当前位置:首页 >> 数学 >>

等比数列的前n项和教案设计


《等比数列的前 n 项和》教案设计
一、教学目标: 1、知识与技能: 理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上能 初步应用公式解决与之有关的问题.理解等比数列前 n 项和公式的推导方法,掌 握等比数列前 n 项和公式及应用。 2、过程与方法: 通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、 分类讨论等数学思想,培养学生观察

、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向 思维的能力。培养学生观察问题、思考问题的能力,并能灵活运用基本概念分析 问题解决问题的能力,锻炼数学思维能力。 3、情感、态度与价值观: 通过对公式推导方法的探索与发现,培养学生的思维能力,使学生在民主、 和谐的活动中感受学习的乐趣。培养学生学习数学的积极性,激发学生求知欲, 鼓励学生大胆尝试, 并从中获得成功的体验,锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意 志和勇于创新的精神。 二、教学重点、难点: 1、教学重点: 推导等比数列的前 n 项和公式,运用等比数列的前 n 项和公式解决一些简单 问题。 2、教学难点: 由研究等比数列的结构特点,探索等比数列的前 n 项和公式。 三、教学手段: 利用多媒体进行辅助教学 四、教学过程: 1、创设情景,激发兴趣,引入新课 通过电脑制作 flash 动画,模拟现实生活中的贷款游戏。 一天,小林和小明做“贷款”游戏,他们签订了一份合同。从签订合同之日 起,在整整一个月(30)天中,小明第一天带给小林 1 万元,第二天带给小林 2 万元??以后每天比前一天多贷给小林 1 万元。而小林按这样的方式还贷:小林 第一天只需还 1 分钱, 第二天还 2 分钱,第三天还 4 分钱??以后每天还的钱数 是前一天的两倍。 合同开始生效了,第一天,小林支出 1 分钱,收入 1 万元;第二天,他支出 2 分钱,收入 2 万元;第三天,他支出 4 分钱,收入 3 万元??到了第 10 天, 他共得到 55 万元, 付出的总额只有 10 元 2 角 3 分。 到了第 20 天, 小林共得 210 万元, 而小明才得到 1048575 分, 共 1 万元多一点。 小林想: 要是合同订两个月、 三个月该多好! 果真是这样吗? 下面我们来计算一下双方得到的钱数, 设 30 天后, 小林得到的钱数为 T30(万
元 ) , 小 明 得 到 的 钱 数 为 S30 ( 分 ) , 则 根 据 合 同 , 有

T30 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 30 ?

30 ? (1 ? 30) ? 465(万元) ,S30 ? 1 ? 2 ? 22 ? ?? 229 ,要得知小 2
1

林想的是否正确,我们就得比较 S30与T30 的大小,只需计算出 S30 的大小。

2、师生互动,类比探究

S30 ? 1 ? 2 ? 22 ? ?? 229
问题 1:如何求出这个和?用计算器怎么样?(时间很长,太麻烦了) 问题 2:等差数列有求和的公式,那么等比数列是否也有求和的公式呢?若有就 直接用公式。 问题 3:怎样求等比数列的前 n 项和公式? 问题 4:能否类比等差数列前 n 项和公式的求法?(等差数列前 n 项和公式的方 法是倒序相加法,倒序相加的目的是要出现相等的项,从而可以化简,通过学生 尝试,很容易发现倒序相加法求不出这个和,由此得知对于等比数列,不能照搬 倒序相加的方法) 问题 5:求和的根本目的是什么?(消项,消项后就可化简) 问题 6:观察求和的式子 S30 ? 1 ? 2 ? 22 ? ?? 229 ①,相邻两项有什么特征?怎么把某
一项变成它的后一项?( 后项=前项 ? 公比 ) 问题 7:类比等差数列求和方法,需要构造另一个式子②,而要达到消项的目的,就须使两 式具有相同的项。 问题 8:如何构造式子②?(将式子①的两边都乘以公比 2) 问题 9:为了消项,接下来将这两个式子怎么样?(相减)

S30 ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 228 +229 ① ① ? 2, 得
即: (思路 1)

2S30 ? 2 ? 22 ? ? ? 229 +230 ② ①-②,得 -S30 =1-230

? S30 =230 -1 ? 1073 (万元)
通过计算发现, S30 ? T30 ,此时,小林是万万没有想到的,肯定吓出一身冷汗。 (说明数学 来源于生活,用于生活,学习数学还是很有用的,鼓励学生学好数学)

3、师生互动,方程探究

S30 ? 1 ? 2 ? 22 ? ?? 229 ①
问题 1:还有其他的推导方法吗?

问题 2:根据①式的特点,能否建立一个关于 S30 的方程?若能,就可从方程中解出 S30 。
问题 3:①式的左边是 S30 ,要建立一个关于 S30 的方程,那就要将①式的右边也用含 S30 的 式子表示。 问题 4:观察①式的右边,从第二项开始,每一项都含有因数 2,是否可考虑将之提出来? 问题 5:提出来后,括号里面的与①式右边对照,少了哪一项? 问题 6:括号里面的,怎样用含 S30 的式子表示?
2

问题 7:这样就得到了一个什么方程?(关于 S30 的一元一次方程,即可解出 S30 ) 。

S30 ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 228 +229 ? 1 ? 2(1 ? 2 ? 22 ? ? ? 227 +228 )
即: (思路 2) =1 ? 2(S30 ? 229 )

??S30 =1 ? 230 ?S30 =230 -1 ? 1073 (万元)
设计意图:通过设计启发性强的小问题,引导学生层层思考,探究问题的本质,最

终得以解决问题。 4、学生自主尝试、探究,推导出一般的等比数列前 n 项和公式 引导学生回顾、总结上面的两种求特殊的等比数列前 n 项和的方法,指导学 生从特殊到一般,灵活的推广到求一般的等比数列前 n 项和问题,在学生自主实 践的过程中,教师观察学生的实际表现,课堂操作,发现学生中存在的普遍问题 后,教师详细讲解如何推导出一般的等比数列前 n 项和公式。 思路 1::错位相减法 S n ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ? a1q n ? 2 ? a1q n ?1①
① ? q得 qS n ? a1q ? a1q 2 ? a1q 3 ? ? a1q n ?1 ? a1q n ② ①-②得

?1-q ? Sn ? a1 ? a1q n (分类讨论思想)
当q ? 1时,S n = a1 ?1 ? q n ?

? a1 ( 1? q n ) q ?1 ? ? Sn ? ? 1 ? q ?na q ?1 ? 1

?1-q ?

当q ? 1时,S n =na1

此种方法我们称之为错位相减法,强调通过 ① ? q ,得到 ② 式,发现这两个式子中 相同的项错了位,通过两式相减把相同的项消去,达到求和的目的。错位相减法 是我们数列求和的一种常见的、重要的方法。 思路 2:解方程思想 2 n? 2 Sn ? a1 ? a 1 q?aq ? a q n1? 1 1 ? ? a q1
n?2 ? a1 ? ( q a 1? a q 1 ? ? a q1 )

? a1 ? ( q Sn ? a1q n ?1) ? (1 ? q) Sn ? a1 ? a1q n ? a1 (1 ? q n ) ? ? Sn ? ? 1 ? q ?na ? 1
建立关于 Sn 的一元一次方程。 设计意图:通过学生自主实践,调动学生学习的积极性,通过观察发现学生中的
3

q ?1 q ?1

通过从第二项起, 每项都提取公比 q , 得到括号里的表达式可写成关于 Sn 的式子,

问题,有针对性的加以指导,在探究的过程中引导学生认识从特殊到一般、分类 讨论、 解方程都是数学的常见思想, 强调错位相减法是我们数列求和的重要方法, 要理解掌握。 5、熟悉理解等比数列前 n 项和公式

当q ? 1时,Sn =na1 当q ? 1时,Sn = a1 (1 ? q n ) 1? q
a1 (1 ? q n ) ,要求一个等比数列的前 n 项和,一般要 1? q

思考 1:根据公式 当q ? 1时,Sn = 先求出哪些量? ( a1 , q, n )

思考 2:能否将 Sn 用 a1, q, an 来表示?( 当q ? 1时,Sn =

a1 ? an q ) 1? q

a1 (1 ? q n ) 思考 3:什么时候用公式: 当q ? 1时,Sn = 1? q
什么时候用公式: 当q ? 1时,Sn =

( a1 , q, n, Sn 知三求一)

a1 ? an q ( a1 , q, an , Sn 知三求一) 1? q

6、公式的应用 (1)判断正误: ① 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? (?2) n ?1 ?
1? (1 ? 2n ) (错误,公比 q ? ?2 ) 1? 2

1? (1 ? 2n ) ②1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? (错误,项数为 n ? 1 ) 1? 2
2 3 n

③ 1 ? a ? a 2 ? ? ? a n?1 ?

1? (1 ? a n ) (错误,公比为字母时得分类讨论) 1? a

设计意图:在用公式求和时,要求学生理解清楚数列的首项 a1 ,公比 q 及项数 n ,
不能盲目记忆公式。

(2)课本例 5(学生阅读) ①已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2, q ? 3 ,求 S3 ;
1 1 1 ②求等比数列 1, , , ,? 的前 10 项和。 2 4 8

1 1 1 1 变式:求等比数列 1, , , , ? 的第 5 项到第 10 项的和。 2 4 8 16,

4

方法 1:观察、发现: a5 ? a6 ? ? ? a10 ? S10 ? S4 方法 2:此等比数列的连续项从第 5 项到第 10 项构成一个新的等比数列:首 1 1 项为 a5 ? ,公比为 q ? ,项数为 n ? 6 2 16 设置意图:要求学生能用等比数列的前 n 项和公式解决最基本的问题的同时,通 过对例题加以变式,引导学生灵活运用等比数列的前 n 项和公式解决数列求和问 题,拓宽学生的思路,加深对公式的理解。 (3)课本习题 1-3A 组第 8 题(学生自主实践、独立完成练习) 在下表各题中, ?an ? 是等比数列,由已知的三个数,求另外两个未知数。

a1
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 3 8 5 2 1

q

2
1 2 2

n 6

an

Sn

1 8

35 4 54 4 7

1 2 2 3
2

5 4

1 8

65
96

189

设计意图:通过学生练习,引导学生发现在等比数列中,已知 a1 , q, n, an , Sn 中的三
个,可求另外两个,即知三求二的思想;如果不能用公式直接求出某个量,就要建立方程组 来求解。

7、归纳小结 师生共同总结这节课我们主要学到了什么?

?na1 ? ①一个公式: Sn ? ? a (1 ? q n ) a ? a q 1 ? 1 n ? 1 ? q 1? q ?
②两种方法:错位相减法,解方程 ③三种数学思想:类比,方程,分类讨论

q ?1 q ?1

8、作业布置: 书面作业: 必做题:课本练习 1 第 1 题,阅读课本例 6、例 7、例 8 选做题:画一个边长为 2cm 的正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到第 2 个正方形, 依此类推, 这样一共画了 10 个正方形, 求这 10 个正方形的面积的和。

5

1 2 3 4 5 研究性作业:求 , , , , ? 的前 n 项和。 2 4 8 16 32 五、评价与分析 根据高一学生心理特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性教学思想, 本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略, 即“案例—公式—应 用”,案例为浅层次要求,使学生有概括印象。 公式为中层次要求,由浅入深, 重难点集中推导讲解,便于突破。应用为综合要求,多角度、多情境中消化巩固 所学,反馈验证本节教学目标的落实。 其中,案例是基础,使学生感知教材;公式为关键,使学生理解教材;练习 为应用,使学生巩固知识,举一反三。 在这三步教学中, 以启发性强的小设问层层推导,辅之以学生的分组小讨论 合作探究并充分运用直观完整的板书和计算机课件等教辅用具、手段,改变教师 讲、学生听的填鸭式教学模式,充分体现学生是主体,教师教学服务于学生的思 路,而且学生通过“案例—公式—应用”,由浅入深,由感性到理性,由直观到 抽象,不仅加深了学生理解巩固与应用,也培养了学生的思维能力。 六、板书设计 等比数列的前 n 项和 一、创设情境 四、学生自主尝试 六、公式应用

二、类比探究 三、方程探究

五、师生推导等比数列前 n 项和公式

七、归纳小结 八、作业布置

6


相关文章:
教案-《等比数列的前n项和公式》
教案-《等比数列的前n项和公式》_数学_高中教育_教育专区。高二数学组集体备课...4 八、板书设计: 2.5.1 等比数列的前 n 项和 公式: 例1 例2 特征 变式...
等比数列前n项和优秀教案
等比数列的前 n 项和一、教学目标 1、掌握等比数列的前 n 项和公式,能用...设计思路如下:创设情境 布疑激趣 观察实验 建立模型 探寻特例 提出猜想 深入...
《等比数列的前n项和》教学案例设计
等比数列的前 n 项和教学案例设计一、 设计思想 1、设计理念 本课的教学设计基于“人人都能获得必要得数学”即平等性的考虑,坚持面向全 体学生,努力设计“...
等比数列的前N项和优秀教案
等比数列的前N项和优秀教案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。等比数列的前 n 项和 一.教材分析 1.在教材中的地位和作用 在《数列》一章中, 《等比数列的...
等比数列前n项和教学设计
等比数列前 n 项和教学设计 一、教学目标: 1.知识与技能:理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的 特点,在此基础上能初步应用公式解决与之有...
等比数列前n项和教案
等比数列前n项和教学设计第... 2页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...
等比数列前n项和教案
等比数列前n项和教案_数学_高中教育_教育专区。2.5 等比数列的前 n 项和(1)...q 【设计意图】 :通过反问精讲,一方面使学生加深对知识的认识,完善知识 结构,...
等比数列前n项和教学设计
等比数列前n项和教学设计_高二数学_数学_高中教育_教育专区。职高数学教案 《等比数列的前 n 项和》教案一.教学目标 知识与技能目标:理解等比数列的前 n 项和...
等比数列的前n项和教学设计
了学生的学习兴趣,也提高了他们分析问题,解决问题的能力. (二)教学目标: 1、知识目标:了解等比数列前 n 项和公式的推导方法,掌握等比数列前 n 项和公式及应用...
教学设计--等比数列前n项和
教学设计--等比数列前n项和_高一数学_数学_高中教育_教育专区。等比数列前n项和公开课 《等比数列的前 n 项和》 南靖一中:曾燕华一、教学内容分析 1.在教材中...
更多相关标签:
等比数列前n项和教案 | 等比数列教案 | 高中数学等比数列教案 | 等比数列求和教案 | 等比数列优秀教案 | 等比数列求和公式教案 | 等比数列第一课时教案 | 等比数列的性质教案 |