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河北省唐山市开滦第二中学高中数学 推理与证明学案 新人教A版选修1-2


河北省唐山市开滦第二中学高中数学 推理与证明学案 新人教 A 版 选修 1-2
【学习目标】 1. 了解合情推理和演绎推理的含义; 2. 能用归纳和类比进行简单的推理;掌握演绎推理的基本模式; 3. 能用综合法和分析法进行数学证明; 4. 能用反证法进行数学证明. 【学习内容】 一、课前预习: 复习 1:归纳推理是由 到 的推理. 类比推理是由 到 的推理.合情推 理 的结论 . 演绎推理是由 到 的推理.演绎推理的结论 . 复习 2:综合法是由 导 ; 分析法是由 索 . 直 接 证 明 的两 种 方 法 : 和 ; 是间接证明的一种基本方法. 二、课堂互动探究 :典例精析 变式训练 探究任务一 :合情推理与演绎推理 问题:合情 推理与演绎推理是相辅相成的,前者是后者的前提,后者论证前者的可靠性.你 能举出几个用合情推理和演绎推理的例子吗? 探究任务一 :直接证明和间接证明 问题:你能分别说出这 几种证明方法的特点吗?结合自己以往的数学学习经 历,说说 一般 在什 么情况下,你会选择什么相应的证明方法? 典型例题 例 1 已知数列 ?an ? 的通项公式
1 (n ? N ? ) ,记 f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ??? (1 ? an ) ,试通过计算 f (1), f (2), f (3) 的值, (n ? 1) 2 推测出 f (n) 的值. an ?

变式:已知数列

1 1 1 1 , , ,? , 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 2 n ? 1 ? ?? 2n ? 1?

⑴求出 S1 , S2 , S3 , S4 ;⑵猜想 前 n 项和 Sn . (理科 ) (3)并用数学归纳法证明你的猜想是否正确? 小结:归纳推理是由特殊到一般的推理,是一种猜想,推理的结论都有待进一 步证明. 2 tan(? ? ? ) ? p ; 例 2 已 知 tan?, tan?是关于 x 的一元二次方程 x +px+2=0 的两实根. (1) 求证: (2)求证 : 3sin(? ? ? ) ? p cos(? ? ? ) ? 0 .

变式:如右图所示, SA ? 平面 ABC, AB ? BC ,过 A 作 S B 的垂线,垂足为 E,过 E 作 S C 的垂线,垂足为 F,求证:⑴ BC ? 面SAB ;⑵ AF ? SC .
1

S

F E C B

A

小结:证明问题对思维的深刻性、严谨性和灵活性有较高的要求. 动手试试 练 1. 求证:当 x 2 ? bx ? c 2 ? 0 有两个不相 等的非零实数根时, bc ? 0 .

练 2. 数列 {an } 满足 Sn ? 2n ? an , n ? N * (1)计算 a1 , a2 , a3 , a4 ,并由此猜想通项公式 a n ; (2)用数学归纳法证明(1)中的结论.(理科)

三、总结提升 学习小结

知识拓展 帽子颜色问题 “有 3 顶黑帽子,2 顶白帽.让三个人从前到后站成一排,给他们每个人头上戴一顶帽 子. 每个人都看不见自己戴的帽子的颜色,却只能看见站在前面那些人的帽子颜色.(所以最后 一个人可以看见前面两个人头上帽子的颜色, 中间那个人看得见前面那个人的帽子颜色但看 不见在他后面那个人的帽子颜色,而最前面那个人谁的帽子都看不见.现在从最后那个人开 始 ,问他是不是知道自己戴的帽子颜色,如果他回答说不知道,就继续问他前面那个人.事 实上他们三个戴的都是黑帽子,那么最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子.为什么? 三.课堂练习及课后作业 1. 按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律,
H H C H CH4 H H H C H H C H H H H C H H C H C3H8 H C H H

写出后一种化合物的分子式 是( ). ... A.C4H9 B.C4H10 C.C4H11 D.C6H12

C2H6

2

2. 用反证法证明: “a ? b ” ,应假设为( ). a ? b a ? b A. B. C. a ? b D. a ? b 3. 所有金属都能导电,铁是金属,所以铁能导电. 属于哪种推理( A.演绎推理 B. 类比推理 C.合情推理 D.归纳推理 4. 用火柴棒按下图的方法搭三角形:

).

按图示的 规律搭下去,则所用火柴棒数

an 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以是___________.
5. 由“以点 ? x0 , y0 ? 为圆心, r 为半径的圆的方程为 ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? r 2 ”可以 类比推
2 2

出球的 类似属性是 6. 若 sin ? ? cos ? ? 1 ,求证: sin 6 ? ? cos6 ? ? 1

.

7.求证 y ? ax2 ? 2bx ? c , y ? bx2 ? 2cx ? a ,
y ? cx2 ? 2ax ? b ( a , b, c 是互不相等的实数 ),3 条抛物线至少有一条 与 x 轴有两个交点.

3


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