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永修二中2009-2010学年高二第三次月考(选修2-1)


永修二中 2009-2010 学年高二第三次月考

数学试题
题号 得分 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分,每小题所给的四个选项中只有一个是正确的,请将正 确答案的代号填在第Ⅰ卷后的表格内.) 1.已知命题:“直线 a 上的两个点 A,B 在平面 α 内。”与它不等价的命题是 ( ) (A)直线 a 在平面α 内; (C)平面α 经过直线 a; (B)直线 a 上只有两点在平面α 内; (D)直线 a 上的所有点都在平面α 内. 一 二 三 18 19 20 21 22 总分

2.条件 p:x 2 ? 1 ? 0 ,条件 q: x ? ? 2 ,则 ? p 是 ? q 的 A. 充分但不必要条件 C. 充分且必要条件 B. 必要但不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
A1 B1 C1

3. .如图所示,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 AB= 2 BB1,则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为 (A)60° (B)90° (C)105° (D)75°
??? ? ????

4. 已知 A ? 2, ? 5,1 ? , B ? 2, ?2, 4 ? , C ?1, ?4,1 ? ,则向量 A B与 A C 的夹角为( ) A
B
???? ? ???? ??? ? ??? ? 5. 直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 C A ? a , C B ? b , C C 1 ? c , 则 A1 B ?

C

A. 30 ?

B. 45 ?

C. 60 ?

D. 90 ?

( )

A. a ? b ? c B. a ? b ? c 6.下列四个结论:

C. ? a ? b ? c

D. ? a ? b ? c

①若 p :2 是偶数, q :3 不是质数,那么 p ? q 是真命题; ②若 p : ? 是无理数, q : ? 是有理数,那么 p ? q 是真命题; ③若 p :2>3, q :8+7=15,那么 p ? q 是真命题; ④若 p :每个二次函数的图象都与 x 轴相交,那么 ? p 是真命题; 其中正确结论的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

7. 在空间直角坐标系中,已知点 P ( x , y , z ) ,那么下列说法正确的是 .. A. 点 P 关于 x 轴对称的坐标是 P1 ( x , ? y , z ) B. 点 P 关于 yo z 平面对称的坐标是 P2 ( x , ? y , ? z ) C. 点 P 关于 y 轴对称点的坐标是 P3 ( x , ? y , z )

D. 点 P 关于原点对称点的坐标是 P4 ( ? x , ? y , ? z ) 8. 给出四个命题:①末位数是偶数的整数能被 2 整除;②有的菱形是正方形;③ ? x ? R , x ? 0 ;④ ? x ? R , 2 x ? 1 是奇数.下列说法正确的是 A. 四个命题都是真命题 C. ②③是特称命题 B. ①②是全称命题 D.四个命题中有两个假命题

9. 已知直线 m 过点 O(0,0,0) ,其方向向量是 a =(1,1,1) ,则点 Q(3,4,5)到直 线 m 的距离是 A.1 B. 2 C. 3 D.2 10.给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两条直线互相平行.②垂直于同一平面的两个 平面互相平行.③若直线 L1L2 与同一平面所成的角相等,则 L1L2 互相平行.④若直线 L1L2 是异 面直线,则与 L1L2 都相交的两条直线也是异面直线.其中假命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 11. “a=b”是“直线 y=x+2 与圆(x-a) +(y-b) =2 相切”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
??? ? ??? ?
2 2

)

12、已知 O A ? (1, 2, 3) ,O B ? (2,1, 2) ,O P ? (1,1, 2 ) ,点 Q 在直线 OP 上运动,则当 Q A ? Q B 取得最小值时,点 Q 的坐标为 ( ) A. ( , , )
2 4 3 1 3 1

??? ?

??? ??? ? ?

B. ( , , )
2 3 4

1 2 3

C. ( , , )
3 3 3

4 4 8

D. ( , , )
3 3 3

4 4 7

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分.请将答案直接填在题后的横线上.) 13.命题: “若 a , b 的积不为零,则 a , b 都不为零”的逆否命题是 14. 若 ( a ? 3 b ) ? ( 7 a ? 5 b ) ,且 ( a ? 4 b ) ? ( 7 a ? 5 b ) ,则 a 与 b 的夹角为__________ 15.用“充分不必要、必要不充分、充要”填空: ① P ∪ Q 为真命题是 P ∩ Q 为真命题的_____________________条件; ②非 P 为假命题是 P ∪ Q 为真命题的_____________________条件;
2 ③ A : x ? 2 ? 3 , B : x ? 4 x ? 15 ? 0 , 则 A 是 B 的___________条件。


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( 16.已知 a ? ? x , 2, ? 4 ? , b ? ? ? 1, y , 3 ? , c ? ?1, ?2, z, ? 且 a, b, c 两两垂直,则 x , y , z )?

?

?

?

? ? ?

.

三、解答题(本大题共 5 题,共 74 分,解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.) 17、 已知命题 p : x ? x ? 6, q : x ? Z , 若 “ p ? q ” 与 “ ? q ”同时为假命题, x 的值。 求
2

18、已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={x|x -mx+2=0},若 A 是 B 的必要不充分条件,求实 数 m 范围。

2

2

19.在平行四边形 ABCD 中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线 AC 折起,使 AB 与 CD 成 60°角,求 B,D 间的距离.

20. (本小题满分12分) 给定两个命题, P :对任意实数 x 都有 ax
2
2

? ax ? 1 ? 0 恒成立; Q :关于 x 的方程

x ? x ? a ? 0 有实数根.如果 P ∪ Q 为真命题, P ∩ Q 为假命题,求实数 a 的取值范围.

21.在三棱锥 S ? A B C 中, ? A B C 是边长为 4 的等边三角形。 平面 S A C ? 平面 A B C , SA ? SC ? 2 2 , M 为 A B 的中点 (Ⅰ)证明: A C ? S B ; (Ⅱ)求二面角 S ? C M ? A 的平面角的正弦值; (Ⅲ)求点 B 到平面 SC M 的距离。

22.如图,在长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 ,中, A D ? A A1 ? 1, A B ? 2 ,点 E 在棱 A D 上移 (1)证明: D 1 E ? A1 D ; (2)当 E 为 A B 的中点时,求点 E 到面 A C D 1 的距离; (3) A E 等于何值时,二面角 D1 ? E C ? D 的大小为
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参考答案
一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 C 5 D 6 C 7 D 8 C 9 B 10 D 11 A 12 C

13.若 a , b 至少有一个为零,则 a ? b 为零 14.0 15. 必要不充分条件;充分不必要条件;充分不必要条件, 16.(-64,-26,-17) 17、解: p ? q 与 “ ? q 同时为假命题,所以 q 为真, p 为假。故 ?
x ? ? 1, 0 ,1, 2

?x ? Z ?| x
2

? x |? 6

18. 解:化简条件得 A={1,2},A 是 B 的必要不充分条件,即 A∩B=B ? B ? A

根据集合中元素个数集合 B 分类讨论,B=φ ,B={1}或{2},B={1,2} 当 B=φ 时,△=m2-8<0∴ 当 B={1}或{2}时, ? 当 B={1,2}时, ?
?? ? 0 ?1 ? m ? 2 ? 0 或 4 ? 2 m ? 2 ? 0
? 2 2 ? m ? 2 2

,m 无解

?1 ? 2 ? m ?1 ? 2 ? 2

∴ m=3

综上所述,m=3 或 ? 2
19.

2 ? m ? 2 2

20.解:对任意实数 x 都有 ax

2

? ax ? 1 ? 0 恒成立

?a ? 0 ? 0? a ? 4; ? a ? 0或 ? ?? ? 0

关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 有实数根 ? 1 ? 4 a ? 0 ? a ?
2

1 4



P ∨ Q 为真命题, P ∧ Q 为假命题,即 P 真 Q 假,或 P 假 Q 真,

如果 P 真 Q 假,则有 0 ? a ? 4 , 且 a ?
? a ? 0或 a ? 4 1 ?a ? 4 ?

1 4

?

1 4

? a ? 4;

如果 P 假 Q 真,则有 ? ?

,? a ? 0 .

所以实数 a 的取值范围为 ? ? ? , 0 ? ? ? 1 , 4 ? . ? ?
?4 ?

21. 解: (Ⅰ) S A ? S C ? 2 2 , A C ? 4, 易知 ? S A C 是 R t ? ,

以 C 为原点,建立如图空间直角坐标系, (也可以 AC 的中点为原点建立坐标系) 则 A (4, 0, 0), B (2, 2 3 , 0), S (2, 0, 2), M (3, 3 , 0) ,
??? ? ? C A ? ( 4, 0, 0 ),

??? S B ? (0, 2 3 , ? 2)

??? ??? ? C A ?SB ? 0 ? A C ? SB

(Ⅱ) n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 SC M 的一个法向量, C S ? (2, 0, 2 ), C M ? (3, 3 , 0 ) ,

??

??? ?

???? ?



?? ??? ? ? n1 ?C S ? 0 ? ? ?? ???? n1 ?C M ? 0 ?

,即 ?

?2x ? 2z ? 0 1 1 ? 3 x1 ? 3 y1 ? 0

, , 取 x1 ? 1, 可 得 n1 ? ( 1 ?
???? ???? ?

??

3 ?,

1 设 ,)

? ?? n2 ? ( x2 , y2 , z 2 ) 是平面 A C M
?? ???? ? ? n 2 ?A C ? 0 ? ? ? ? ?? ???? ? n 2 ?A M ? 0

的一个法向量, A C ? ( ? 4, 0, 0), A M ? ( ? 1, 3 , 0), ,取 z 2 ? 1 , n 2 ? (0, 0,1) ,
2 0 5 2 5 2

,即 ?

? ?4 x ? 0 2 ? ? x2 ? 3 y2 ? 0

?? ?

?? ?? ? | n1 ?n 2 | 5 ? co s ? ? ?? ?? ? 5 | n1 || n 2 |

?s i n ? ?

?

???? ?? ? ???? ? | B M ?n1 | 4 5 ? ? (Ⅲ) B M ? (1, ? 3 , 0 ), ? d ? 5 | n1 |

22. 解:以 D 为坐标原点,直线 D A , D C , D D1 分别为 x , y , z 轴,建立空间直角坐标系,设
A E ? x ,则 A1 (1, 0,1), D1 (0, 0,1), E (1, x , 0), A (1, 0, 0), C (0, 2, 0)

(1) 因为 DA 1 , D 1 E ? (1, 0 ,1), (1, x , ? 1) ? 0 , 所以 DA 1 ? D 1 E . (2)因为 E 为 A B 的中点,则 E (1,1, 0) ,从而 D 1 E ? (1,1, ? 1), AC ? ( ? 1, 2 , 0 ) ,
? n ? AC ? 0 , ? AD 1 ? ( ? 1, 0 ,1) ,设平面 A C D 1 的法向量为 n ? ( a , b , c ) ,则 ? ? n ? AD 1 ? 0 , ?

也即 ?

?? a ? 2b ? 0 ?? a ? c ? 0
?

,得 ?

?a ? 2b ?a ? c
? 1 3

,从而 n ? ( 2 ,1, 2 ) ,所以点 E 到平面 A C D 1 的距离为

h ?

| D1 E ? n | |n|

2 ?1? 2 3

.

(3) 设平面 D 1 E C 的法向量 n ? ( a , b , c ) , CE ? (1, x ? 2 , 0 ), D 1 C ? ( 0 , 2 , ? 1), DD 1 ? ( 0 , 0 ,1), ∴ 由?
?n ? D C ? 0, ? 1 ?2b ? c ? 0 ? ? ? n ? CE ? 0 , ?a ? b( x ? 2) ? 0. ?

令 b ? 1,? c ? 2, a ? 2 ? x ,

∴ n ? ( 2 ? x ,1, 2 ). 依题意 cos
?
4 ? | n ? DD 1 | | n | ? | DD 1 | ? 2 2 ? 2 ( x ? 2) ? 5
2

?

2 2

.

∴ x1 ? 2 ? ∴ AE ? 2 ?

3 (不合,舍去) x 2 ? 2 ? ,

3

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3 时,二面角 D1 ? E C ? D 的大小为

?
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