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平面向量的基本定理及坐标表示


§ 5.2

平面向量的基本定理及坐标表示

1.两个向量的夹角 定义 → → 已知两个____向量 a,b,作OA=a,OB =b, 则∠AOB=θ 叫做向量 a 与 b 的夹 角(如图) 向量夹角 θ 的范围是__________,当 θ= ________时,两向量共线,当 θ=______ 时,两向量垂直,记作 a⊥b 范围

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2.平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 如果 e1, 2 是同一平面内的两个__________向量, e 那么对于这一平面内的任意向量 a, __________一对实数 λ1,λ2,使 a=______________. 其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组________. (2)平面向量的正交分解及坐标表示 把一个向量分解为两个____________的向量,叫做把向量正交分解. (3)平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中, 分别取与 x 轴、 轴方向相同的两个单位向量 i, 作为基底, y j 对于平面内的一个向量 a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数 x,y,使 a =xi+yj,这样,平面内的任一向量 a 都可由 x,y 唯一确定,把有序数对________ 叫做向量 a 的坐标, 记作 a=__________, 其中______叫做 a 在 x 轴上的坐标, ______ 叫做 a 在 y 轴上的坐标. → → → ②设OA=xi+yj,则向量OA的坐标(x,y)就是________的坐标,即若OA=(x,y),则 A 点坐标为__________,反之亦成立.(O 是坐标原点) 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=____________,a-b=______________,

λa=______________,|a|=____________. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. → → ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=________________,|AB|=______________. 4.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0.a∥b?____________________________. [难点正本 疑点清源] 1.基底的不唯一性 只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基底的选取不唯一,平面内任 意向量 a 都可被这个平面的一组基底 e1,e2 线性表示,且在基底确定后,这样的表示 是唯一的. 2.向量坐标与点的坐标的区别 → 在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA=a,点 A 的位置被向量 a 唯一确定, 此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为(x,y),但应注意其表示形式的区别,如点 A(x, → y),向量 a=OA=(x,y). → → → → → 当平面向量OA平行移动到O1A1时,向量不变即O1A1=OA=(x,y),但O1A1的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了变化.

1.设平面向量 a=(3,5),b=(-2,1),则 a-2b=__________. → → → 2.在?ABCD 中, 为一条对角线, =(2,4), =(1,3), AC AB AC 则向量BD的坐标为__________. 3.已知向量 a=(1,2),b=(-3,2),若 ka+b 与 b 平行,则 k=________. 4.在平面坐标系内,已知点 A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0).给出下面的结论: → → → ①直线 OC 与直线 BA 平行;②AB+BC=CA; → → → → → → ③OA+OC=OB;④AC=OB-2OA. 其中正确结论的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 ( D.a+3b ) ( )

5.若向量 a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则 c 等于 A.3a+b B.3a-b C.-a+3b

题型一 平面向量基本定理的应用 例1 如图,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为

→ → DC,BC 的中点,已知AM=c,AN=d,试用 c,d → → 表示AB,AD. 探究提高 利用基底表示未知向量, 实质就是利用向量的加、 减法及数乘进行线性运 算. → 1→ 在△ABC 中,AD= AB,DE∥BC,与边 4 AC 相交于点 E,△ABC 的中线 AM 与 DE 相交于点 N, → → → 如图,设AB=a,AC=b,试用 a 和 b 表示DN. 题型二 向量坐标的基本运算 例2 → → → → 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,

→ CN=-2b, (1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; → (3)求 M、N 的坐标及向量MN的坐标. 探究提高 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段

两端点的坐标, 则应先求出向量的坐标, 解题过程中要注意方程思想的运用及正确使 用运算法则. → → → 已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5),OP=t1OA+t2AB, (1)求点 P 在第二象限的充要条件. (2)证明:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A,B,P 三点共线; (3)试求当 t1,t2 满足什么条件时,O,A,B,P 能组成一个平行四边形. 题型三 平行向量的坐标运算 例3 平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),请解答下列问题:

(1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求 d. 探究提高 (1)运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机的结

合. (2)根据平行的条件建立方程求参数,是解决这类题目的常用方法,充分体现了方程 思想在向量中的应用. 已知 a=(1,0),b=(2,1). (1)求|a+3b|; (2)当 k 为何实数时,ka-b 与 a+3b 平行,平行时它们是同向还是反向?

4.忽视平行四边形的多样性致误

试题:(14 分)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),求第四 个顶点的坐标. 学生解答展示

错因分析

(1)此解错因是思维定势,认为平行四边形

只是如图所示中的一种情形,由此在解题构思中丢 掉了两种情形.(2)若平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5), 求 D 点坐标,就只有一种情况,此题目中给出了平行四边形的三个顶点,并没有规 定顺序,就可能有?ABCD1、?ACD2B、?ACBD3 三种情形,如解答中的图所示. 规范解答 解 如图所示,设 A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),

D(x,y). → → (1)若四边形 ABCD1 为平行四边形,则AD1=BC, → → 而AD1=(x+1,y),BC=(-2,-5).
?x+1=-2, ? → → 由AD1=BC,得? ? ?y=-5.

?x=-3, ? ∴? ∴D1(-3,-5). ? ?y=-5.

[6 分]

→ → (2)若四边形 ACD2B 为平行四边形,则AB=CD2. → → 而AB=(4,0),CD2=(x-1,y+5).
? ? ?x-1=4, ?x=5, ∴? ∴? ∴D2(5,-5). ?y+5=0. ?y=-5. ? ?

[10 分]

→ → (3)若四边形 ACBD3 为平行四边形,则AD3=CB. → → 而AD3=(x+1,y),CB=(2,5),
?x+1=2, ?x=1, ? ? ∴? ∴? ∴D3(1,5). ? ? ?y=5. ?y=5.

综上所述,平行四边形第四个顶点的坐标为(-3,-5)或(5,-5)或(1,5).

[14 分]

批阅笔记 1.本题考查向量坐标的基本运算,难度中等,但错误率较高,典型错误是忽 视了分类讨论.此外,有的学生不知道运用平行四边形的性质,找不到解决问题的切 入口. 2.向量本身就具有数形结合的特点,所以在解决此类问题时,要注意画图,利用数形 结合的思想求解.

方法与技巧 1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分解. 2.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键,通过坐 标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理, 从而向量可以解决平面解析几何中的 许多相关问题. 3.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用. 失误与防范 1.要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们完全一样,但意义完全不同, 向量坐标中既有方向也有大小的信息. x1 y1 2.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成 = ,因为 x2,y2 有可 x2 y2 能等于 0, 所以应表示为 x1y2-x2y1=0.同时, ∥b 的充要条件也不能错记为 x1x2-y1y2 a =0,x1y1-x2y2=0 等.

§ 5.2

平面向量的基本定理及坐标表示
(时间:60 分钟) A 组 专项基础训练题组

一、选择题 1.与向量 a=(12,5)平行的单位向量为 12 5 A.?13,-13? ? ? 12 5 B.?-13,-13? ? ? 12 5 12 5 C.?13,13?或?-13,-13? ? ? ? ? 12 5 D.?± ,± ? ? 13 13? → → → → 2.在△ABC 中, P 在 BC 上, 点 且BP=2PC, Q 是 AC 的中点, 点 若PA=(4,3), =(1,5), PQ → 则BC等于 A.(-2,7) C.(2,-7) B.(-6,21) D.(6,-21) ( ) ( ) ( )

m 3.已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若(ma+nb)∥(a-2b),则 等于 n A.-2 1 C.- 2 二、填空题 1 1 4.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab≠0)共线,则 + 的值为________. a b B.2 1 D. 2

5.已知向量 a=(1,2), b=(x,1), u=a+2b, v=2a-b, u∥v, 且 则实数 x 的值为________. → → → 6.设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若 A、B、 1 2 C 三点共线,则 + 的最小值是________. a b 三、解答题 7.a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行?平行时它们是同向还是 反向?

→ → 8.如图所示,P 是△ABC 内一点,且满足PA+2PB → +3PC=0,设 Q 为 CP 延长线与 AB 的交点,令 → → CP=p,试用 p 表示PQ. B 组 专项能力提升题组 一、选择题 1.若平面向量 b 与向量 a=(1,-2)的夹角是 180° ,且|b|=3 5,则 b 等于 A.(-3,6) C.(6,-3) B.(3,-6) D.(-6,3) ( )

2.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2).若表示向量 4a、4b-2c、2(a-c)、d 的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量 d 为 A.(2,6) C.(2,-6) B.(-2,6) D.(-2,-6) ( )

3.若 α,β 是一组基底,向量 γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量 γ 在基底 α,β 下 的坐标,现已知向量 a 在基底 p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则 a 在另 一组基底 m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为 A.(2,0) C.(-2,0) 二、填空题 4.若平面向量 a, 满足|a+b|=1, b a+b 平行于 y 轴, a=(2, -1), b=_______________. 则 5.△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 p=(a+c,b),q=(b-a,c -a),且 p∥q,则角 C=________. 1 → → 6.已知 A(7,1)、 B(1,4), 直线 y= ax 与线段 AB 交于 C, 且AC=2CB, 则实数 a=________. 2 三、解答题 7.如图,已知平行四边形 ABCD 的顶点 A(0,0),B(4,1), C(6,8). (1)求顶点 D 的坐标; → → (2)若DE=2EC,F 为 AD 的中点,求 AE 与 BF 的交点 I 的坐标. → → → 8.已知点 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6),OM=t1OA+t2AB. (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A、B、M 三点都共线; → → (3)若 t1=a2,求当OM⊥AB且△ABM 的面积为 12 时 a 的值. B.(0,-2) D.(0,2) ( )

答案
要点梳理 1.非零 0° ≤θ≤180° 0° 180° 90° 或 2.(1)不共线 有且只有 λ1e1+λ2e2 ②终点 A (x,y) 3.(1)(x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (λx1,λy1) (2)②(x2-x1,y2-y1) ?x2-x1?2+?y2-y1?2 4.x1y2-x2y1=0 基础自测 1.(7,3) 2.(-3,-5) 3.0 4.C 5.B 题型分类· 深度剖析 例1 → → 解 方法一 设AB=a,AD=b, ① ② x2+y2 1 1 基底 (2)互相垂直 (3)①(x,y) (x,y) x y

1 → → 则 a=AN+NB=d+?-2b?, ? ? 1 → → b=AM+MD=c+?-2a?. ? ? 将②代入①得 1 1 a=d+?-2??c+?-2a?? ? ?? ? ?? 4 2 2 ∴a= d- c= (2d-c),代入② 3 3 3 1 2 2 得 b=c+?-2?× (2d-c)= (2c-d). ? ? 3 3 → 2 → 2 ∴AB= (2d-c),AD= (2c-d). 3 3 → → 方法二 设AB=a,AD=b. 因 M,N 分别为 CD,BC 的中点, → 1 → 1 所以BN= b,DM= a, 2 2

?c=b+2a 因而? 1 ?d=a+2b
1

?a=3?2d-c? ?? 2 ?b=3?2c-d?
2



→ 2 → 2 即AB= (2d-c),AD= (2c-d). 3 3

→ 1→ 变式训练 1 解 ∵AD= AB,DE∥BC,M 为 BC 中点, 4 → 1 → 1→ 1 ∴DN= BM= BC= (b-a). 4 8 8 例2 解 由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).

(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,- 42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
?-6m+n=5, ?m=-1, ? ? ∴? 解得? ? ? ?-3m+8n=-5, ?n=-1.

→ → → (3)设 O 为坐标原点,∵CM=OM-OC=3c, → → ∴OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). → → → ∴M(0,20).又∵CN=ON-OC=-2b, → → → ∴ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),∴N(9,2).∴MN=(9,-18). → 变式训练 2 (1)解 OP=t1(1,2)+t2(3,3)=(t1+3t2,2t1+3t2),
? ?t1+3t2<0 3 P 在第二象限的充要条件是? 有解.∴- t2<t1<-3t2 且 t2<0. 2 ? ?2t1+3t2>0

→ → → (2)证明 当 t1=1 时,有OP-OA=t2AB, → → ∴AP=t2AB,∴不论 t2 为何实数,A,B,P 三点共线. → (3)解 由OP=(t1+3t2,2t1+3t2), 得点 P(t1+3t2,2t1+3t2),∴O,A,B,P 能组成一个平行四边形有三种情况.
? ? ?t1+3t2-4=1 ?t1=2 → → 当OA=BP,有? ?? ; ? ? ?2t1+3t2-5=2 ?t2=1

→ → 当OA=PB,
? ? ?t1+3t2-4=-1 ?t1=0 有? ?? ; ? ? ?2t1+3t2-5=-2 ?t2=1 ? ? ?t1+3t2=-3 ?t1=0 → → 当OP=BA,有? ?? . ?2t1+3t2=-3 ?t2=-1 ? ?

例3



?-m+4n=3 ? (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),所以? ,得 ? ?2m+n=2

?m=9 ? 8 ?n=9
5

.

(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),

∵(a+kc)∥(2b-a), ∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0, 16 ∴k=- . 13 (3)设 d=(x,y),d-c=(x-4,y-1), a+b=(2,4),
? ?4?x-4?-2?y-1?=0 由题意得? , 2 2 ??x-4? +?y-1? =5 ? ?x=3 ?x=5 ? ? 解得? 或? , ? ? ?y=-1 ?y=3

∴d=(3,-1)或 d=(5,3). 变式训练 3 解 (1)因为 a=(1,0),b=(2,1),所以 a+3b=(7,3), ∴|a+3b|= 72+32= 58. (2)ka-b=(k-2,-1),a+3b=(7,3), 因为 ka-b 与 a+3b 平行, 1 所以 3(k-2)+7=0,即 k=- . 3 7 此时 ka-b=(k-2,-1)=?-3,-1?, ? ? a+3b=(7,3),则 a+3b=-3(ka-b), 即此时向量 a+3b 与 ka-b 方向相反. 课时规范训练 A组 1.C 2.B 1 3.C 4. 2 1 5. 2 6.8

7.解 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), 当 ka+b 与 a-3b 平行时, 存在唯一实数 λ 使 ka+b=λ(a-3b), 由(k-3,2k+2)=λ(10,
? ?k-3=10λ, -4)得,? ?2k+2=-4λ. ?

1 解得 k=λ=- , 3 1 ∴当 k=- 时,ka+b 与 a-3b 平行, 3 1 1 这时 ka+b=- a+b=- (a-3b). 3 3 1 ∵λ=- <0,∴ka+b 与 a-3b 反向. 3

→ → 8.解 设PA=a,PB=b, → → → 由已知条件 3CP=PA+2PB, → → λ 即 3p=a+2b,PQ=λCP= (a+2b), 3 → → → → → 又PQ=PA+AQ=PA+μAB → → → =PA+μ(PB-PA)=(1-μ)a+μb,

?3=1-μ 由平面向量基本定理? 2λ ? 3 =μ
→ → 解得 λ=1,因此PQ=λCP=p. B组 1.A 2.D 3.D 7.解 4.(-2,0)或(-2,2)

λ

.

5.60° 6.2

→ → (1)设点 D(x,y),因为AD=BC,

所以(x,y)=(6,8)-(4,1)=(2,7), 所以顶点 D 的坐标为(2,7). 7 (2)设点 I(x,y),则有 F 点坐标为?1,2?,(xE-2,yE-7)=2(6-xE,8-yE) ? ? 14 23 5 → ?E? 3 , 3 ?,BF=?-3,2?, ? ? ? ? → → → 5 → → 23 14 BI =(x-4,y-1),BF∥BI ? (x-4)=-3(y-1),又AE∥AI ? x= y,联立方程 2 3 3 91 299 组可得 x= ,y= , 52 104 91 299 则点 I 的坐标为?52,104?. ? ? → → → 8.(1)解 OM=t1OA+t2AB =t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2). 当点 M 在第二或第三象限时,
?4t2<0, ? 有? ?2t1+4t2≠0, ?

故所求的充要条件为 t2<0 且 t1+2t2≠0. (2)证明 当 t1=1 时, → 由(1)知OM=(4t2,4t2+2). → → → ∵AB=OB-OA=(4,4),

→ → → AM=OM-OA=(4t2,4t2) → =t2(4,4)=t2AB, ∴A、B、M 三点共线. → (3)解 当 t1=a2 时,OM=(4t2,4t2+2a2). → → → 又AB=(4,4),OM⊥AB, ∴4t2×4+(4t2+2a2)×4=0, 1 → ∴t2=- a2,故OM=(-a2,a2). 4 |-a2-a2+2| → 又|AB|=4 2,点 M 到直线 AB:x-y+2=0 的距离 d= = 2|a2-1|. 2 ∵S△ABM=12, 1 1 ∴ |AB|· ×4 2× 2|a2-1|=12,解得 a=± d= 2,故所求 a 的值为± 2. 2 2


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