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2015赢在高考第一轮复习数学 课后作业11


第8讲

函数与方程

基础巩固

1.下列函数图象与 x 轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是(

)

答案:C 解析:能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断,并且有 f(a)·f(b)<0,A,B 选项中不存在 f(x)<0,D 选项中零点两侧函数值同号,故选 C. 2.函数 f(x)=lg x-x的零点所在的区间是(
1

)

A.(0,1] C.(10,100] 答案:B

B.(1,10] D.(100,+∞)

解析:由于 f(1)·f(10)=(-1)× <0,根据二分法得函数 f(x)=lg x-x在区间(1,10]内存在零点. 10 3.(2014 届湖南长沙检测)已知函数 f(x)= A.2,0 答案:D 解析:当 x≤1 时,由 f(x)=2x-1=0,解得 x=0; 当 x>1 时,由 f(x)=1+log2x=0,解得 x=2, 又因为 x>1,所以此时方程无解. 综上,可知函数 f(x)的零点只有 0. 4.函数 f(x)=x3-2x2-x+2 的零点个数为( ) 1
1 1

9

1

2 -1,x ≤ 1, 则函数 f(x)的零点为( 1 + 2 x,x > 1, D.0

)

B.-2,0

C.2

1

A.0 答案:D

B.1

C.2

D.3

解析:∵ f(x)=x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x2-1), ∴ 函数 f(x)有三个零点 1,-1,2. 5.根据表格中的数据,可以断定函数 f(x)=ex-x-2 的一个零点所在的区间是(
x+2 x e
x

)

1 -1 0.37

2 0 1

3 1 2.72

4 2 7.39

5 3 20.09

A.(-1,0) 答案:B

B.(1,2)

C.(0,1)

D.(2,3)

解析:∵ f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0, ∴ f(1)f(2)<0. 故由零点存在性定理知函数 f(x)的一个零点所在的区间是(1,2). 6.设函数 f(x)=x3+bx+c(b>0,-1≤x≤1),且 f - 2 · f 2 <0,则方程 f(x)=0 在区间[-1,1]内( A.可能有 3 个实数根 C.有唯一的实数根 答案:C 解析:∵ f(x)=x3+bx+c(b>0),∴ f'(x)=3x2+b>0. 故函数 f(x)在区间[-1,1]上为增函数. 又∵ f - 2 ·f
1 1 2 1 1

)

B.可能有 2 个实数根 D.没有实数根

<0,

∴ 方程 f(x)=0 在区间[-1,1]上有实数根且只有一个. 7.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是( A.1 答案:B 解析:∵ a>0,∴ a2+1>1. 而函数 y=|x2-2x|的图象如图,∴ y=|x2-2x|的图象与 y=a2+1 的图象总有两个交点. B.2 C.3 ) D.4

2

∴ 方程|x2-2x|=a2+1(a>0)有两解. 8.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x>0 时,f(x)=2 014x+log2 014x,则在 R 上,函数 f(x)零点 的个数为 答案:3 解析:函数 f(x)为 R 上的奇函数,因此 f(0)=0,当 x>0 时,函数 f(x)=2 014x+log2 014x 在区间 0, 2 014 内存在一个零点,又 f(x)为增函数,因此其在(0,+∞)内有且仅有一个零点. 根据对称性可知函数 f(x)在(-∞,0)内有且仅有一个零点,从而函数 f(x)在 R 上的零点 的个数为 3. 9.已知函数 f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x- x-1 的零点分别为 x1,x2,x3,则 x1,x2,x3 的大小关 系是 . 答案:x1<x2<x3
1

.

解析:令 x+2x=0,即 2x=-x,设 y=2x,y=-x; 令 x+ln x=0,即 ln x=-x, 设 y=ln x,y=-x. 在同一平面直角坐标系内画出函数 y=2x,y=ln x,y=-x 的图象,如图,易知 x1<0<x2<1. 令 x- x-1=0,则( x)2- x-1=0, 解得 x =
1+ 5 2

,即 x3=

3+ 5 2

>1,所以 x1<x2<x3. . 3

10.已知方程 2x-1+2x2-a=0 有两根,则 a 的取值范围是

答案:

1 2

,+∞

解析:原方程可化为 2x-1=-2x2+a,在同一平面直角坐标系内作出函数 y=2x-1 和 y=-2x2+a 的 图象,如右图,要使方程有两根,必须两个函数的图象有两个交点.由于函数 y=2x-1 的图象 与 y 轴的交点是 0, 2 ,所以,当 a=2时,抛物线的顶点与指数函数在 y 轴的交点重合;当 a>2 时,它们必有两个交点.故所求 a 的取值范围是
2 1 2 1 1 1

,+∞ .

11.判断函数 f(x)=4x+x2-3x3 在区间[-1,1]上零点的个数,并说明理由. 解:因为 f(-1)=-4+1+3=-3<0,f(1)=4+1-3 = 3 >0,所以 f(x)在区间[-1,1]上有零点. 又 f'(x)=4+2x-2x2=2-2 x- 2 , 当-1≤x≤1 时,0≤f'(x)≤2, 所以 f(x)在区间[-1,1]上单调递增. 所以 f(x)在区间[-1,1]上有且只有一个零点. 12.已知函数 f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出该零点. 解:∵ 函数 f(x)=4x+m·2x+1 有且仅有一个零点, 即方程(2x)2+m·2x+1=0 仅有一个实根. 设 2x=t(t>0),则 t2+mt+1=0. 当 Δ=0,即 m2-4=0, ∴ m=-2 时,t=1;m=2 时,t=-1(不合题意,舍去), ∴ 2x=1,x=0 符合题意. 4
9 9 1 2 2 7 2 13

当 Δ>0,即 m>2 或 m<-2 时,t2+mt+1=0 有两正根或两负根,即函数 f(x)有两个零点或 没有零点. ∴ 这种情况不符合题意. 综上可知,m=-2 时,函数 f(x)有唯一零点,该零点为 x=0. 13.m 为何值时,函数 f(x)=x2+2mx+3m+4: (1)有且仅有一个零点; (2)有两个零点且均比-1 大. 解:(1)函数 f(x)=x2+2mx+3m+4 有且仅有一个零点? 方程 f(x)=0 有两个相等实根? Δ=0,即 4m2-4(3m+4)=0,即 m2-3m-4=0,解之可得 m=4 或 m=-1. (2)方法一:设函数 f(x)的两个零点分别为 x1,x2,则 x1+x2=-2m,x1·x2=3m+4. Δ = 4m2 -4(3m + 4) > 0 由题意,知 (x1 + 1) + (x2 + 1) > 0 ? (x1 + 1)(x2 + 1) > 0 m > 4 或 m < -1, m2 -3m-4 > 0 ? m < 1, -2m + 2 > 0 m > -5, 3m + 4-2m + 1 > 0 因此-5<m<-1.故 m 的取值范围为(-5,-1). Δ > 0, 方法二:由题意,知 -m > -1, f(-1) > 0, m2 -3m-4 > 0, m < 1, 即 1-2m + 3m + 4 > 0. 解之可得-5<m<-1. 故 m 的取值范围为(-5,-1).
拓展延伸

14.若函数 f(x)=x3-3x+2, (1)求函数 f(x)的零点; 5

(2)求分别满足 f(x)<0,f(x)=0,f(x)>0 的 x 的取值范围; (3)画出函数 f(x)的大致图象. 解:f(x)=x3-3x+2=x(x-1)(x+1)-2(x-1) =(x-1)(x2+x-2)=(x-1)2(x+2). (1)令 f(x)=0,得函数 f(x)的零点为 x=1 或 x=-2. (2)令 f(x)<0,得 x<-2; 令 f(x)>0,得-2<x<1 或 x>1, 所以满足 f(x)<0 的 x 的取值范围是(-∞,-2); 满足 f(x)=0 的 x 的取值范围是{1,-2}; 满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是(-2,1)∪ (1,+∞). (3)函数 f(x)的大致图象如图所示.

6


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