龄在 42 岁以上的 职工有几人?

8

14、 对甲、乙的学习成绩进行抽样分析,各抽 5 门功课,得到的观测值如下:

问:甲、乙谁的平均成绩最好?谁的各门功课发展较平衡?

凡事要三思,但比三思更重要的是三思而行。

作业 5 概率(一)
1.下列说法正确的是( ) A. 任何事件的概率总是在(0,1)之间 B. 频率是客观存在的,与试验次数无关 C. 随着试验次数的增加,频率一般会越 来越接近概率 D. 概率是随机的,在试验前不能确定 2. 抛掷一枚质地均匀的硬币, 如果连续抛掷 1000 次,那么第 999 次出现正面朝上的概 率是( ) A. A 与 C 互斥 B. B 与 C 互斥 C. 任何两个均互斥 D. 任何两个均不互斥 5.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,则出现两 个正面朝上的概率是( )

A.

1 2 1 3

B.

1 4 1 8

A.

1 999 999 1000

B.

1 1000 1 2

C.

D.

C.

D.

6.(2010 北京文数)从{1,2,3,4,5}中随机 选取一个数为 a, 从{1,2,3}中随机选取一个 数为 b,则 b>a 的概率是

3.若 A 与 B 是互斥事件,其发生的概率分 别为 p1 , p2 , 则 A、 B 同时发生的概率为 ( ) A. p1 ? p2 C. 1 ? p1 ? p2 B. p1 ? p 2 D. 0

4 5 2 (C) 5
(A)

3 5 1 (D) 5
(B)

7.在等腰直角三角形 ABC 中,在斜边 AB 上任取一点 D,则 AD 的长小于 AC 的长的 概率为( ) A.

4.从一批产品中取出三件产品,设 A=“三 件产品全不是次品” ,B=“三件产品全是次 品” ,C=“三件产品不全是次品” ,则下列结 论正确的是( )

1 2

B. 1 ?

2 2

9

C.

2 2

D.

2

8. (2009 辽宁卷文) ABCD 为长方形, AB=2, BC=1, O 为 AB 的中点, 在长方形 ABCD 内随 机取一点, 取到的点到 O 的距离大于 1 的概 率为 14. (2010 山东文数) 一个袋中装有四个 形状大小完全相同的球, 球的编号分别为 1, 2,3,4. (Ⅰ)从袋中随机抽取两个球,求取出的 球的编号之和不大于 4 的概率; (Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编 号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中 随机取一个球,该球的编号为 n ,求 n ? m ? 2 的概率.

? 4 ? C. 8
A.

? 4 ? D. 1 ? 8
B. 1 ?

9.(2009 湖北卷文)甲、乙、丙三人将参加 某项测试,他们能达标的概率分别是 0.8、 0.6 、 0.5 , 则 三 人 都 达 标 的 概 率 是 概率是 , 三人中至少有一人达标的 。

10. 某小组有三名女生, 两名男生, 现从这 个小组中任意选出一名组长, 则其中一名女 生小丽当选为组长的概率是___________. 11. 某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成, 现从中选出 2 人担任正副班长, 其中至少有 1 名女生当选的概率是______________. 12. (2009 安徽卷文) 从长度分别为 2、 3、 4、 5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条 线段为边可以构成三角形的概率是 ________。 13.从含有两件正品 a,b 和一件次品 c 的 3 件产品中每次任取一件,连续取两次,求取 出的两件产品中恰有一件是次品的概率 . (1)每次取出不放回; (2)每次取出后放回.

10

为明天做准备的最好方法就是集中你所有智慧,所有的热忱,把今天的工作做得尽善尽美

作业 6 概率(二)
1. 给出下列四个命题: ①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一 个盒子有一个以上的球”是必然事件 ② “当 x 为某一实数时可使 x 2 ? 0 ” 是不可 能事件 ③“明天广州要下雨”是必然事件 ④“在 100 个灯泡中,有 5 个次品,现取出 5 个,5 个都是次品”是随机事件, 其中正确命题的个数是( ) A.0 B. 1 C. 2 D. 3 2.投掷两粒均匀的骰子,则出现两个 5 点 的概率为( ) C.

1 3

D.

2 3

6.从五件正品,一件次品中随机取出两件, 则取出的两件产品中恰好是一件正品, 一件 次品的概率是( ) A. C.

1 2

B. D.

1 3
2 5

2 3

7.(2010 安徽文数)甲从正方形四个顶点中 任意选择两个顶点连成直线, 乙从该正方形 四个顶点中任意选择两个顶点连成直线, 则 所得的两条直线相互垂直的概率是( )

1 36 1 C. 6
A.

1 18 5 D. 12
B.

3 18 5 C. 18
A.

4 18 6 D. 18
B.

3.从{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一个,这 个 集 合 恰 是 集 合 {a,b,c} 的 子 集 的 概 率 是 ( )

8.(2009 山东卷理)在区间[-1, 1]上随机取一 个数 x, cos 率为

3 5 1 C. 4
A.

B.

2 5 1 D. 8

?x 1 的值介于 0 到 之间的概 2 2
2

4. (2011 全国文)有 3 个兴趣小组,甲、乙 两位同学各自参加其中一个小组,每 位同学参加各个小组的可能性相同, 则这两位同学参加同一个兴趣小组的 概率为( ) A. C.

1 3 1 C. 2
A.

B.

? 2 D. 3

1 3

B. D.

1 2

2 3

3 4
2 2

9.10 件产品中有 3 件次品,从中任取两件 检验,则至少有 1 件次品的对立事件是 _________ 10.同时抛掷 3 枚硬币,恰好有两枚正面向 上的概率为_______________ 11.(2009 江苏卷)现有 5 根竹竿,它们的 长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8, 2.9, 若从中一次随机抽取 2 根竹竿, 则它们 的长度恰好相差 0.3m 的概率为 .

5.(2011 湖南文).已知圆 C : x ? y ? 12, 直线 l : 4 x ? 3 y ? 25.圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为( A. )

1 6

B.

1 2
11

12. 在平面直角坐标系 xoy 中, 设 D 是横坐 标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的 区域,E 是到原点的距离不大于 1 的点构成 的区域,向 D 中随机投一点,则落入 E 中

的概率 14.甲、 乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两 艘轮船的码头, 他们在一昼夜内到达的时间 是等可能的, 如果甲船的停泊时间是 4 小时, 乙船的停泊时间是 2 小时 ,求他们中一艘 船停泊位时必须等待一段时间的概率。

13.(2011 全国文)甲、乙两校各有 3 名教 师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (I) 若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名 教师性别相同的概率; (II)若从报名的 6 名教师中任选 2 名,写 出所有可能的结果, 并求选出的 2 名教师来 自同一学校的概率.

12

失去金钱的人损失甚少,失去健康的人损失极多,失去勇气的人损失一切。

作业 7
1. (09 年全国高考)sin585 的值为 ( (A) ?
o

三角函数
5π 个长度单位 12 5π B.向右平移 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6 5π D.向右平移 个长度单位 6
A.向左平移
p 1 的 x 的集合是 7. 满 足 不 等 式 sin 骣 ? x- ÷ ÷ ? ÷> ? 桫 4 2



2 2 3 2

(B)

2 2 3 2

(C) ?

(D)

2.如果角θ 的终边经过点 (-1,2),则 tan(3 π -θ )的值是( A. ? 1 C.2 3. 如 果
2

) B. ? 2 D. 1


镲 镲 铪


12 12 Z

5p 13p 镲 A. 禳 x | 2k p + < x < 2k p + ,k 睚

2

禳 p 7p B. 镲 x | 2k p < x < 2k p + ,k 睚 镲 12 12 镲 铪

Z

c o? s ?A () ? ?


1 2

, 那 么

p 5p 镲 C. 禳 x | 2k p + < x < 2k p + ,k 睚 镲 镲 铪 6 6

Z

sin(

?
2

? A) ? (

A. ? 1 2 C. ? 3
2

B. 1 2 D. 3
2

禳 p 镲 x | 2 k p < x < 2k p + , k Z 睚 镲 D. 镲 6 铪 禳 5p 镲 ?睚 x | 2k p < x < (2k + 1) p , k 镲 6 镲 铪
3 4

.
Z

8. 函 数 y ? 4 s i n1( x ? ? ) 的 单 调 减 区 间 是 ___________________________. 9.将函数 y=f(x)的图象上的各点的纵坐标 伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),再将图 象上的各点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐
1 2

4. 已 知 t an? ? ? 是( A. 1
3

1 sin ? cos ? 的 值 , 求 1? 2 2 2 sin ? ? cos 2 ?
C. ? 1

) B.3
3

D.3

标不变),然后再将所得的图象向左平移

5.( 08 年安徽高考)函数 y ? sin(2 x ? ? ) 图像
3

? , 3

的对称轴方程可能是( A. x ? ? C. x ? ?


12

恰好得到函数 y = sinx 的图象 , 则 f(x)= ______________ . 10.给出下列命题: ①存在实数 x,使 sinx+cosx=2; ②若α 、β 是第一象限角,且α >β ,则 cos α <cosβ ;

?
6

B. x ? ? ? D. x ?

?
12

6

6.( 08 年 全 国 高 考 ) 为 得 到 函 数
π? ? y ? cos ? 2 x ? ? 的 图 像 , 只 需 将 函 数 3? ?

y ? sin 2 x 的图像
13

2 ? x+ )是偶函数; 3 2 ? 5? ④函数 f(x)=sin(2x+ )图象关于点( ,0) 12 6
③函数 y=sin(

对称.其中正确命题的序号是_______. (把正 确命题的序号都填上) 11. ( 08 年 山 东 高 考 ) 已 知 函 数 f(x) =

? 1 , (0 ? ? ? ? ) ,其图像过点 ( , ) . 6 2
(Ⅰ) 求 ? 的值; (Ⅱ) 将函数 y ? f ( x) 的图像上各点的

π 2sin( ?x ? ? - )为偶函数,且函数 y=f(x) 6 π 图象的两相邻对称轴间的距离为 . (Ⅰ) 2 π 求 f( )的值; (Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象 8 π 向右平移 个单位后, 再将得到的图象上各 6
点的横坐标伸长到原来的 4 倍, 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x)的图象, 求 g(x)的单调递减 区间

横坐标缩短到原来的

1 ,纵坐标不变,得到 2

函 数 y ? g ( x) 的 图 像 , 求 函 数 g ( x) 在

[0, ] 上的最大值和最小值. 4

?

12. ( 10 年 山 东 高 考 ) 已 知 函 数
1 1 ? f ( x) ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ? sin( ? ? ) 2 2 2
“我反复思索好几个月,好几年;有九十九次都是错的,而第一百次我对了”——爱因斯坦

14

作业 8
1. 下列命题中正确的是( A. 若 | a |?| b | ,则 a ? b )

平面向量
6.若 a =(1 ,2) ,b =(-3 ,2) ,且(ka + b) ∥ (a - 3b) , 则实数 k 的值是( )

?

?

?

?

? ? ? ? B. 若 | a |?| b | ,则 a ? b
C. a ? b ,则 a // b

?

?

?

?

1 3 11 C. 9
A. ?
?

B. 19 D. ? 2

? ? ? ? ? ? D. a // b , b // c ,则 a // c
2.下列向量中,能作为表示它们所在平面 的内所有向量基底的是( A. a ? (0,0),b ? (1,2) B. a ? (5,7),b ? (?1,2) C. a ? (3,5),b ? (6,10) D. a ? ( 2,?3), b ? ( ,? ) 3.在四边形 ABCD 中,若AC =AB +AD , 则( ) A.ABCD 是矩形 B.ABCD 是菱形 C.ABCD 是正方形 D.ABCD 是平行四边形 4. 已 知 A(1 ,?2) , B(2 , 1), C (0, k ) 三 点 共 线,则 k 的值是( A. 7 B. ? 5 )
→ → →

7. 与向量 a ? (?6,8) 垂直的单位向量坐标 为( )

)

A. (8,6) 或 (?8,?6) B. (?6,8) 或 (6,?8)

4 3 4 3 5 5 5 5 3 4 3 4 D. ( ? , ) 或 ( ,? ) 5 5 5 5
C. ( , ) 或 (? ,? )

1 2

3 4

8. 已知向量 AB 与单位向量 e 同向, 且 A(1, - 2) , B( - 5 , 2 3 - 2) ,则 e 的坐标为 ( A.( C.( )
3 1 , ) 2 2 3 1 ,- ) 2 2
→ →
?

?

?

B.(- D.(-

3 1 , ) 2 2 3 1 , ) 2 2

9. 已知向量 a 、 b 的模分别为 3 和 7,若


5 C. 3

a 、 b 的方向相同 , 则 |2 a - b |=_______;
→ → → →







D. 3 若 a 、 b 的夹角为 600,则|2 a - b |=_____; 若 a 、 b 的 夹 角 为 1200, 则 |2 a + b
→ → → →

5.已知 P 1 (2 ,?1), P 2 (0, 5), 且点 P 在线段

P 1P 2 的延长线上,且 | P 1P 2 |? 2 | PP 2 | ,则
点 P 的坐标( A. (?2, 11) C. ( ) B. (

|=__________. 10.已知向量 a =(1,2) , b =(-2,3) ,
? ? ?

4 ,1) 3

2 , 3) 3

c =(4,1) ,用 a 和 b 表示 c ,则 c =__________.

?

?

?

D. (?1,8)
15

?

11. 已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ? ,且

?

?

14 . 四 边 形 ABCD 中 , BC // AD ,

| a |? 3, | b |? 5 ,则 b 在 a 方向上的投影是
______. 12.(2011 北京文) 已知向量 a =( 3 , 1) , b =(0,-1) , c =(k, 3 ).若 a - 2 b 与 c 共线,则 k=___________ 13.设 M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交 点,求证:对任意一点 O,有 OM = + OB + OC + OD )
→ → → →
? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

AB ? (6 , 1)



BC ? ( x , y)



CD ? (?2 , ? 3) .
(1) 求 x 与 y 的关系式;(2) 若 AC ? BD , 求 x、y 的值及四边形 ABCD 的面积.

1 → ( OA 4

16

作业 9 三角恒等变换
tan ? sin(? ? ? ) m 1. 如果 等于 ? ,那么 tan ? sin(? ? ? ) n
( A. ) B.

1 角,tanβ= ,β 是第三象限角,则 cosα 的 2 值等于( 7 2 A. 10 C. 2 2 ) 7 2 B.- 10 D.— 2 2

m?n m?n n?m C. n?m

m?n m?n n?m D. n?m

1 8.已知α ∈(0,π ),且 sinα +cosα = , 5 则 tanα 的值为 ( 4 A.- 3 3 C.- 4 9. 若n i s ) 4 3 B.- 或- 3 4 4 3 D. 或- 3 4

2 . sin163° sin223°+ sin253° sin313°等 于 ( ) 1 B. 2 3 D. 2 )

1 A.- 2 3 C.- 2

?π ? 3 o s 2 则c ? ?? ? ? , ?2 ? 5

? ? ______.

2cos10°-sin20° 3. 的值是 ( sin70° 1 A. 2 C. 3 B. 3 2

10 . 给 出 下 面 的 3 个 命 题 : (1)函数

y ?| s i n( 2x ?

?
3

) | 的最小正周期是

D. 2

函数 y ? sin(x ?

?π ? ?π ? cos ? ? x ? ? sin ? ? x ? 4 4 ? ? ? ? 的值为 4.化简: π π ? ? ? ? cos ? ? x ? ? sin ? ? x ? ?4 ? ?4 ?

x? 递增; (3)

5? 5? ) 是函数 y ? sin( 2 x ? 4 2

3? 3? ) 上单调 ) 在区间 [? , 2 2

? ; (2) 2

的图象的一条对称轴 .其中正确命题的序号 是 .

A. tan

x 2

B. tan 2 x D. cot x

C. ? tan x

5.在△ABC 中,如果 sinA=2sinCcosB,那 么这个三角形是 A.锐角三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形 D.等边三角形

11. ( 08 年 全 国 考 题 ) 已 知 函 数 ?? ?? ? ?? ? ? f ( x) ? cos? 2 x- ?+2 sin? x- ? sin? x+ ? 3? 4? ? 4? ? ? (I) 求函数 f ? x ? 的最小正周期和图象的对 称轴方程.

6.若 A,B 为锐角三角形的两个锐角,则

( II )求函数 f ? x ? 在区间 ? ? 值域.

? ? ?? 上的 , ? 12 2 ? ?

tan A tan B 的值(
A.不大于 1 C.等于 1 7.已知 sin(α-β)=

) B.小于 1 D.大于 1 10 ,α-β 是第一象限 10
17

“自然界的书是用数学的语言写成的”

12.









f ( x) ? 2cos 2 x ? sin 2 x ? 4cos x
(1)求

必修 5 第一章 解三角形
1.1

f ( ) 值的; 3

?

正余弦定理

编写:金刚

(2)求 f ( x) 的最大值和最小值。

一、基础知识 1.正弦定理:在△ABC 中,

a b c ? ? ? ______, sin A sin B sin C
变形: (1) a ? 2 R sin A ,_____________, ________________. (2) sin A ?

a ,______________, 2R

________________. 2.三角形的面积公式:

1 s ? ab sin C =_________=_________ 2
3.余弦定理: (1) a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A , ______________________, ______________________.
2 2 2 (2) 变形: cos A ? b ? c ? a , 2bc

___________________, ___________________ . 二、基本题型 题型一:正弦定理 练 习 1 、 . 在 △ ABC 中 , 已 知 a ? 2 ,

b ? 2 2 ,∠A= 300 ,求∠B.

18

练 习 2 、 △ ABC 中 a ? 6 , b ? 6 3 , A= 30 ,求边 c .
0

练习 5 、在△ ABC 中,已知 A>B>C ,且 A ? 2C ,b=4, a + c =8,求 a , c 的长。

三、预习效果检测 题型二:三角形的面积公式 练习 3、 .在△ ABC 中, 若 A ? 30 ,a ? 8 , 1.满足 a =4,A= 45 ,B= 60 的△ABC 的 边 b 的值为( A C ) B D
0 0

b ? 8 3 ,求 S?ABC .

2 6
3 ?1

2 3?2 2 3 ?1

2.在△ABC 中,A∶B∶C=3∶1∶2,则 a∶b∶c= ( ) A . 1: 2 : 3 B . 3 : 2 :1 3.根据下列条件,判断三角形解的情况, 其 中 正 确 的 是 ( ) A. a ? 8 , b ? 16 , A ? 30 ,有两解 题型三:余弦定理 练习 4、如图:在四边形 ABCD 中,已知 AD ⊥ CD , AD=10 , AB=14 , ∠ BDA= 60 , ∠ BCD= 135 ,求 BC 的长。
0 0

B. a ? 18 , b ? 20 , A ? 60 ,有一解 C. a ? 5 , b ? 2 , A ? 90 ,无解 D. a ? 30 , b ? 25 , A ? 150 ,有一解 4.在△ABC 中,若 a ? b ? c ? bc ,
2 2 2

则∠A=( A 30
0

) B 60
0

C 120

0

D 150

0

5.三角形三边的比为 2 : 3 : 4 ,则三角形的 形状为( )

19

A 锐角三角形 C 钝角三角形

B 直角三角形 D 都有可能

6.在△ABC 中, cos A ?

1 , a ? 3 ,则 3
D
2 2

bc 的最大值为(
A 2 B

) C 3
2

3

9 4
10.在△ABC 中,已知 A>B>C,且 A ? 2C , b=4, a + c =8,求 a , c 的长.

7.在△ABC 中, b ? 4a sin B ,则∠ A= ____ 8.在三角形 ABC 中, a 、 b 、 c 所对的角 分别为 A、 B、 C, 且 则△ABC 是____ 9.在△ABC 中,b ? 求 a 和 A、C.

a n s i B

?

b n s i C

?

c n s i A



三角形.

3 , B= 600 ,c =1,

1.2 应用举例
一、基础知识 1、正弦定理的内容: 2、余弦定理的内容: 3、正余弦定理解决问题的常见题型:测量 距离、高度、角度问题,计算面积,航海、 物理问题, 判断三角形形状问题及证明恒等 式问题等等。 4、实际问题中的有关术语、名称: (1)仰角和俯角: (2)方位角: (3)坡度: 二、基本题型 情景引入:前面引言第一章“解三角 形”中,我们遇到这么一个问题, “遥不 可及的月亮离我们地球究竟有多远呢?” 在古代, 天文学家没有先进的仪器就已经 估算出了两者的距离, 是什么神奇的方法 探索到这个奥秘的呢?现在我们用正、 余 弦定理来研究此类测量距离以及其它相 关问题。 题型一:测量问题 例 1、如图,设 A、B 两点在河的两岸,要测 量两点之间的距离,测量者在 A 的同侧, 在所在的河岸边选定一点 C, 测出 AC 的距 离是 55m,? BAC= 51 ? ,? ACB= 75 ? 。 求 A、 B 两点的距离(精确到 0.1m)

提问 1:? ABC 中,根据已知的边和对应角, 运用哪个定理比较适当? 提问 2:运用该定理解题还需要那些边和角 呢?请学生们思考。 解:

20

【解】

例 2、 AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物, A 为建筑物的最高点,设计一种测量 建筑物高度 AB 的方法。

分析:求 AB 长的关键是先求 AE,在 ? ACE 中, 如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA, 再测出由 C 点观察 A 的仰角, 就可以计算出 AE 的长。 解:

题型三:判断三角形的形状问题 【例 4】在 ?ABC 中,已知 sin A ? 2sin B cos C ,试判断该三角形的形 状. 解:

变 式 练 习 : 判 断 满 足 =

sinC

si n A ? si nB 条件的三角形形状 cos A ? cos B

题型四:用正余弦定理证明恒等式 题型二:求角度问题 例 3、在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ? ,沿 BE 方向前进 30m,至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2 ? ,再继续前进 10 3 m 至 D 点,测得顶端 A 的仰角为 4 ? , 求 ? 的大小和建筑物 AE 的高。 例 5、在 ? ABC 中,求证: (1)

a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B ? ; (2) c2 sin 2 C

a 2 + b 2 + c 2 =2(bccosA+cacosB+abcosC)

21

7、 △ABC 中,若 a ? c ? bc ? b ,
2 2 2

则 A= _______ . 8、在 △ ABC 中, tan A ? (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求 三、预习效果检测 最小边的边长. 解:

1 3 , tan B ? . 4 5

tan A a 2 ? 1. 在△ABC 中, 若 , 则△ABC tan B b 2
的形状是( ) A.直角三角形 B.等腰或直角三角形 C.不能确定 D.等腰三角形 2. 已知 △ ABC 中, a∶ b∶ c = 1∶ 3 ∶ 2 ,则 A∶ B∶ C 等于( ) A.1∶ 2∶ 3 B.2∶ 3∶ 1 C.1∶ 3∶ 2 D.3∶ 1∶ 2 3、海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60° 的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75° 的视角,则 B、C 间的距 离是 ( A.10 3 海里 C. 5 2 海里 B.

10 6 海里 3
? ,边 ?

D.5 6 海里 9 、 在 △ ABC 中 , 已 知 内 角 A ?

4.如图,△ABC 是简易遮阳棚,A、B 是南 北方向上两个定点, 正东方向射出的太阳光 线与地面成 40°角,为了使遮阴影面 ABD 面积最大,遮阳棚 ABC 与地面所成的角为 ( )
阳 光 C B D 地 面 A

BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y .
(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值. 解:

A.75° B.60° C.50° D.45 5.在△ABC 中,若 BC=5,CA=7,AB=8, 则△ABC 的最大角与最小角之和是( ) A.90° B.120 C.135° D.150° 6 、 在 ?ABC 中 , 如 果 ?A ? 30? , ?B ? 120? , b ? 12 ,那么 a ? , ?ABC 的面积是 .
22

(I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为 的度数. 解:

1 sin C ,求角 C 6

10 、 已 知 △ ABC 的 周 长 为

2 ?1 , 且

s i nA ? s i n B?

. 2 si C n

第二章数列 2.1 数列的概念与简单表示法
一、基础知识
阅读课本 28 页至 31 页,填写以下基础知识: 1.数列的定义:___________________. 2.通项公式:_____________________. 3.递推公式:如果已知数列 ⑤有界数列:存在正数 M 使 | an | ___ M , n ? N * . ⑥无界数列 : 对于任何正数
| an | ___M ,n? N* .

M

, 总有项 an 使得

?an ? 的第一项(或前

几项) ,且任何一项 an 与它的前一项 a n ?1 (或前 几项)间的关系可以用一个式子来表示,即

an ? f (an?1 ) 或 an ? f (an?1 , an?2 ) ,那么这
个式子叫做数列

二、基本题型 题型 1 已知数列的前几项,求通项公式 阅读课本第 29 页例 1, 理解通项的定义, 并 做以下练习: 练习 1、求下列数列的一个通项公式: ⑴ 3,5,9,17,33, ?,
2 4 6 8 10 , , , , , ?, 3 15 35 63 99

?an ?的递推公式.


4 数 列 的 表 示 方 法 : _______ 、 _________ 、 _________、___________. 5. 数列的分类: ① 递 增 数 列 : 对 于 任 何

n ? N? n ? N?

, 均 有

(3) 1,3,6,10,15,21, ?,

an?1 _____an .
② 递 减 数 列 : 对 于 任 何 , 均 有

an?1 _____an .
③摆动数列:例如:_______________. ④常数数列:例如:________________.

23

题型二 已知数列的递推式,求通项公式 阅读课本第 30 页至 31 页例 2,理解递推公 式的用法,并做以下练习:
练 习 2 数 列 , (n ?

?an ?
2 )





a1 ? 1

n

2a , a ? n ?1 2 ? an?1

求 a2 , a3 , a4 , a5 ,并归纳出 an .

三、预习效果检测 1、下列说法正确的是 ( ) A. 数列 1,3,5,7 可表示为 ? 1,3,5,7? B. 数列 1,0, ? 1,?2 与数列 ? 2,?1,0,1 是相 同的数列 C.
1 n ? 1? 的第 k 项是 数列 ? 1? ? ?

? n ?

k

D. 任何数列都有首项和末项
2、 数列1,3,6,10, x,21,28,? 中, 由给出的数之 间的关系可知 x 的值是( ) A. 12 B. 15 C. 17 D.
ZXXK

18

[来源:学科网

3、数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n 2 ? 28n , )

则数列 ?an ? 各项中最小项是 ( A. 第 4 项 C. 第 6 项 B. 第 5 项 D. 第 7 项

4. 已知数列 1, 3, 5, 7 ,?, 2n ? 1,? ,则

3 5 是它的 (
题型三 已知数列通项公式,求数列中的项 阅读课本第 31 页例 3,理解通项公式的用 法,并做以下练习:
练习 3 数列



A . 第 22 项 B. 第 23 项 C. 第 24 项 D. 第 28 项 5 、已知 an?1 ? an ? 3 ? 0 ,则数列 ?an ? 是 ( ) A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列 6、用适当的数填空: ①2,1, ,1 ,1 ,
4 8

?an ?中, an ? n2 ? 5n ? 4 .

⑴ 18 是数列中的第几项? ⑵ n 为何值时, an 有最小值?并求最小值.



1 32

② ? 1,4,?9,16,?25, ____, ? 49 ③1,0, 1 ,0, 1 ,0,
2

3

,0, 1 ,
5

24

7、写出以下各数列的通项公式: ① 0,1,0,1,0,1,?

2 是否是数 3 列中的项?如果是,是第 几项?
(1)写 出 a10 , an?1 ; (2)79

② 1 1 ,2 2 ,3 3 ,4 4 ,?
2 3 4 5

③ 9,99,999,9999 ,?

8.
an ?





?an ?









n2 ? n ?1 , n? N* 。 3

?

?

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

2.2 等差数列
一、基础知识 阅读课本第 36—39 页,填写以下基础 知识: 1 .等差数列:一般地,如果一个数列从 __________, 每一项与它的前一项的差等于 ________ ,那么这个数列就叫做等差数列 . 这个常数叫做等差数列的_____;公差通常 用字母 d 表示. 注:⑴“从第二项起”与“前一项”之差为常 数d (2)______________时,{an}为常数列. 2.等差数列的通项公式: ______________________ 3.既是等差又是等比数列的数列: ___________________________. 4.等差中项的定义:如果 a,G,b 成等差数 列,那么 G 叫做 a 与 b 的等差中项. 根据定义可知 G ? _______ . 5 . 证 明 数 列 {an } 为 等 差 数 列 ? 证 明. 练习 1、判断下列数列是否为等差数列: (1)1,1,1,1,1; (2)0,2,4,6; 练习 2、求出下列等差数列中的未知项: (1)2,a,8; (2)-4,b,c,2. 题型二:已知 a1 , d , n, an , 中的三个,求另一 个 阅读课本第 38 页例 1 ,例 2 ,体会已知

a1 , d , n, an , 中的三个,求另一个的方法,并
做以下练习: 练习 3、在等差数列{an}中, (1)已知 (2)已知 【解】

a

1

? 2, d ? 3, n ? 10, 求 a n ? 3, a n ? 21, d ? 2, 求 n.

a

1

a ?a
n

m

? 常数

二、基本题型 题型一:辨别是否等差数列 阅读课本第 36-37 页, 体会等差数列的特点, 并做以下练习:
25

练习 4、求出下列等差数列中的未知项: (1)3,a,5; (2)3,b,c,-9. 【解】

题型三:等差数列性质及应用 阅读课本第 39 页练习 3, 体会以下等差数列 的性质: (1) a n ? a m ? (n ? m)d ( m, n ? N ? ) ;

3.等差数列{an}中, a2=-5,d=3, 则 a1 为 ( ) A.-9 B.-8 C.-7 D.-4 4. 已知等差数列 {an} 的前 3 项依次为 a - 1,a+1,2a+3,则此数列的通项 an 为( ) A.2n-5 B.2n-3 C.2n-1 D.2n+1 5. 在等差数列 {an} 中,若 a3=50,a5=30 ,则 a7=______. 6.在-1 和 8 之间插入两个数 a,b, 使这四个 数成等差数列,则 a=______,b=______. 7.等差数列{an}中,a1=23,公差 d 为整 数,若 a6>0,a7<0. (1)求公差 d 的值; (2)求通项 an.

n ?p ?q (2) 对于 p、 q、 m、 n∈N*, 若m?
则am ?an ? a p ?aq



(3)每隔 k 项( k ? N )取出一项,按原 来顺序排列,所得的新数列为等差数列 (4)在等差数列中,从第二项起,每一项 都是与它等距离的前后两项的等差中项; 练习 5.在等差数列{an}中,若 a3+a4+a5+a6+a7=450,则 a2+a8 等于( ) A.45 B.75 C.180 D.300 练习 6.已知等差数列的第 10 项为 23, 第 25 项 为 - 22 , 则 此 数 列 的 通 项 公 式 为 __________ 三、预习效果检测 1.已知下列数列是等差数列,试在括号内 填上适当的数: (1) ( ) ,5,10; (2)1, 2 , ( ) ; (3)31, ( ) , ( ) ,10. 2.数列{an}的通项公式 an=2n+5,则此数 列( ) A.是公差为 2 的等差数列 B.是公差为 5 的等差数列 C.是首项为 5 D.是公差为 n
26

?

8.若 x≠y,两个数列:x,a1,a2,a3,y 和 x,

b1,b2,b3,b4,y 都是等差数列, 求 的值. 解

a2 ? a1 b4 ? b2

2.3

等差数列前 n 项和

一、基础知识 1. 等差数列的前 n 项和: 公式 1:___________________ 公式 2:___________________; 2.若已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 an 可用 Sn 表示: ________________ 3.等差数列的前 n 项和与函数的关系

d d n(n ? 1) d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关 2 2 2 于 n 的_____________函数. 当 d ? 0 , 数列 d ? 0 ,则 Sn 是关于 n {an } 为常数列;当 d d 的二次函数,若令 A ? , B ? a1 ? , 则 2 2 2 Sn ? An ? Bn
Sn ? na1 ?
二、基本题型 题型一:已知 a 1 ,d,n, a n , S n 五个量 中的三个,就可以求出余下的两个量. 例 1.在等差数列 {an } 中, (1)已知 a1 ? 3 , a50 ? 101 ,求 S 50 ;

题型二:等差数列前项和的最值问题 两种方法: (1)利用 an :当 an >0,d<0,前n项 和有最大值 可由 an ≥0,且 a n ?1 ≤0,求得n
王新敞
奎屯 新疆

的值;当 an <0,d>0,前n项和有最小值 可
王新敞
奎屯 新疆

由 an ≤0,且 a n ?1 ≥0,求得n的值 (2)利用 S n :由 S n ?

1 ,求 S10 ; 2 1 3 15 (3)已知 d ? , a n ? , S n ? ? ,求 2 2 2
(2)已知 a1 ? 3 , d ?

d 2 d n ? (a 1 ? )n 二次 2 2
王新敞
奎屯 新疆

函数配方法求得最值时 n 的值

例 2. 设等差数列 ?an ? 满足 3a8 ? 5a13 , 且

a1 及 n 。

a1 ? 0 ,则 ?an ? 的前多少项的和最大?
27

a8 ? b8

.

三、预习效果检测 1.在等差数列 {an } 中,公差 ) d ? 2, S20 ? 60 ,则 S21 等于( A 62 B 64 C 84 D 100 2.等差数列 ?an ? 中, S n 是前 n 项的和,若

S5 ? 20 ,则 a2 ? a3 ? a4 ? (
A 15 B 18 C 9 D 12 3.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 题型三: 等差数列前 n 项和的有关性质及应 用 (一)性质:1.若数列{an}的前 n 项和 Sn = An2 + Bn , 则 数 列 { an } 为 ________________. 2. 等差数列{an}的公差为 d, 前 n 项和为 Sn, 那么数列 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k ,(k∈N*)成 _____________,公差为________. 3.在等差数列{an}中,若 a1>0,d<0,则 Sn 存在______.若 a1<0,d>0,则 Sn 存在最 小值. 4.在等差数列 {an } 中, 当项数为偶数 2 n 时,



Sn ? n2 ? 9n ? 1 ? c ,若 ?an ? 是等差数列,
则c ? .

4. 已 知 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 Sn 满 足
2 Sn ? a n ? b,已知等差数列 n ?an ? 的前 n

项和为 Sn ,求证数列 ?

? Sn ? ? 也成等差数列. ?n?

S偶-S奇 ? nd ; 项 数 为 奇 数 2n ? 1 时 ,
, S2n?1 ? (2n ?1) ? a中 S奇 ? S偶 ? a 中 (这里 a中 即 an ) ; S奇 : S


? k ( ) 1 :? k



5.若等差数列 {an } 、{bn } 的前 n 项和分别为

An ? f ( n) ,则 Bn an (2n ? 1)an A2 n ?1 ? ? bn (2n ? 1)bn B2 n ?1 ? f (2n ? 1) .

An 、 Bn ,且

(二)练习 1.等差数列 ?an ? 的前 m 项的和 为 30 ,前 2 m 项的和为 100 ,则它的前 3m 项的和为( ) A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 2.若两个等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和 分别为 Sn 和 Tn ,且满足

5.在等差数列 ?an ? 中, 已知 a6 ? 10, S5 ? 5 , ①求 a8 和 S8 ; ②设 bn ? an , 求数列 ?bn ? 的 前 n 项和 Tn .
28

S n 7n ? 3 ? ,则 Tn n?3

2.4 等比数列
一、基础知识 阅读课本第 54—56 页,填写以下基础 知识: 1 .等比数列:一般地,如果一个数列从 __________, 每一项与它的前一项的比等于 ________ ,那么这个数列就叫做等比数列 . 这个常数叫做等比数列的_____;通常用字 母 q 表示(q≠0) ,即 (2)-4,b,c,

1 . 2

题型二:已知 a1 , q, n, an , 中的三个,求另一 个 阅读课本第 57 页例 1,第 58 页例 3,体会 已知 a1 , q, n, an , 中的三个, 求另一个的方法, 并做以下练习: 练习 3、在等比数列{an}中, (1)已知 a1 =3,q=-2,求 a6 ; (2)已知 a 3 =20, a6 =160,求 an . 【解】

an =q(q≠0). a n ?1

注:⑴“从第二项起”与“前一项”之比为常 数 q. ⑵ 隐含:任一项 an ? 0且q ? 0 . ⑶______________时,{an}为常数列. 2.等比数列的通项公式: ⑴ ______________________ ⑵ an ? am ? qn?m (a1 ? q ? 0) 3. 举出一个既是等差又是等比数列的数列: ___________________________. 4.等比中项的定义:如果 a,G,b 成等比数 列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 根据定义可知 G ? _______ . 5. 证明数列 {an } 为等比数列 ? 证明

an ?1 = an

练习 4、在 243 和3中间插入3个数,使这 5个数成等比数列. 【解】

常数. 二、基本题型 题型一:辨别是否等比数列 阅读课本第 57 页例 2,体会等比数列的特 点,并做以下练习: 练习 1、判断下列数列是否为等比数列: (1)1,1,1,1,1; (2)0,1,2,4,8; (3)1, ?

1 1 1 1 , ,? , . 8 16 2 4

练习 2、求出下列等比数列中的未知项: (1)2,a,8;

29

⑴求证 {an ? 1} 是等比数列; ⑵求数列 {an } 的通项公式。 题型三:等比数列性质及应用 阅读课本第 59 页练习 3, 体会以下等比数列 的性质: (1) an ? amqn?m ( m, n ? N ? ) ;

n ?p ? q (2) 对于 k、 l、 m、 n∈N*, 若m?
则 akal=aman.;
?



(3)每隔 k 项( k ? N )取出一项,按 原来顺序排列,所得的新数列为______; (4)在等比数列中,从第二项起,每一 项都是与它等距离的前后两项的等比中项; (5) 若{an}为等比数列, 公比为 q, 则{a2n} 也是___________,公比为________; (6)若{an}、{bn}是等比数列,则{anbn}也 是_____________. 练习 5、在等比数列{an}中,证明 a2n=an-1 an+1(n≥2).

三、预习效果检测 1、数列 m,m,m,?m, ( ) A. 一定是等比数列 B.既是等差数列又是等比数列 C.一定是等差数列,不一定是等比数列 D.既不是等差数列,又不是等比数列 2、公差不为 0 的等差数列第二、三、六项 构成等比数列,则公比为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3、在等比数列{an}中,a1= a8 的等比中项是( A.±4 B.4 ) C.±

1 ,q=2,则 a4 与 8
D.

1 4

1 4

4、 在等比数列中, 已知首项为 公比为 练习 6、在等比数列{an}中,已知 a4a7= -512,a3+a8=124,且公比为整数,求 a10.

9 1 , 末项为 , 8 3

2 ,则项数 n 等于___ __. 3

5、已知等比数列中 a3=-4,a6=54, 则 a9=______________. 6、已知数列{an}满足:lgan=3n+5,试 用定义证明{an}是等比数列. 【证明】

题型四:证明数列为等比数列 阅读课本第 58 页例 4,完成以下练习: 练习 7、 数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1
30

2.5 等比数列的前 n 项和
一、基础知识 阅读课本第 62—63 页,填写以下基础 知识: 1.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn 当 q ? 1 时,_________________ ① 或________________________② 当 q=1 时,_____________ 当已知 a1 , q, n 时用公式①; 当已知 a1 , q, an 时,用公式②. 2. 若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn , 则 Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2 k ,? 仍 成 等 比数 列。 二、基本题型 题型一:公式的基本运用 练习 1 在等比数列{an}中, (1)已知 a 1 =-4, q =5,求 S10 ; (2)已知 a 1 =1, a k =32, 题型三:前 n 项和公式中的变形运用 练 习 3. 已 知 等 比 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 题型二:已知 a1、q、an、n、Sn,知三可求 二. 练习 2 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? an ? 66 ,

a 2 a n?1 ? 128 ,且前 n 项和 Sn ? 126 ,
求 n 以及公比 q. 【解】

q =2,求 S k .
(3)已知 S4 ? 65 , q ? 【解】

Sn ? 54 ,前 2n 项和 S2n ? 60 ,求前 3n 项的
2 ,求 a1 3
和。 【解】

31

练 习 4 等 比 数 列 ?an ? 中 前 n 项 和 为

A. 2

B. 1

C. 0

D. ? 1

[来源:学科网]

Sn , S4 ? 2 , S8 ? 6 ,求 a17 ? a18 ? a19 ? a20
的值. 【解】

5、已知等比数列 ?an ? 中, an ? 2 ? 3n?1 , 则 由此数列的偶数项所组成的新数列的前 ) n 项和为( A. 3 C.
n ?1

B. 3 3n?1

? ?
3 n 9 ?1 4

1 n 9 ?1 4

?

?

D.

?

?
2 3

6、等比数列前 n 项和为 54,前 2 n 项和为 60,则前 3n 项和为( ) A. 54 B. 64 C. 66

2 3

D. 60

7 、设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若

S 3 ? S 6 ? 2S 9 ,求公比 q .
[来源:Z&xx&k.Com]

三、预习效果检测 1. 等 比 数 列 ?an ? 的 各 项 都 是 正 数 , 若

a1 ? 81 , a5 ? 16 , 则 它 的 前 5 项 和 是
( ) A.179 B.211 C.243 D.275

2、在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 5, S5 ? 55 , 则公比 q 等于 ( ) A. 4 B. 2 C. ? 2 D. ? 2 或 4 3、某工厂去年产值为 a ,计划 5 年内每年 比上一年产值增长 10%, 从今年起五年内这 个工厂的总产值为 ( ) A. 1.14 a C. 10 1.15 ? 1 a B.
1.1 a
5

?

?

D. 111.15 ? 1 a

?

?

4 、 若 等 比 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和

S n ? 2 n ? r ,则 r ?




32

第三章

不等式

3.1 不等关系与不等式
基础知识 1. 在现实生活中,存在着许许多多的不等 关系,在数学中,我们用 来表示这 样的不等关系. 2.举例:限速 40km/h 的路标,指示司机在 前方路段行驶时, 应使汽车的速度 v 不超过 40km/h,写成不等式就是 . 3.文字语言与数学符号之间的转换.
文字语言 大于 小于 大于等于 小于等于 数学符号 文字语言 至多 至少 不少于 不多于 数学符号

练习 1:某种杂志原以每本 2.5 元的价格销 售,可以售出 8 万本。据市场调查,若单价 每提高 0.1 元销售量就可能相应减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元,怎样 用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万 元呢?

4.实数的运算性质与大小顺序之间的关系: 对于任意两个实数 a,b, 如果 a>b,那么 a-b 是 数; 如果 a<b,那么 a-b 是 数; 如果 a-b=0.它们的逆命题也正确.即 (1) a>b ? (2) a=b ? (3) a<b ? 5.比较两个实数的大小常用的方法和不等式 的基本性质 (1)用“作差法”比较两个实数大小的关 键是判断差的正负, 常采用配方、 因式分解、 有 理 化 等 方 法 . 常 用 的 结 论 有

练习 2:一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥 料, 生产 1 车皮甲种肥料需要的主要原料是 磷酸盐 4 吨、硝酸盐 18 吨;生产 1 车皮乙 种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1 吨、 硝酸 盐 15 吨。 现有库存磷酸盐 10 吨、 硝酸盐 66 吨,在此基础上进行生产。请用不等式组把 此实例中的所有不等关系表示出来。

x2 ? 0, ? x2 ? 0,|x|? 0,-|x|? 0 等.
(2)“作差法”的一般步骤是: ①作差;②变形;③判断符号;④得出结 论 (3)常用的不等式的基本性质

(1)a ? b, b ? c ? a ? c (2)a ? b ? a ? c ? b ? c (3)a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (4)a ? b, c ? 0 ? ac ? bc
(4)利用上述基本性质,证明不等式的下列 性质: (1)a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d

(2)a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (3)a ? b ? 0, n ? N , n ? 1 ? a n ? bn ; n a ? n b 二、基本题型 题型一:从实际问题中找出不等关系,并能 列出不等式与不等式组.
33

题型二:比较大小 2 练习 3:比较 x -x 和 x-2 的大小

④ a ? ab
3

2

⑤a b ? b
2

3

A.2

B.3

C.4

D.5

4.已知 a>0,-1<b<0,则 a,ab,ab2 的大 小关系是( A、a> ab2>ab ) B、ab>ab >a
2

C、ab2>a>ab
题型三:证明不等式 c c ? . 练习 4:已知 a>b>0,c<0,求证

D、ab2>ab>a

a

b

5.设 a,b,c,d∈R,且 a>b,c>d,则下 列结论中正确的是( ) A.a+c>b+d B.a-c>b-d C.ac>bd D.

a b ? d c

6.b 克糖水中有 a 克糖(b>a>0) ,若再加 入 m 克糖(m>0) ,则糖水更甜了,试根 据 这 个 事 实 写 出 一 个 不 等 式 。 7 三、预习效果检测 1. 已知 a ? b, 不等式① a ? b , ②
2 2







A ?{ x | ? 2 ? x

?5 } ,

B ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} 满足 B ? A ,
1 1 ? , a b
则实数 m 的范围是__________ 8. 若 a ? 1 ? log 1 x ? a 的解集是 [ , ] , 则
2

1 1 ? 成立的个数是( ③ a ?b a
A、0 B、1 C、2 D、3



1 1 4 2

a 的值为___________。
9、证明:x +3>3x
2

2.对“a、b、c 是不全相等的正数” ,给出下 列判断,判断正确的个数为( ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0; ②a>b,a<b 及 a≠c 中至少有一个成立; ③a≠c,b≠c,a≠b 不能同时成立. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 )

3. 如果 a ? 0 ? b 且 a ? b ? 0 ,那么以下 不等式正确的个数是( ① ) ③ a b ? ab
3 3

1 1 ? a b



1 1 ? a b

34

3.2 一元二次不等式及其解法
一、基础知识 1.一元二次不等式: 2.当 a>0 时,填写下表:. △=b2-4ac △>0 △=0 △<0

题型二:含有参数的一元二次不等式解法 练习 2、(1)若 0<t<1 , 则不等式(x-t) (x-

y=ax2+bx+c 的图象

1 )<0 的解集是__________________ t
(2) 当 a<0 时 , 56x ? ax ? a ? 0 的解集
2 2

为 ax +bx+c=0 的根的情况
2

.

题型三: 通过根与系数的关系解一元二次不 等式的方法 练习 3、 (1)不等式 ax2+bx-1>0 的解集为

ax2+bx+c>0 的解集

{x|3<x<4}, 则 a+b=_________ . (2)已知二次函数 y=x2+px+q , 当 y<0 时, 有 -

1 1 <x<- , 解不等式 qx2+px+1>0 . 2 3

ax2+bx+c<0 的解集

3.思考:当 a<0 时,怎么办呢? 二、基本题型 题型一:一元二次不等式解法 练习 1、 (1)-6x2-x2+2<0 ; (2) 1-4x2>4x+2; (3)x(x+2)<x(3-x)+1 ; (4)(x-2)(x+2)>11.

35

A.{x|2≤x≤3} C. {x|3≤x<4}

B. {x|-4<x<2} D. ?

3.不等式 x2≤1 的解集为______________ . 4.不等式 1+2x+x2≤0 的解集为_________ . 5.不等式-x2-2x+8≥0 的解集为______ . 6.不等式(x2-x-2)(1+x2)≤0 的解集为 题型四:含参不等式恒成立问题的解法 练习 4、 已知不等式 x -2x+k -1>0 对一切 实数 x 恒成立, 求实数 k 的取值范围.
2 2

_________________ . 7.已知 a<0,且方程 ax2+bx+c=0 的两实数根 是- 2 , 3 , 那么关于 x 的二次不等式 ax2+bx+c>0 的解集是_______________ . 8.求下列函数的定义域 (1)y=lg(x2-3x+2)

(2) y= 12 ? x ? x 2

9.设 f(x)=(m+1)x2-mx+m-1, 三、预习效果检测 1.不等式(x+5)(3-2x)≥6 的解集是( A. {x|x≤-1 或 x≥ B. {x|-1≤x≤ C. {x|x≤- D. {x|- ) (1)若不等式 f(x)>0 的解集为 ? , (2)若不等式 f(x)>0 的解集为 R , 求实数 m 的取值范围.

9 } 2

9 } 2

9 或 x≥1} 2

9 ≤x≤1} 2
)
36

2.设集合 A={x|x2-6x+8<0},B={x|4-x≥1} 则 A∩B 等于 (

3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

一、基础知识 阅读课本第 91—103 页, 填写以下基础知识: (一)1.二元一次方程表示的图形是 2. 二 元 一 次 不 等 式 表 示 平 面 区 域 的 含 义 。 3.不等式 x+y-1>0 表示的平面区域: 。 4.用"上方"或"下方"填空 若B<0,不等式Ax+By+C>0表示的 区域在直线Ax+By+C=0的 ; 不等式Ax+By+C<0表示的区域在直线 Ax+By+C=0的 (二)1.不等式组表示的平面区域 . 2.整点: . (三)1.线性条件与线性约束条件 2.目标函数与线性目标函数: 3.可行域: 4.线性规划: 二、基本题型 题型一:画出不等式表示的平面区域 阅读课本第 94 页例 1, 体会不等式表示的平 面区域,并做以下练习: 练习 1.画出下列不等式所表示的平面区域 (1)y>2x-3 (3)3x-2y+6≥0 (2)y≤-x+2 (4) x>y+1

练习 2. 原点和点(1,1)在直线 x ? y ? a ? 0 的同侧,则 a 的取值范围是 A C

a ? 0或 a ? 2

B a ? 0或a ? 2 D

0?a?2

0?a?2

题型二:画出不等式组所表示的区域 阅读课本第 94 页例 2, 体会不等式组表示的 区域,并做以下练习: 练习 3. 画出下列不等式组所表示的平面区 域

?3 x ? 5 y ? 20 ?5 x ? 4 y ? 25 ? (1) ? ?x ? 1 ? ?y ? 1

?0 ? x ? 50 ?0 ? y ? 30 ? (2) ? ? x ? y ? 40 ? ?3x ? 4 y ? 200

题型三: 利用平面区域求不等式组的整数解.
37

?x ? 0 ? 练习 4. 二元一次不等式组 ? y ? 0 ?x ? y ? 3 ? 0 ?
表 示 的 平 面 区 域 内 整 点 坐 标 为 _____________ .

5.如图所示表示区域的不等式是 ( A. y≤x B. |y|≤|x| C. x(y-x)≤0 D. y(y-x)≤0 O y

)

?? 1 ? x ? 1 练习 5.写出不等式组 ? 所表示 ?? 1 ? y ? 1
的平面区域内整点坐标. 题型四:一般线性规划求解 练习 6. 求 Z=2x+y 的最大值和最小值, 其中

?x ? 2 ? 6.若 ? y ? 2 , 则目标函数 Z=x+2y 的 ?x ? y ? 2 ?
取值范围 ( A. [2 , 6] C. [3 , 6] Z 的意义是 ( A.该直线的截距 ) B.该直线的纵截距 ) B. [2 , 5] D. [3 , 5]

?x ? y ? 2 ? 0 ? x , y 满足约束条件 ? x ? 2 ?y ? 2 ?

7.目标函数 Z=2x-y , 将其看成直线方程时,

C.该直线纵截距的相反数 D.该直线的横截 距 三、预习效果检测 1.点(1,1)在下面各不等式表示的哪个区域中 ( ) A. x ? y ? 2 C. y ? 0 B. 2 x ? y ? 2 ? 0 D. x ? 2 8.△ABC 中, A(2 , 4) , B(-1 , 2) , C(1 , 0), 点 P 在△ ABC 内部及其边界上运动 , 则 W=y-x 的取值范围是 ( A. [1 , 3] C. [-1 , 3] )

B. [-3 , 1] D. [-3 , -1]

9 已知直线 l: x-y+a=0, 点 P1(1 , -2) , P2(3 , 5)分别位于直线 l 的两侧, 则 a 的取值范围 _____________ .

2.不在 3x+2y<6 表示的平面区域内的点是 A. (0 , 0) C. (0 , 2) 线 x-2y+6=0 的 ( A.右上方 C. 右下方 4.不等式组 ? B. (1 , 1) D. (2 , 0) ) B. 左上方 D. 左下方

3.不等式 x-2y+6>0 表示的平面区域在直

?x ? y ? 5 ? 0 ? 10. 不等式 ? x ? y ? 0 表示的平面区域 ?x ? 3 ?
的面积为____________ . 11.不等式组 ?

?( x ? y ? 5)(x ? y) ? 0 表示的 ?0 ? x ? 3
) B.直角梯形 D.矩形

?( x ? y ? 5)(x ? y) ? 0 表示的 ?0 ? x ? 3

平面区域的确面积为________

平面区域是一个 ( A.三角形 C.梯形

?2 x ? 5 y ? 10 ? 12.约束条件 ?2 x ? y ? 6 , 所表示的区域 ? x ? 0, y ? 4 ?
38

中, 整点其有________个 13. 若?

?4 ? x ? y ? 6 , 则 Z=2x+y 的最大值 ?2 ? x ? y ? 4

为___________ , 最小值为__________ .

?2 x ? y ? 2 ? 14. 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 , ?x ? y ? 1 ?
求 z ? 2 x ? 3 y 的最大值。

3.4 基本不等式
一、基础知识 阅读课本相关页码,填写以下基础知 识: (一) 1.算术平均数: 2.几何平均数 3.设 a≥0,b≥0 则 为 (二) 1.最值定理: 若 x、y 都是正数, (1)如果积 xy 是定值 P , 那么当且仅当 x=y 时, 和 x+y 有最小值 ..

题型二:最值定理 练习 2. (1)若 x ? 0 ,则 x 为何值时 x ? 有最小值,最小值为多少? (2)若 x ? 0 ,则 x 为何值时 x ? 最大值,最大值为多少? (3)y= x ?

1 x

a+ b 与 ab 的关系 2

1 有 x

1 的值域是 x

(2)如果和 x+y 是定值 S , 那么当且仅当 x=y 时, 积 xy 有最大值 2.最值定理的三个条件: (三) 不等式证明的三种常用方法: 1.比较法: 2.综合法: 3.分析法: 二、基本题型 题型一:基本不等式 练习 1. .设 a、 b 为正数,证明: . . 练习 3.已知 x, y 都是正数,求证: ①如果积 xy 是定值 p ,那么当 x ? y 时, 和 x ? y 有最小值 2 p ; ②如果和 x ? y 是定值 s ,那么当 x ? y 时, 积 xy 有最大值

1 2 s . 4

a+ b ? 2

ab
39

揶 B1

B2 揶

Bn

B(结论)

(三)分析法 题型三:不等式的证明 (一)比较法 练习 4.求证: x ? 3 ? 3x .
2

练习 8.求证: 8 -

6 < 7-

5

分析法证题模式:B

(结 论)

苘 A1
练习 5.已知 a , b 都是正数,并且 a ? b ,求 证: a ? b ? a b ? a b
5 5 2 3 3 2

A2 苘

An

A(已知)

三、预习效果检测

12 +3x 的最小值为______. x 12 2、若 x<0 时, y= +3x 的最大值为______. x 1 3、函数 y=x+ (x>3)的最小值为_____. x?3 4 4、函数 y=x+ (x≠0)的值域为______ x
1、若 x>0 时, y= 5、已知 a, b, c ? R, 且 a + b + c = 1 ,求证:

ab + bc + ca
比较法证明不等式的一般步骤: 作差—变形 —判断—结论 (二)综合法 练习 6.已知 a>0,求证 a+

1 3

1 ? 2 a

练习 7.已知 a, b, c∈R , 求证: a2+b2+c2≥ ab+bc+ac .

综 合 法 证 题 模 式 : A ( 已 知 )

40


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