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2014揭阳二模(文数)【含答案--全WORD--精心排版】


广东省揭阳市 2014 届高三 4 月第二次模拟 数学(文科)
一、选择题: 1.已知 ?1 ? i ??1 ? mi ? 是实数 ( i 是虚数单位) ,则实数 m 的值为( A. ?1 B.1 )

C. -1 D. 0 2.某校有男、女生各 500 名,为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽 取 100 名学生

进行调查,则宜采用的抽样方法是( ) A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法 3.设全集 U ? R , A ? {x | y ? lg( x2 ?1)} ,则 C R A ? ( A. (??,1] B. (??, ?1) ∪(1, ??) ) D. (1, ??) ) D、 y ? ? x 2 ? 1 )

C. [-1,1]

4.下列函数中,既是偶函数又在区间 ? 0, ?? ? 上存在零点的是( A、 y ?

1 x

B、 y ? e ? x

C、 y ? lg | x |

5.已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6 ,前 7 项和 S7 ? 84 ,则 a6 等于( A.18 B. 20 C.24 D. 32

6.已知命题 p :函数 y ? sin 4 x 是最小正周期为 则下列命题为真命题的是( A. p ? q B. (?p) ? q ) C. (?p) ? (?q)

? ? ( , ?) 的周期函数,命题 q :函数 y ? tan x 在 上单调递减, 2 2
D. (?p) ? (?q)

7.在平面直角坐标系中,O(0,0) ,P(6,8) ,将向量 OP 按逆时针旋转 得向量 OQ ,则点 Q 的坐标是( ) D、 (8,-6) ) D.

? 后, 2

A、 C、 (-8,6) B、 (-6,8) (6,-8) 8.运行如图 1 的程序框图,则输出 s 的结果是( A.

1 6

B.

25 24

C.

3 4

11 12

9.已知一棱锥的三视图如图 2 所示,其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形, 正视图为直角梯形,则该棱锥的体积为( ) A、8 B、16 C、32 D、48

? x ? y ? 2 ? 0, ? 10.若曲线 y ? x2 上存在点 ? x, y ? 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ,则实数 m ?x ? m ?
的取值范围是( A. [?2,1] ) B. [1, ??) C. (0, ??) D. (??,1)

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(11-13 题)

1

11.若 sin ? ? cos ? ?

1 ,则 sin 2? = 3

. .

12.过点(2,1)作圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的弦,其中最短的弦长为

13.某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据: x y 6 2 8 3 10 5 12 6
?

? ?a 根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? ? bx ? 中的 b 的值为 0.7 ,则记
忆力为 14 的同学的判断力约为

? ?a (附:线性回归方程 y ? ? bx ? 中, a ? y ? b x ,其中 x , y 为样本平均值)
(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题)

?

?

π? ? 14.(坐标系与参数方程选做题)[在极坐标系中,过点 A ? 4 , ? ? 引圆 ? ? 4sin ? 2? ?
的一条切线,则切线长为 . 15. (几何证明选讲选做题)如图(3) , PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PO 交 B , C PA ? 2, PB ? 1, 则 AB 的长为 . 圆O 于 两点,且 三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

图 3

1 13 , cos( A ? B) ? , 且 B ? A . 7 14 (1)求角 B 和 sin C 的值; (2)若 △ ABC 的边 AB ? 5 ,求边 AC 的长.
16. (本小题满分 12 分)在 △ ABC 中,已知 cos A ?

17. (本小题满分 12 分)下表是某市从 3 月份中随机抽取的 10 天空气质量指数(AQI)和“PM2.5”(直径小于等 于 2.5 微米的颗粒物)24 小时平均浓度的数据,空气质量指数(AQI)小于 100 表示空气质量优良. 日期编号 空气质量指数(AQI) “PM2.5”24 小时平均浓度( ug / m3 ) A1 179 135 A2 40 5 A3 98 80 A4 124 94 A5 29 80 A6 133 100 A7 241 190 A8 424 387 A9 95 70 A10 89 66

(1)根据上表数据,估计该市当月某日空气质量优良的概率; (2)在上表数据中,在表示空气质量优良的日期中,随机抽取两个对其当天的数据作进一步的分析,设事件 M 为“抽取的两个日期中,当天?PM2.5?的 24 小时平均浓度不超过 75 ug / m3 ”,求事件 M 发生的概率;

2

18. (本小题满分 14 分) 如图 4, 已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面垂直, 且 ?ACB ? 90 ,?BAC ? 30 ,

BC ? 1 ,AA , 点 P, M , N 分别为 BC1 , CC1 , AB1 的中点. (1) 求证:PN / / 平面 ABC ; (2) 求证:A1M ? 1 ? 6
平面 AB1C1 ; (3)求点 M 到平面 AA 1B 1 的距离.

19. (本小题满分 14 分)已知抛物线的方程为 y ? ax 2 ? 1 ,直线 l 的方程为 y ? 称点在抛物线上. (1)求抛物线的方程; (2)已知 P ?

x ,点 A ? 3, ?1? 关于直线 l 的对 2

?1 ? ,1? ,求过点 P 及抛物线与 x 轴两个交点的圆的方程; ?2 ?

? (3)已知点 F (0,
点 M 的坐标;

15 ?1 ? ) 是抛物线的焦点, P ? ,1? ,M 是抛物线上的动点,求 | MP | ? | MF | 的最小值及此时 16 ?2 ?

3

20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ax ? ln x ? a ? 0? (1)若当 x ? [1, e] 时,函数 f ? x ? 的最大值为 ?3 ,求 a 的值;

) (2)设 g (x) ? f (x) ?f '( x)( f '( x
值范围。

为函数( f x )的导函数) ,若函数 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是单调函数,求 a 的取

21. (本小题满分 14 分)已知等比数列 ?an ? 满足: a2 ? 4, 公比 q ? 2 ,数列 {bn }的前 n 项和为 Sn ,且

Sn ?

4 2 2 b n ? an ? ( n ? N ? ).(1)求数列 ?an ? 和数列 {bn }的通项 an 和 bn ; 3 3 3
n an 3 (n ? N ? ) ,证明: ? Pi ? . Sn 2 i ?1

(2)设 Pn ?

4

数学(文科)参考答案及评分说明
一、选择题:BDCCA 解析: DABBD
y
y= x2

1 1 9.该几何体是底面为直角梯形的四棱锥,依题意得 V ? ? ? (4 ? 2) ? 4 ? 4 ? 16 . 3 2
10.结合图形易得 m 的取值范围为 m ? 1 ,故选 D. 二、填空题: 11. 解析:

x- 2y- 2= 0

8 3 5 . ,12. 2 2 ,13. 7.5 ,14. 4 2 ,15. 9 5

o 1

x
x+ y- 2= 0

14.把 A 点和圆化为直角坐标系下的坐标和方程得 A ? 0 , ? 4 ? , A 点到圆心的距离为 6, 圆 x2 ? y 2 ? 4 y , 半径为 2, 所以切线长为 62 ? 22 ? 4 2 . 15.由 ?PBA

PB PA BA ? ? , 由已知 PA ? 2, PB ? 1, ,可解得 PC ? 4 ,所以圆直径为 3,又由 PA PC AC BA 1 3 5 ? , BA2 ? AC 2 ? 9 可解得 AB ? . AC 2 5
?PAC , 可得:

三、解答题: 16. 解: (1)由 cos A ?

1 13 ? ? ? 0, 得 0 ? A ? 且 0 ? A ? B ? --------1 分 ? 0 , cos( A ? B ) ? 7 2 2 14

可得 sin A ? 1 ? cos2 A ? 1 ? ( ) 2 ?

1 7

4 3 , ---------------------------------------2 分 7

sin( A ? B) ? 1 ? cos 2 ( A ? B) ? 1 ? (13 )2 ? 3 3 , ---------------------------------3 分 14 14

?cos B ? cos[ A ? ( A ? B)] ? cos A cos( A ? B) ? sin A sin( A ? B) ? 1 ? 13 ? 4 3 ? 3 3 ? 1 ------------5 分 7 14 7 14 2
∵0 ? B ? ? ,? B ?

?
3

. ---------------6 分,∵ 在△ ABC 中, C ? ? ? ( A ? B)

∴sin C ? sin[? ? ( A ? B)] ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ---------------7 分

?

4 3 1 1 3 5 3 ? ? ? ? . ------------------------------------------------------9 分 7 2 7 2 14
5?

3 AB ? sin B AB AC 2 ? 7 ----12 分 ? ? (2)在△ ABC 中,由正弦定理得: ,-------10 分,∴AC ? sin C sin C sin B 5 3 14
17.解: (1)由上表数据知,10 天中空气质量指数(AQI)小于 100 的日期编号为:A2 、A3 、A5 、A9 、 A10 共 5 天,------2 分,故可估计该市当月某日空气质量优良的概率 P ?

5 1 ? .-----------------------------4 分 10 2

(2)在表示空气质量为优良的日期 A2、A3、A5、A9、A10 中随机抽取两个的所有可能的情况为:
5

{ A2,A3},{ A2,A5},{ A2,A9},{ A2,A10},{ A3,A5},{ A3,A9},{ A3,A10},{ A5,A9},{ A5, A10},{ A9,A10},共 10 种;------------------------------------------------8 分 两个日期当天“PM2.5”24 小时平均浓度小于 75 ug / m3 的有:{ A2,A9},{ A2,A10},{ A9,A10},共 3 种; ---------10 分,故事件 M 发生的概率 P ( M ) ?

3 .------------------------------------------12 分 10

P 是 BC1 的中点 ,∴ CB1 过点 P,--1 分 18. (1)证明:连结 CB1,∵ ∵ N 为 AB1 的中点,∴ PN//AC,---------------------------2 分 ∵ AC ? 面 ABC , PN ? 面 ABC ,∴ PN//平面 ABC. -------------4 分 BC=1,∠ BAC=30° (2)证法一:连结 AC1,在直角 ΔABC 中,∵ , ∴AC=A1C1= 3 ----------------5 分,∵ ∴Rt ?AC 1 1M

CC1 AC ? 1 1 = 2, A1C1 MC1

Rt ?C1CA -------------7 分,∴?A1MC1 ? ?CAC1 ,

A1M. ---------8 分 ??AC1C ? ?CAC1 ? ?AC1C ? ?A1MC1 ? 90 ,∴AC1⊥ ∵ B1C1⊥ C1A1,CC1⊥ B1C1,且 C1 A B1C1⊥ 平面 AA1CC1, --------9 分 1 ? CC1 ? C1 ,∴ ∴ B1C1⊥ A1M,又 AC1 ? B1C1 ? C1 ,故 A1M⊥ 平面 A B1C1,-------------------------11 分 BC=1,∠ BAC=30° 证法二:连结 AC1,在直角 ΔABC 中,∵ ,∴AC=A1C1= 3 ----------------5 分 AC1A1=α,∠ MA1C1=β,∵tan ? tan ? ? 设∠

AA1 MC1 6 2 ? = ? =1,-------------7 分 AC 3 2 1 1 AC 1 1

∴ α+β=90° A1M. ----------------8 分,∵ B1C1⊥ C1A1,CC1⊥ B1C1,且 C1 A ,即 AC1⊥ 1 ? CC1 ? C1 ∴ B1C1⊥ B1C1⊥ A1M,又 AC1 ? B1C1 ? C1 ,故 A1M⊥ 平面 AA1CC1,--------9 分,∴ 面 A B1C1,-------11 分 (3)设点 M 到平面 AA1B1 的距离为 h,由(2)知 B1C1⊥ 平面 AA1CC1, ∵VM ? AA1B1 ? VB1 ?MAA1 --------12 分,∴S?AA1B1 ? h ? S?MAA1 ? B1C1 ,∴h ?

S?MAA1 ? B1C1 S?AA1B1

1 ? 3 ? 6 ?1 3 2 ? ? . 1 2 ? 2? 6 2

即点 M 到平面 AA1B1 的距离为

3 .-------14 分 2

y ?1 ?x?3 ? 2? ?0 ? ?x ? 1 ? 2 2 19.解:(1)设点 A(3,-1)关于直线 l 的对称点为 B(x,y),则 ? 解得 ? , --------2 分 ? y ? 1 ? ?2 ?y ? 3 ?x?3 ?

把点 B(1,3)代入 y ? ax 2 ? 1 ,解得 a = 4,所以抛物线的方程为 y ? 4 x 2 ? 1--------------4 分

1 1 1 ,设抛物线与 x 轴的两个交点从左到右分别为 C、D,则 C ( ? , 0), D ( , 0) , 2 2 2 1 --------5 分,显然△ PCD 是 Rt△ ,所以 PC 为所求圆的直径,由此可得圆心坐标为 (0, ) , 2
(2)令 y ? 4 x 2 ? 1=0 得 x ? ?
6

圆的半径 r ?

1 2 1 2 2 ,--------------7 分,故所求圆的方程为 x ? ( y ? ) ? ; (其它解法请参照给分)--8 分 2 2 2

15 ) 是抛物线的焦点, (0,-1)是抛物线的顶点, 16 17 ∴ 抛物线的准线为 x ? ? ,--------------------------9 分 16 ? (3)∵F (0,
过点 M 作准线的垂线,垂足为 A,由抛物线的定义知 | MF |?| MA | , ∴| MP | ? | MF | = | MP | ? | MA |?| PA | , 当且仅当 P、M、A 三点共线时“=”成立,-----11 分 即当点 M 为过点 P 所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时, | MP | ? | MF | 取最小值,

1 17 33 )? ,------------------13 分,这时点 M 的坐标为 ( , 0) .---------------14 分 2 16 16 1 1 1 ax ? 1 20.解: (1)由 f '( x) ? a ? ? ,可得函数 f ( x ) 在 (0, ? ) 上单调递增,在 ( ? , ??) 上单调递减,----2 分 x x a a 1 ∴ 当 x ? ? 时, f ( x ) 取最大值------------------3 分 a 1 ① 当 ? ? 1 ,即 a ? ?1 时,函数 f ( x ) 在 [1, e] 上单调递减,∴ f ( x)max ? f (1) ? ?3 ,解得 a ? ?3 ;--------5 分 a 1 1 1 ② 当 1 ? ? ? e ,即 ?1 ? a ? ? 时, f ( x) max ? f (? ) ? ?3 , a e a 1 解得 a ? ?e2 ? ?1 ,与 ?1 ? a ? ? 矛盾,不合舍去;--------------------------------6 分 e 1 1 ③ 当 ? ? e ,即 a ? ? 时,函数 f ( x ) 在 [1, e] 上单调递增, a e 4 1 1 ∴ f ( x)max ? f (e) ? ?3 ,解得 a ? ? ? ? ,与 a ? ? 矛盾,不合舍去;-------------7 分 e e e 综上得 a ? ?3 .-----------------------------------------------------------------8 分 1 1 1 1 1 2 1 (2)解法一:∵g ( x ) ? ln x ? ax ? ? a ,∴g '( x) ? ? a ? 2 ? ?( ? ) ? a ? ,---------10 分 x x x x 2 4
∴(| MP | ? | MF |) min ? 1 ? (? 显然,对于 x ? (0, ??), g '( x) ? 0 不可能恒成立,∴ 函数 g ( x) 在 (0, ??) 上不是单调递增函数, ------11 分 若函数 g ( x) 在 (0, ??) 上是单调递减函数,则 g '( x) ? 0 对于 x ? (0, ??) 恒成立,

1 1 ? 0, 解得 a ? ? ,-------------------------------------------13 分 4 4 1 综上得若函数 g ( x) 在 (0, ??) 上是单调函数,则 a ? (??, ? ] .-----------------------14 分 4
∴[ g '( x)]max ? a ? 解法二:∵g ( x ) ? ln x ? ax ?

1 1 1 ax 2 ? x ? 1 ? a ,∴g '( x) ? ? a ? 2 ? ,-----------9 分 x x x x2

令 ax 2 ? x ? 1 ? 0 ------------( ? ) ,方程( ? )的根判别式 ? =1+4a , 当 ? ? 0 ,即 a ? ? 时,在 (0, ??) 上恒有 g '( x) ? 0 ,即当 a ? ? 时,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上是单调递减;----11 分

1 4

1 4

7

当 ? ? 0 ,即 a ? ? ∴g '( x) ?

1 ?1 ? 1 ? 4a ?1 ? 1 ? 4a 时,方程( ? )有两个不相等的实数根: x1 ? ;-----12 分 , x2 ? 4 2a 2a

a ( x ? x1 )( x ? x2 ) ,当 x1 ? x ? x2 时 g '( x) ? 0 ,当 x ? x2 或 0 ? x ? x1 时, g '( x) ? 0 , x2

即函数 g ( x) 在 ( x1 , x2 ) 单调递增,在 (0, x1 ) 或 ( x2 , ??) 上单调递减,∴ 函数 g ( x) 在 (0, ??) 上不单调, ---13 分 综上得若函数 g ( x) 在 (0, ??) 上是单调函数,则 a ? (??, ? ] .-----------------------14 分
n ?2 n 21. (1)解法一:由 a2 ? 4, q ? 2 得, an ? a2 ? 2 ? 2 . ------------------------2 分

1 4

4 2 2 4 2 b n ? an ? 得 Sn ? b n ? (2n ? 1) , 3 3 3 3 3 4 2 n 4 2 n ?1 则当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? bn ? (2 ? 1) ? bn ?1 ? (2 ? 1) ,-----------------4 分 3 3 3 3
由上式结合 S n ?

? bn ? 2n?1 ? 4bn?1 ? 2n ? 0 ---------5 分, ? bn ? 2n ? 4(bn?1 ? 2n?1 ) ,------7 分
∵b1 ? S1 ?

4 2 n b1 ? ? 1 ,∴b1 ? 2 ,---8 分,∴ 数列 {bn ? 2 } 是首项为 b1 ? 2 ? 4 ,公比为 4 的等比数列,---9 分 3 3

∴bn ? 2n ? 4 ? 4n?1 ? 4n ,∴bn ? 4n ? 2n .-----------------------------------------10 分
n ?2 n 解法二:(1) 由 a2 ? 4, q ? 2 得, an ? a2 ? 2 ? 2 . -------------------2 分

4 2 2 4 2 b n ? an ? 得 Sn ? b n ? (2n ? 1) , 3 3 3 3 3 4 2 n 4 2 n ?1 则当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? bn ? (2 ? 1) ? bn ?1 ? (2 ? 1) ,-----------------4 分 3 3 3 3 b bn ?1 1 ? n ?1 ? n ( n ? 2) , -------------6 分 ? bn ? 2n?1 ? 4bn?1 ? 2n ? 0 , ? bn ? 4bn?1 ? 2n (n ? 2) ? n n 4 4 2 1 1 (1 ? n ?1 ) bn b1 1 1 1 22 1 1 2 ? ? n ,-----------------------------8 分 ∴ n? ? 2? 3? ? n ? 1 4 4 2 2 2 2 2 1? 2 4 2 ∵b1 ? S1 ? b1 ? ? 1 ,∴b1 ? 2 ,------------------9 分,∴bn ? 4n ? 2n .-----------------10 分 3 3 4 2 n 4 n 2 n 2 n ?1 n n n n (2)由 bn ? 4 ? 2 得 S n ? b n ? (2 ? 1) = (4 ? 2 ) ? (2 ? 1) ? (2 ? 1)(2 ? 1) , 3 3 3 3 3
由上式结合 S n ? ∴

Pn ?

an 2n 3 1 1 ? ? ( n ? n ?1 ) -------------------------------12 分 2 Sn (2n ?1 ? 1)(2n ? 1) 2 2 ? 1 2 ? 1 3
3 1 1 1 ? Pn ? [(1 ? 2 ) ? ( 2 ? 3 ) ? 2 2 ?1 2 ?1 2 ?1 ?(
3 1 3 1 1 ? n ?1 ) ? (1 ? n ?1 ) ? .----14 分 2 ?1 2 2 ?1 2 ?1 2
n



?P ?P ?P ?
i ?1 i

n

1

2

8


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