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江苏省连云港市2014届高三3月第二次调研考试数学(理)试题 Word版含解析


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一、填空题(每题 5 分,满分 70 分,将答案填在答题纸上) .
1.已知集合 A ? ?1, 2,3, 4? , B ? ?m,4,7? ,若 A
B ? ?1, 4? ,则 A
B?





2.若复数 z =

1 ? 3i (

i 为虚数单位) ,则 | z | = 1? i





4.一个容量为 20 的样本数据分组后, 分组与频数分别如下:?10, 20? , 2;? 20,30? , 3;? 30, 40? , 4;? 40,50? , 5; ? 50,60? ,4; ? 60,70? ,2.则样本在 ?10,50? 上的频率是 ▲ .

5.执行如图所示的算法流程图,则最后输出的 y 等于





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6.设函数 f ( x) ? a sin x ? x 2 ,若 f (1) ? 0 ,则 f ( ?1) 的值为 【答案】2 【解析】





考点:直线与平面所成的角.

8.从甲,乙,丙,丁 4 个人中随机选取两人,则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为
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9.已知 tan(a ? b ) ?

p? 2 1 ? , tan b ? ,则 tan ? a + ? 的值为 4? 5 3 ?





10.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?3 , ak ?1 ?

3 , Sk ? ?12 ,则正整数 k = 2





11.已知正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 2 ,则 【答案】9 【解析】 试题分析:由 x ? 2 y ? 2 ,得

x ? 8y 的最小值为 xy





x ? 8 y 1 8 x ? 2 y 4( x ? 2 y) x 8y x 8y ? ? ? ? ? ?1? 4 ? ? 5? ? xy y x 2y x 2y x 2y x

? 5? 2

4 1 x 8y x 8y ? ,即 x ? 4 y ,也即 x ? , y ? 时等号成立,故最小值是 9. ? ? 9 ,当且仅当 3 3 2y x 2y x
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考点:基本不等式.

1 12.如图,在△ABC 中,BO 为边 AC 上的中线, BG ? 2GO ,设 CD ∥ AG ,若 AD ? AB ? ? AC (? ? R ) , 5
则 ? 的值为 ▲ .

? (2 x ? x 2 )e x , x ≤ 0, g ( x) ? f ( x) ? 2k ,若函数 g ( x) 恰有两个不同的零点,则实数 k 的取 13.已知函数 f ( x) ? ? 2 ?? x ? 4 x ? 3, x ? 0,

值范围为





2 ?1 ? 7 3? } 【答案】 ? ? , ? ? {0, ? 2 2? e 2

【解析】

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14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P(3,0) 在圆 C : x2 ? y 2 ? 2mx ? 4 y ? m2 ? 28 ? 0 内,动直线 AB 过点 P 且交圆 C 于 A, B 两点,若△ABC 的面积的最大值为 16 ,则实数 m 的取值范围为 【答案】 [3 ? 2 3,3 ? 2 7) (3 ? 2 7,3 ? 2 3] 【解析】 ▲ .

? 3? 2 3 或 3? 2 3 ? m ? 3? 2 7 .
考点:点与圆的位置关系,圆心到弦的距离.

二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? 6cos2 x ? 2 3sin x cos x . (1)求 f ( x) 的最小正周期和值域; (2)在锐角△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 f ( B) ? 0 且 b ? 2 , cos A ? 【答案】(1) ? , [3 ? 2 3,3 ? 2 3] ;(2) a ?

4 ,求 a 和 sin C . 5

4 3 3? 4 3 ,sin C ? . 5 10
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【解析】

∴ sin C ? sin(p ? A ? B)= sin(

2p 3 1 3? 4 3 ? A) ? cos A ? sin A ? . 3 2 2 10

…………………14 分

考点:(1)三角函数的性质;(2)解三角形. 16.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AA1 B1 B 为菱形, 且 ?A1 AB ? 60? , AC ? BC , D 是 AB 的中 点. (1)求证:平面 A1DC ? 平面 ABC ; (2)求证: BC1 ∥ 平面 A1 DC .

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【答案】(1)证明见解析;(2)见解析. 【解析】

D 是 AB 的中点,∴ AB ? A1D .

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17.(本小题满分 14 分) 一个圆柱形圆木的底面半径为 1m,长为 10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中 一个部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形 ABCD (如图所示,其中 O 为圆心,
C , D 在半圆上) ,设 ?BOC ? q ,木梁的体积为 V(单位:m3) ,表面积为 S(单位:m2) .

(1)求 V 关于 θ 的函数表达式; (2)求 q 的值,使体积 V 最大; (3)问当木梁的体积 V 最大时,其表面积 S 是否也最大?请说明理由.

? p 【答案】(1) V (q) ? 10(sin q cos q ? sin q), q ? (0, ) ;(2) ? ? ; (3)是. 2 3
【解析】

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q p (AB ? 2BC ? CD) ? 10 = 20(cos q ? 2sin ? 1) , q ? (0, ) . (3)木梁的侧面积 S侧 ? 2 2 q p S ? 2S ABCD ? S侧 = 2(sin q cos q ? sin q) ? 20(cos q ? 2sin ? 1) , q ? (0, ) .…………………10 分 2 2 q p q q 设 g (q) ? cos q ? 2sin ? 1 , q ? (0, ) .∵ g (q) ? ?2sin 2 ? 2sin ? 2 , 2 2 2 2
∴当 sin

q 1 p ? ,即 q ? 时, g (q) 最大. 2 2 3

…………………12 分

又由(2)知 q ? 所以 q ?

p 时, sin q cos q ? sin q 取得最大值, 3
…………………13 分 …………………14 分

p 时,木梁的表面积 S 最大. 3

综上,当木梁的体积 V 最大时,其表面积 S 也最大.

考点: (1)函数解析式; (2)用导数求最值; (3)四棱柱的表面积及其最值. 18.(本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A , B , C 是椭圆
A(3 2,

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上不同的三点, a 2 b2

3 2 ) , B(?3, ?3) , C 在第三象限,线段 BC 的中点在直线 OA 上. 2
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(1)求椭圆的标准方程; (2)求点 C 的坐标;
C) (3 ) 设动点 P 在椭圆上 (异于点 A ,B , 且直线 PB, PC 分别交直线 OA 于 M ,N 两点, 证明 OM ? ON

为定值并求出该定值.

【答案】(1)

x2 y 2 45 ? ? 1 ;(2) (?5, ?1) ;(3) . 27 27 2 2

【解析】

所以椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 27 27 2

…………………3 分

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19.(本小题满分 16 分) 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn, 已知 a1 ? 1 , 且 (Sn?1 ? ? )an ? (Sn ? 1)an ?1 对一切 n ? N * 都 成立. (1)若 λ = 1,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求 λ 的值,使数列 ?an ? 是等差数列. 【答案】(1) an ? 2n?1 ;(2) ? ? 0 . 【解析】 试题分析:(1)本题已知条件是 (Sn?1 ? 1)an ? (Sn ? 1)an?1 ,我们要从这个式子想办法得出 Sn 与 an 的简单 关系式,变形为 得
Sn ?1 ? 1 an ?1 S ? 1 an ?1 ? ? ,这时我们联想到累乘法求数列通项公式的题型,因此首先由 n ?1 Sn ? 1 an Sn ? 1 an

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∴当 n ≥ 2 时, Sn ? 1 ? 2an .② ② ? ①,得 an ?1 ? 2an , ∴
an ?1 ? 2 ( n≥2 ) . an

………………… 6 分

所以 λ = 0 时,数列 ?an ? 是等差数列. 考点:递推公式,累乘法, Sn 与 an 的关系,等差数列.
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………………… 16 分

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20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? mx ? a ln x ? m , g ( x) ? (1)求 g ( x) 的极值; (2)设 m ? 1, a ? 0 ,若对任意的 x1 , x2 ?[3, 4] ( x1 ? x2 ) , f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 最小值; (3)设 a ? 2 ,若对任意给定的 x0 ? (0,e] ,在区间 (0,e] 上总存在 t1 , t2 (t1 ? t2 ) ,使得 f (t1 ) ? f (t2 ) ? g ( x0 ) 成立,求 m 的取值范围.
1 1 恒成立,求 a 的 ? g ( x2 ) g ( x1 )

ex ,其中 m,a 均为实数. ex

2 3 【答案】(1)极大值为 1,无极小值;(2) 3 ? e 2 ;(3) [ , ??) . e ?1 3
【解析】

试题解析: (1) g ?( x) ? 列表如下:
x

e(1 ? x) ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x = 1. ex

………………… 1 分

(?∞,1) ?

1 0
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(1,?∞) ?

g ?( x)

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g(x)



极大值



∵g(1) = 1,∴y = g ( x) 的极大值为 1,无极小值.

…………………3 分

ex?1 ex?1 ( x ? 1) 1 1 3 ,∵ v?( x) ? 1 ? ex?1 ? = 1 ? e x ?1 [( ? )2 ? ] ,x?[3,4], 2 x 2 4 x x 1 1 3 3 ∴ e x ?1 [( ? )2 ? ] ? e2 ? 1 ,∴ v?( x) < 0, v( x) 为减函数. x 2 4 4
设 v( x) ? x ? ex?1 ?

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考点:导数的应用,求单调区间,极值,求函数的值域,不等式恒成立等函数的综合应用.

理科附加题
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 ...... ....... 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,⊙ O 为四边形 ABCD 的外接圆,且 AB ? AD , E 是 CB 延 长线上一点,直线 EA 与圆 O 相切. 求证:

CD AB . ? AB BE

【答案】证明见解析.
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【解析】

B.选修 4—2:矩阵与变换
?1 2 ? ?1 ? 已知矩阵 M ? ? , ? ? ? ? ,计算 M 6 ? . ? ? 2 1? ?7 ?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程
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? x ? 2 ? 2cos a , 在平面直角坐标系 xOy 中,圆的参数方程为 ? ( a 为参数 ) ,以坐标原点 O 为极点, x 轴的 ? y ? 2sin a

正半轴为极轴建立极坐标系.求: (1)圆的直角坐标方程; (2)圆的极坐标方程.

D.选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? a2 ? 2a ,若函数 f ( x) 的图象恒在 x 轴上方,求实数 a 的取值范围.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 甲乙两个同学进行定点投篮游戏,已知他们每一次投篮投中的概率均为

2 ,且各次投篮的结果互不影 3

响.甲同学决定投 5 次,乙同学决定投中 1 次就停止,否则就继续投下去,但投篮次数不超过 5 次. (1)求甲同学至少有 4 次投中的概率; (2)求乙同学投篮次数 x 的分布列和数学期望.
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23.(本小题满分 10 分)
0 1 2 设 Sn ? Cn ? Cn ?1 ? Cn ? 2 ?
* m ? (?1)m Cn ? m ,m, n ? N 且 m ? n ,其中当 n 为偶数时,m ?

n ;当 n 为奇数时, 2

m?

n ?1 . 2

(1)证明:当 n ? N* , n ≥ 2 时, Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ;
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(2)记 S ?

1 1 1 1 0 1 2 3 C2014 ? C2013 ? C2012 ? C2011 ? 2014 2013 2012 2011 1 2014

?

1 1007 ,求 S 的值. C1007 1007

【答案】(1)证明见解析;(2) S ? ? 【解析】

0 1 Sn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ? 2 ?

? (?1)

n ?1 2

n ?1 2 Cn? 1 , 2

0 0 1 1 ∴ Sn ?1 ? Sn ? (Cn ?1 ? Cn ) ? (Cn ? Cn ?1 ) ?

? (?1)

n ?1 2

2 2 (C n ? ? Cn? 1 1 ) ? (?1) 2 ?1 2

n ?1

?1

n ?1

n ?1 2

n ?1 2 Cn? 1 2

0 1 = ?(Cn ?1 ? Cn ? 2 ?

? (?1)

n ?1 2

2 Cn? 1 ) ? ? S n ?1 . 2

n ?1

∴当 n 为奇数时, Sn?1 ? Sn ? Sn?1 成立.

…………………5 分

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