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第8节 条件概率与独立事件、二项分布(理)


第八
第十 章 概率 (文 科) 计数 原理、 概率 (理 科) 节 条件 概率 与独

抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练

立事
件、 二项 分布 [理]

提 能 力

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[备考方向要明了] 考 什 么 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念. 2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布. 3.能解决一些简单的实际问题.

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怎 么 考 从高考内容上看,条件概率多以客观题的形式考查; 相互独立事件的概率求法与离散型随机变量的分布列, 均值问题相结合在解答题中考查居多,难度中档,对于

独立重复试验与二项分布也多在解答题中涉及.

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一、条件概率及其公式

1.条件概率的定义:
对于任何两个事件A和B,在已知 B发生 的条件下,

A发生 的概率,称为B发生时A发生的条件概率,
记为 P(A|B) .

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2.条件概率公式:

P?A∩B? P(A|B)= ,其中P(B)>0, P?B?
A∩B也可以记为AB.

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二、事件的相互独立性

P(A)P(B) 1.设 A、B 为两个事件,如果 P(AB)=
则称事件 A 与事件 B 相互独立.



2.如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B , A 与 B ,

A 与 B 也都相互独立.

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三、二项分布 进行n次试验,如果满足以下条件: (1)每次试验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“成功” 和“失败”; (2)每次试验“成功”的概率均为p,“失败”的概率均为1-p; (3)各次试验是相互独立的.

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用X表示这n次试验中成功的次数,则

Ck pk(1-p)n-k n P(X=k)=

(k=0,1,2,?,n).

若一个随机变量X的分布列如上所述,称X服从参数为 n,p的二项分布,简记为 X~B(n,p) .

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1.(教材习题改编)在100件产品中有95件合格品,5件次品, 现从中不放回地取两次,每次任取一件,则在第一次取 到次品后,第二次再次取到次品的概率为 5 A. 99 5 C. 101 4 B. 99 4 D. 101 ( )

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解析:设A= 第一次取到不合格品 , B= 第二次取到不合格品 ,
2 1 P?AB? 4 C5 C5 则P(AB)=C2 ,P(A)=C1 ,∴P(B|A)= =99 P?A? 100 100
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

答案: B

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4 2.某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为5,那么播下3 粒种子恰有2粒发芽的概率是 12 A.125 48 C.125 16 B.125 ( )

96 D.125 48 2 4 2 1 1 解析:P=C3(5) (5) =125.

答案: C

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1 3.设随机变量X~B(6,2),则P(X=3)等于( 5 A.16 5 C.8 3 B.16 3 D.8

)

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3 1 3 1 3 解析:P(X=3)=C6( ) · ) = (

2

2

5 16.

答案: A

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3 4.甲射击命中目标的概率为4,乙射击命中目标的概率为 2 3,当两人同时射击同一目标时,该目标被击中的概率 为________. 3 1 1 2 3 2 11 解析:P=4×3+4×3+4×3=12.

11 答案:12

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5.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分 2 3 别为3和4,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这 两个零件中恰有一个一等品的概率为________.

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解析:设事件 A:甲实习生加工的零件为一等品;事件 B:乙 2 3 实习生加工的零件为一等品,则 P(A)=3,P(B)=4,所以这 两个零件中恰有一个一等品的概率为:P(A· )+P( A · B B)= 2 3 2 3 5 P(A)· B )+P( A )· P( P(B)=3×(1-4)+(1-3)×4=12.

5 答案:12

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1.“相互独立”与“事件互斥”的区别

两事件互斥是指两个事件不可能同时发生,两事件相
互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率

没有影响.两事件相互独立不一定互斥.

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2.条件概率 条件概率通常是指在事件A发生的条件下,事件B发生的 概率.放在总体情况下看:先求P(A),P(AB)再求P(B|A) P?AB? = .关键是求P(A)和P(AB).注意P(B|A)与P(A|B) P?A? 不同.

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[精析考题] [例1] (2011· 辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=

“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶 数”,则P(B|A)= 1 A.8 2 C.5 1 B.4 1 D.2 ( )

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[自主解答]

C2+C2 4 2 3 2 P(A)= C2 =10=5, 5

2 C2 1 P(A∩B)=C2=10. 5

P?A∩B? 1 由条件概率公式得P(B|A)= =4. P?A? [答案] B

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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!) 1.(2012· 潍坊模拟)市场上供应的灯泡中,甲厂产品占 70%,乙厂占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙 厂产品的合格率是80%,则从市场上买到一个是甲 厂生产的合格灯泡的概率是 A.0.665 C.0.24 B.0.56 D.0.285 ( )

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解析:记A=“甲厂产品”,B=“合格产品”,则P(A)=
0.7,P(B|A)=0.95,∴P(AB)=P(A)· P(B|A)=0.7×0.95 =0.665. 答案: A

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2.(2011· 聊城二模)某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯 1 闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是 ,两次 2 1 闭合都出现红灯的概率为 .在第一次闭合后出现红灯的条 6 件下第二次出现红灯的概率为________.

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解析:“第一次闭合后出现红灯”记为事件A,“第二次 1 1 闭合后出现红灯”记为事件B,则P(A)= ,P(AB)= . 2 6 1 6 1 ∴P(B|A)= = . 1 3 2

1 答案:3

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[冲关锦囊]
条件概率的求法 P?AB? (1)利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)= .这是通用的 P?A? 求条件概率的方法. (2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再 在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数,即n(AB), 得P(B|A)= n?AB? . n?A?

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[精析考题] [例2] (2011· 湖北高考)如图,用K、A1、A2三类不同的元 件连接成一个系统.当K正常工作且A1、A2至少有一个正 常工作时,系统正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概

率依次为0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为
( )

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A.0.960
C.0.720

B.0.864
D.0.576

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[自主解答]

可知K、A1、A2三类元件正常工作相互

独立.所以当A1、A2至少有一个能正常工作的概率为 P=1-(1-0.8)2=0.96.所以系统能正常工作的概率为 PK· P=0.9×0.96=0.864. [答案] B

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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题,分分必保!)

3.(2012· 济南模拟)甲、乙两人同时报考某一所大学,甲

被录取的概率为0.6,乙被录取的概率为0.7,两人同
时被录取的概率为0.42,两人是否被录取互不影响, 则其中至少有一人被录取的概率为 A.0.12 C.0.46 B.0.42 D.0.88 ( )

解析:P=0.6×0.3+0.4×0.7+0.42=0.88. 答案:D

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4.(2012· 天津十校联考)设甲、乙、丙三台机器是否需要
照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内,甲、乙 都需要照顾的概率为0.05,甲、丙都需要照顾的概率 为0.1,乙、丙都需要照顾的概率为0.125. (1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概

率分别是多少?
(2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率.

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解:记“机器甲需要照顾”为事件A,“机器乙需要照顾”为 事件B,“机器丙需要照顾”为事件C.由题意,各台机器是 否需要照顾相互之间没有影响,因此,A、B、C是相互

独立事件.
(1)由已知得P(AB)=P(A)· P(B)=0.05, P(AC)=P(A)· P(C)=0.1, P(BC)=P(B)· P(C)=0.125. 解得P(A)=0.2,P(B)=0.25,P(C)=0.5. 所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2、 0.25、0.5.

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(2)记A的对立事件为 A ,B的对立事件为 B ,C的对立事件为 C , 则P( A )=0.8,P( B )=0.75,P( C )=0.5, 于是P(A+B+C)=1-P( A · · ) B C =1-P( A )· B )· C )=0.7. P( P( 所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.

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[冲关锦囊]
1.若事件A、B相互独立,则A与 B , A 与B, A 与 B 也都相互 独立. 2.对于含有“恰好”“至少”“至多”型问题要恰当分类若分 类较复杂时,可考查对立事件求其概率.

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[精析考题] [例3] (2011· 大纲版全国卷)根据以往统计资料,某地车主

购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保 险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.

(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;
(2)X表示该地的100位车主中,甲、乙两种保险都不购买的 车主数.求X的期望.

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[自主解答] 记A表示事件:该地的1位车主购买甲种保险;
B表示事件:该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险; C表示事件:该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种; D表示事件:该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.

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(1)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B, P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8. (2)D=-,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2, C X~B(100,0.2),即X服从二项分布, 所以期望E(X)=100×0.2=20.

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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题,分分必保!)
5.(2012· 济南模拟)位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移 动:质点每次移动一个单位,移动的方向向左或向右,并且向 1 2 左移动的概率为3,向右移动的概率为3,则质点P移动五次后 位于点(1,0)的概率是 4 A.243 40 C.243 8 B.243 80 D.243 ( )

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解析:依题意得,质点P移动五次后位于点(1,0),则这五次移动中 必有某两次向左移动,另三次向右移动,因此所求的概率等于 1 2 ? ? C2· ?2· ?3= 5
?3? ?3? ? ? ? ?

80 243.

答案:D

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6.(2012· 丹东模拟)如图,在竖直平面内有一个“游戏滑道”,空白 部分表示光滑滑道,黑色正方形表示障碍物,自上而下第一行有 1个障碍物,第二行有2个障碍物,?,依次类推.一个半径适当 的光滑均匀小球从入口A投入滑道,小球将自由下落,已知小球 每次遇到正方形障碍物上顶点时,向左、右两边下落的概率都是 1 2.记小球遇到第n行第m个障碍物(从左至右)上顶点的概率为 P(n,m).

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(1)求P(4,1),P(4,2)的值,并猜想P(n,m)的表达式(不 必证明);

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?4-x,1≤x≤3, (2)已知f(x)= ? 设小球遇到第6行第m个 x-3,3<x≤6, ?

障碍物(从左至右)上顶点时,得到的分数为X=f(m),试 求X的分布列及数学期望.

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1 0 1 3 解:(1)P(4,1)=C3( ) = , 2 8 3 1 1 3 P(4,2)=C3( ) = , 2 8 猜想 1 n-1 m- 1 P(n,m)=Cn-1 =( ) ; 2

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(2)X=3,2,1, P(X=3)=P(6,1)+P(6,6)= P(X=2)=P(6,2)+P(6,5)= 1 , 16 5 , 16

5 P(X=1)=P(6,3)+P(6,4)= 8

X
P

3 1 16

2 5 16

1 5 8

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[冲关锦囊]
1.判断某事件发生是否是独立重复试验,关键有两点:

(1)在同样的条件下重复,相互独立进行;
(2)试验结果要么发生,要么不发生. 2.判断一个随机变量是否服从二项分布,要看两点: (1)是否为n次独立重复试验. (2)随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发

生的次数.

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易错矫正

混淆二项分布

与相互独立事件而致误

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[考题范例] (12分)(2012· 珠海模拟)某射手每次射击击中目标的概率是 2 ,且各次射击的结果互不影响. 3 (1)假设这名射手射击5次,求恰有2次击中目标的概率; (2)假设这名射手射击5次,求有3次连续击中目标,另外2 次未击中目标的概率;

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(3)假设这名射手射击3次,每次射击,击中目标得1分,

未击中目标得0分,在3次射击中,若有2次连续击中,
而另外1次未击中,则额外加1分;若3次全击中,则

额外加3分,记Y为射手射击3次后的总的分数,求Y的
分布列.

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[失误展板] 2 错解:(1)X~B(5, ), 3 22 23 2 ∴P(X=2)=C5×( ) ×(1- ) = 3 3 12 3 2 3 (2)P=C5( ) ×( ) =10× 3 3 40 . 243

8 80 = . 243 243

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(3)由y可取0、1、2、3、6, P(Y=0)= 1 , 27

2 P(Y=1)= , 9 4 P(Y=2)= , 27 8 P(Y=3)= , 27 P(Y=6)= 27 , 8

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∴分布列为 Y 0 1 2 4 27 3 8 27 6 8 27

1 2 P 27 9

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错因:本题第(1)问中许多学生认为是n次独立试验,而

忽视了连续3次击中目标.这一事件可以看作是5个相互
独立事件,其中连续发生3次,另两次未发生故可分三类 情形解决.对于相互独立事件与n次独立重复试验问题 一定要抓住其事件的本质特征进行区别以免发生失误.

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[正确解答]
? 2? (1)设X为射手在5次射击中目标的次数,则X~B?5,3?.在5次 ? ?

射击中,恰有2次击中目标的概率 2 2 40 P(X=2)=C2×(3)2×(1-3)3=243.(3分) 5

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(2)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i=1,2,3,4,5);“射手在5次射 击中,有3次连续击中目标,另外2次未击中目标”为事件A,则 P(A)=P(A1A2A3 A4 A5 )+P( A1 A2A3A4 A5 )+P( A1 A2 A3A4A5)

2 1 1 2 1 1 2 8 =( )3×( )2+ ×( )3× +( )2×( )3= .(6分) 3 3 3 3 3 3 3 81

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(3)由题意可知,Y的所有可能取值为0,1,2,3,6, 1 1 P(Y=0)=P( A1 A2 A3 )=(3)3=27,(7分) P(Y=1)=P(A1 A2 1 2 2 +(3)2×3=9.(8分) 2 1 2 4 P(Y=2)=P(A1 A2 A3)=3×3×3=27, 2 1 1 2 1 A3 )+P( A1 A2 A3 )+P( A1 A2 A3)= 3 ×( 3 )2+ 3 × 3 × 3

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2 1 1 2 8 P(Y=3)=P(A1A2 A3 )+P( A1 A2A3)=( )2× + ×( )2= ,(9分) 3 3 3 3 27 2 8 P(Y=6)=P(A1A2A3)=( )2= ,(10分) 3 27 所以Y的分布列是 X 0 1 2 3 6 P 1 2 4 8 8 27 9 27 27 27 (12分)

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