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2015赢在高考第一轮复习数学 课后作业12


第9讲

函数的应用

基础巩固

1.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 10.4%,专家预测经过 x 年可能增长到原来的 y 倍,则函数 y=f(x)的图象大致为 ( )

答案:D 解析:设原有荒漠化土地面积为 b,由题意可得 by=b(1+10.4% )x ,即 y=(1+10.4 %)x .由此可 知应选 D. 2.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品 x 万件时 的生产成本为 C(x)= 2x2 +2x+20(万元 ).一万件售价是 20 万元,为获取更大利润,该企业一 个月应生产该商品数量为( A.36 万件 C.22 万件 答案:B 解析:由题意可知利润 L(x)=20x-C(x)=- 2(x-18)2 +142,当 x=18 时,L(x)有最大值,因此该企 业一个月应生产 18 万件该商品. 3.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行 驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能是 ( )
1 1

)

B.18 万件 D.9 万件

1

答案:A 解析:根据汽车加速行驶 s= 2at2 (a>0),匀速行驶 s=vt,减速行驶 s= 2at2 (a<0),结合函数图象可 知选 A. 4.(2013·广东佛山模拟)抽气机每次抽出容器内空气的 60 %,要使容器内剩下的空气少于 原来的 0.1%,则至少要抽(参考数据 :lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)( A.15 次 答案:D 解析:抽 n 次后容器内剩下的空气为(40% )n . ∵ 由题意知(40%)n <0.1%,即 0.4n <0.001, ∴ nlg 0.4<-3. ∴ n>
3 1 -2 2 1 1

)

B.14 次

C.9 次

D.8 次



3

1 -2×0 . 301 0

≈7.54.

∴n 的最小值为 8. 5.国家规定个人稿费纳税办法是 :不超过 800 元的不纳税;超过 800 元而不超过 4 000 元 的按超过 800 元部分的 14%纳税;超过 4 000 元的按全部稿酬的 11 %纳税.已知某人出版 一本书,共纳税 420 元,这个人应得稿费(扣税前)为( A.2 800 元 答案:C 解析:设扣税前应得稿费为 x 元,则应纳税额 y 为分段函数,由题意,得 0,x ≤ 800, y= (x- 800) × 14%,800 < ≤ 4 000, 11%·x,x > 4 000, 如果稿费为 4 000 元应纳税为 448 元,现知某人共纳税 420 元,所以稿费应在 800~4 000 元之间. 于是可知(x-800)× 14%=420,即 x=3 800.故选 C. B.3 000 元 C.3 800 元 ) D.3 818 元

2

6.将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙中,t min 后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线 y=aent .若 5 min 后甲桶和乙桶中的水量相等,又过了 m min 后甲桶中的水只有 8 L,则 m 的 值为( A.7 答案:D 解析:令 a=aent ,即 =ent ,因为 =e5n ,故 =e15n ,比较知 t=15,m=15-5=10.
8 8 2 8 1 1 1 1 a

) B.8 C.9 D.10

7.一种新款手机的价格原来是 a 元,在今后 m 个月内,价格平均每两个月减少 p %,则这款 手机的价格 y 元随月数 x 变化的函数解析式为 答案:y=a(1-p% )2 (0<x≤ m) 解析:据题意知 y=a(1-p% )2 , 又∵ 在今后 m 个月内, ∴ 0<x≤ m. 故 y=a(1-p% )2 (0<x≤ m). 8.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中 的酒精含量以每小时 25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》 规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL,那么,一个喝了少量酒后的驾驶员, 至少经过 答案:5 解析:设 x 小时后,血液中的酒精含量不超过 0.09 mg/mL,则有 0.3· 即
3 x 4 3 x 4
x x x

.

小时,才能开车.(精确到 1 小时)

≤0.09,

≤0.3,估算或取对数计算得 x>4,即至少经过 5 小时后,可以开车.

9.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图),为降低消耗,开源节流,现要从这些边 角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用,则截取的矩形面积的最大值为 答案:180 解析:依题意知
20 -x x

.

=

y-8

24 -y

,即 x= (24-y),
4

5

3

故阴影部分的面积 S=xy= 4 (24-y)y= 4(-y2 +24y), 当 y=12 时,S 有最大值为 180. 10.(2013·湖南十二校联考)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得 10 万元到 1 000 万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案 :奖金 y(单位 :万 元)随投资收益 x(单位 :万元 )的增加而增加,且奖金不超过 9 万元,同时奖金不超过收益的 20%. 请分析函数 y= 150+2 是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明原因. 解:对于函数模型 y=f(x)= 150+2, 当 x∈[10,1 000]时,f(x)为增函数, f(x)max=f (1 000)= 150 +2= 3 +2<9, 所以 f(x)≤9 恒成立. 但当 x=10 时,f(10)= 15+2> 5 ,即 f(x)≤ 5不恒成立. 故函数模型 y=
x 150 1 10 x 1 000 20 x x 5 5

+2 不符合公司要求.

11.某种出口产品的关税税率为 t,市场价格 x(单位 :千元 )与市场供应量 p(单位 :万件)之间 近似满足关系式 :p=2(1-kt)(x-b)2 ,其中 k,b 均为常数.当关税税率 t=75%时,若市场价格为 5 千元,则市场供应量为 1 万件;若市场价格为 7 千元,则市场供应量约为 2 万件. (1)试确定 k,b 的值; (2)市场需求量 q(单位 :万件)与市场价格 x 近似满足关系式 :q=2-x ,当 p=q 时,市场价格称 为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过 4 千元时,试确定关税税率的最大值. 1 = 2(1- 0.75k)(5- b)2 , 解:(1)由已知 2 = 2(1- 0.75k)(7- b)2 (1- 0.75k)(5- b)2 = 0, ? 解得 b=5,k=1. (1- 0.75k)(7- b)2 = 1, (2)∵ 当 p=q 时,2(1-t)(x-5)2 =2-x , 4

∴ (1-t)(x-5)2 =-x?t=1+ (x-5 )2=1+
25

x

1
25 x

x+ -10

;

而 f(x)=x+ x 在(0,4]上单调递减, ∴ 当 x=4 时,f(x)有最小值 4 . 故当 x=4 时,关税税率的最大值为 500 %. 12.现有某种细胞 100 个,其中有占总数 的细胞每小时分裂一次,即由 1 个细胞分裂成 2
2 1 41

个细胞,按这种规律发展下去,经过多少小时,细胞总数可以超过 1010 个?(精确到小时)(参 考数据:lg 3≈0.477,lg 2≈0.301) 解:现有细胞 100 个,先考虑经过 1,2,3,4 个小时后的细胞总数, 1 小时后,细胞总数为 × 100+ × 100× 2= × 100;
2 1 2 2 1 1 3

2 小时后,细胞总数为2 × 2× 100+2 × 2× 100× 2=4 × 100; 3 小时后,细胞总数为2 × 4× 100+2 × 4× 100× 2= 8 × 100; 4 小时后,细胞总数为2 × 8 × 100+2 × 8 × 100× 2=16× 100; … 可见,细胞总数 y 与时间 x(小时)之间的函数关系为 y=100×
3 x 2 3 1 27 1 27 81 1 9 1 9 27

3

1

3

9

,x ∈ N.
3 2

由 100× 2 >1010 ,得

x

x

>108 ,
3

两边取以 10 为底的对数,得 xlg 2>8, 从而可知 x>
8 8 3 -2 8

.

∵ ≈ 0 . 477-0 .301≈45.45, 3 -2 ∴ 经过 46 小时,细胞总数超过 1010 个.
拓展延伸

5

13.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上 午 6 点至中午 12 点,车辆通过该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 之间的关系可近似地用如下函数给出 : - t 3 - t 2 + 36t8 1 3 629 4 4 t

,6 ≤ t < 9,

y=

8

+

55 4

,9 ≤ t ≤ 10,

- 3t 2 + 66t- 345,10 < ≤ 12. 求从上午 6 点到中午 12 点,通过该路段用时最多的时刻. 解:(1)当 6≤t<9 时, y'=- 8t2 -2t+36 =- (t2 +4t-96)
8 3 3 3 3

=-8 (t+12)(t-8). 令 y'=0,得 t=-12 或 t=8. 故当 t=8 时,y 有最大值. ymax=18.75(分钟). (2)当 9≤t≤10 时,y= 8t+ 4 是增函数, 故当 t=10 时,ymax=15(分钟). (3)当 10<t≤12 时,y=-3(t-11)2 +18, 故当 t=11 时,ymax=18(分钟). 综上所述,上午 8 时,通过该路段用时最多,为 18.75 分钟.
1 55

6


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