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北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》之解三角形应用举例(三)


第八课时 §2.3.3 解三角形应用举例(三) 一、教学目标 1、知识与技能:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际 问题。 2、过程与方法:本节课是在学习了相关内容后的第三节课,学生已经对解法有了基本的了 解,这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例 1,还针对性地选择 了既具典型性有具启发性的 2 道例题, 强调知识的传授更重能力的

渗透。 课堂中要充分体现 学生的主体地位,重过程,重讨论,教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到 探究问题的过程中来,逐步让学生自主发现规律,举一反三。 3、情感态度与价值观:培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并在教 学过程中激发学生的探索精神。 二、教学重点:能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。 教学难点:灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] 提问: 前面我们学习了如何测量距离和高度, 这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角 求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题,在浩瀚无垠的海面上 如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向呢?今天我们接着探讨这方面的测量问 题。 Ⅱ.探析新课 [范例讲解] 例 1、如图,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75 ? 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然 后从 B 出发,沿北偏东 32 ? 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出 发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1 ? ,距离精确到 0.01n mile)

学生看图思考并讲述解题思路 教师根据学生的回答归纳分析:首先根据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角 ? ABC, 即可用余弦定理算出 AC 边,再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角 ? CAB。 解:在 ? ABC 中, ? ABC=180 ? - 75 ? + 32 ? =137 ? ,根据余弦定理, AC= = 67.52 ? 54.0 2 ? 2 ? 67.5 ? 54.0 ? cos137? ≈113.15 根据正弦定理,
BC = sin ?CAB AC sin ?ABC

AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC

54.0 sin137 ? sin ? CAB = BC sin ?ABC = ≈ 0.3255, 所以 ? CAB =19.0 ? ,75 ? - ? CAB
AC

113.15

=56.0 ? 答:此船应该沿北偏东 56.1 ? 的方向航行,需要航行 113.15n mile 例 2、在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ? ,沿 BE 方向前进 30m,至点 C 处测得 顶端 A 的仰角为 2 ? ,再继续前进 10 3 m 至 D 点,测得顶端 A 的仰角为 4 ? ,求 ? 的大小和 建筑物 AE 的高。

师:请大家根据题意画出方位图。 生:上台板演方位图(上图) 教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法, 让学生动手练习, 请三位同学用三种不同方法板

演,然后教师补充讲评。 解法一: (用正弦定理求解)由已知可得在 ? ACD 中, AC=BC=30, AD=DC=10 3 , ? ADC =180 ? -4 ? ,

? 10 3 =
sin 2?

30 。 因为 sin(180? ? 4? )

sin4 ? =2sin2 ? cos2 ? ? cos2

?

=

3 2

, 得

2 ? =30 ?

?
15m

? =15 ? ,?在 Rt ? ADE 中,AE=ADsin60 ? =15 答:所求角 ? 为 15 ? ,建筑物高度为

解法二: (设方程来求解)设 DE= x,AE=h 在 Rt ? ACE 中,(10 3 + x) 2 + h 2 =30 2 在 Rt ? ADE 中,x 2 +h 2 =(10 3 ) 2 两式相减,得 x=5 3 ,h=15

?在 Rt ? ACE 中,tan2 ? =

h 10 3 ? x

=

3 ?2 ? =30 ? , ? =15 ? 3

答:所求角 ? 为 15 ? ,建筑物高度为 15m 例 3、 某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 ? 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船, 正沿南偏东 75 ? 的 方向以 10 海里/小时的速度向我海岸行驶, 巡逻艇立即以 14 海里/小时的速度沿着直线方向 追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多少时间才追赶上该走私船?

师:你能根据题意画出方位图?教师启发学生做图建立数学模型 分析:这道题的关键是计算出三角形的各边,即需要引入时间这个参变量。 解: 如图, 设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船, 则 CB=10x, AB=14x,AC=9,

? ACB= 75 ? + 45? = 120? ?(14x)

2

= 9 2 + (10x)

2

-2 ? 9 ? 10xcos 120?

3 9 ?化简得 32x 2 -30x-27=0,即 x= ,或 x=- (舍去)所以 BC = 10x =15,AB =14x =21, 2 16 ? 3 5 3 BC sin120 15 又因为 sin ? BAC = = = ? ? ? BAC =38 ? 13? ,或 ? BAC =141 ? 47? (钝 2 AB 14 21
角不合题意,舍去) ,?38 ? 13? + 45? =83 ? 13? 答:巡逻艇应该沿北偏东 83 ? 13? 方向去追,经过 1.4 小时才追赶上该走私船. 评注:在求解三角形中,我们可以根据正弦函数的定义得到两个解,但作为有关现实生活的 应用题,必须检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解 Ⅲ.课堂练习:课本本节练习题。 Ⅳ.课时小结:解三角形的应用题时,通常会遇到两种情况: (1)已知量与未知量全部集中 在一个三角形中,依次利用正弦定理或余弦定理解之。 (2)已知量与未知量涉及两个或几个 三角形, 这时需要选择条件足够的三角形优先研究, 再逐步在其余的三角形中求出问题的解。 Ⅴ.课后作业:1、课本习题 2-3 A 组第 9、10、11 题

2、我舰在敌岛 A 南偏西 50? 相距 12 海里的 B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西 10? 的方向以 10 海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用 2 小时追上敌舰? 五、教后反思:


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