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天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学(文)试题


2013 年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考

数学试卷(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。考试结束后,将答题纸和答题卡一并交回。

第 I 卷(选择题,共 40 分)
注意事项:

1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2.选出答案后,用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再填 涂其它答案,不能答在试卷上。

一. 选择题(本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,有且只有一个 是正确的)
-3? i 1? i

1.已知 i 是虚数单位,则复数
A . 1 ? 2i ?

?

B. 2 ? i ?

C . 1 ? 2i ?

D. 2 ? i ?

开始

? y ? 0, ? 2.已知 x、y 满足约束条件 ? y ? x , ?2 x ? y ? 6 ? 0. ?

n ? 1, S ? 0

n ? 4?



则目标函数 z ? x ? y 的最大值为
A.0 B .3

是 6 D.
S ? S ? n ?3
n

C.4

输出 S

3.阅读如图的程序框图,若运行相应的程序,则输出的 S 是
n ? n ?1

结束

A. 1 2

B. 9 3

C. 1 8

D .0 2 1

4. a ? 1 ”是“函数 f ( x ) ? “ 充分不必要条件 A. 充要条件 C.

e

x

?

a e
x

a

是奇函数”的

必要不充分条件 B. 既不充分也不必要条件 D.

0 .7 0 .5 5.设 a ? 4 , b ? 0 .3 , c ? lo g 2 3 ,则 a 、 b 、 c 的大小关系是

A. b ? a ? c C. a ? b ? c

B. b ? c ? a

a D. ? c ? b

6.函数 y ? 2 sin(
A . [0,

?
6

? 2 x )( x ? [ 0 ,

? ]) 为增函数的区间是
]
2 2

?
3

]

[ B.

?
12

,

7? 12

C.[
2 2

?
3

,

5? 6

]

D. [

5? 6

, ?]

7.若抛物线 y ? 1 6 x 的准线与双曲线
2

x a

?

y b

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的一条渐近线交点的纵坐标

为 8 ,则这个双曲线的离心率为
A. 2

B.3

C. 2

D.5

8.已知函数 f ( x ) ? ?

? 1 ? | x ? 1 |, x ? [ ? 2 , 0 ] ? 2 f ( x ? 2 ), x ? (0 , ? ? )

,若方程 f ( x ) ? x ? a 在区间 [ ? 2, 4 ] 内有 3 个不等实根,

则实数 a 的取值范围是
A . a | ? 2 ? a ? 0} {
B . a | ? 2 ? a ? 0} {

C . { a | ? 2 ? a ? 0 或 1 ? a ? 2}

D . a | ? 2 ? a ? 0 或 a ? 1} {

2013 天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考

数学试卷(文科)
第Ⅱ卷 (非选择题,共 110 分) 注意事项: 1.第Ⅱ卷共 3 页,用蓝、黑色的钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上。 2.答卷前,请将密封线内的项目填写清楚。
二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在试题的相应的横线上.

9.设全集 U 是实数集 R , M ? { x | x ? 4} , N ? { x || x ? 2 |? 1} ,则图中阴影部分表示的集
2

合等于____________.(结果用区间形式作答) 10. 如图, P A 是圆 O 的切线,切点为 A , P A ? 2 , A C 是圆 O 的直径,
P C 与圆 O 交于点 B , P B ? 1 ,则圆 O 的半径 R 等于________.

11.一个五面体的三视图如下,正视图与侧视图是等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,部分边长如 图所示,则此五面体的体积为 .

第 9 题图 12.已知 x ? 1 , y ? 1 ,且
1 4 ln x , 1 4

第 10 题图

第 11 题图

, ln y 成等比数列,则 x y 的最小值是_______.

13.在矩形 A B C D 中, A B ? 3, A D ? 1 . 若 M , N 分别在边 B C , C D 上运动(包括端点),且满足
| BM | | BC | | CN | | CD |
x

?

,则 AM ? AN 的取值范围是_________.

? 14. 定义: m ? 表示大于或等于 ? m ? 的最小整数 m 是实数) 若函数 f ( x ) ? ( .
1 2 1 2

a
x

a ?1

( a ? 0 , a ? 1) ,

则函数 g ( x ) ? ? f ( x ) ?

? ? ? f (? x) ?

? 的值域为____.

三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 13 分) 某市有 M , N , S 三所高校,其学生会学习部有“干事”人数分别为 36,24,12,现采用分层抽 样的方法从这些“干事”中抽取 6 名进行“大学生学习活动现状”的调查. (Ⅰ)求应从 M , N , S 这三所高校中分别抽取的“干事”人数; (Ⅱ)若从抽取的 6 名干事中随机再选 2 名,求选出的 2 名干事来自同一所高校的概率.

16. (本题满分 13 分)
? A B C 中角 A , B , C 所对的边之长依次为 a , b , c ,且 co s A ?

2 5 5

, 5( a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 3 1 0 a b .

(Ⅰ)求 co s 2 C 和角 B 的值; (Ⅱ)若 a ? c ?
2 ? 1, 求 ? A B C 的面积.

17.(本题满分 13 分) 在如图的多面体中, E F ⊥平面 A E B , A E ? E B , A D // E F // B C ,
B C ? 2 A D ? 4 , A E ? B E ? 2 , G 是 B C 的中点.
A
D

(Ⅰ)求证: A B // 平面 D E G ; (Ⅱ)求直线 B D 与平面 B C F E 所成角的正切值; (Ⅲ)求证: B D ? E G .
B E
F

G

C

18.(本题满分 13 分) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2 a n ? 2 ( n ? N ) ,数列 { b n } 满足 b1 ? 1 ,
*

且 b n ?1 ? b n ? 2 . (Ⅰ)求数列 { a n } 、 { b n } 的通项公式,并求数列 { a n ? b n } 的前 n 项的和 D n ; (Ⅱ)设 c n ? a n ? sin
2

n? 2

? bn ? c o s

2

n? 2

( n ? N ) ,求数列 { c n } 的前 2 n 项的和 T 2 n .
*

19. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 3 x ?
3

m ?1 2

x , g (x) ?
2

1 3

? m x , m 是实数.

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值,求 m 的值; (Ⅱ)若 f ( x ) 在区间 ( 2 , ? ? ) 为增函数,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,函数 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 有三个零点,求 m 的取值范围.

20. (本题满分 14 分) 已知椭圆 C 的焦点是 F1 ( ? 2 2 , 0 ), F 2 ( 2 2 , 0 ) ,其上的动点 P 满足 P F1 ? P F 2 ? 4 3 .点 O 为坐标原点,椭圆 C 的下顶点为 R . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设直线 l1 : y ? x ? 2 与椭圆 C 的交于 A , B 两点,求过 O , A , B 三点的圆的方程; (Ⅲ)设过点 (0 ,1) 且斜率为 k 的直线 l 2 交椭圆 C 于 M , N 两点, 试证明:无论 k 取何值时, R M ? R N 恒为定值.
???? ???? ?

(以下可作草稿)

2013 年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考 数学试卷(文科)评分标准 一、选择题: A C D A
B C D D

二、填空题: [1, 2 ] ; 3 ; 2 ; e ; [1, 9 ] ; {0 ,1} 三、解答题: 15. (本题满分 13 分) 某市有 M , N , S 三所高校,其学生会学习部有“干事”人数分别为 36,24,12,现采用分层抽 样的方法从这些“干事”中抽取 6 名进行“大学生学习活动现状”的调查. (Ⅰ)求应从 M , N , S 这三所高校中分别抽取的“干事”人数; (Ⅱ)若从抽取的 6 名干事中随机再选 2 名,求选出的 2 名干事来自同一所高校的概率. 15.解: (I)抽样比为
6 36 ? 24 ? 12 ? 1 12

??????2 分 ??????4 分

故应从 M , N , S 这三所高校抽取的“干事”人数分别为 3,2,1

(II)在抽取到的 6 名干事中,来自高校 M 的 3 名分别记为 1、2、3; 来自高校 N 的 2 名分别记为 a、b;来自高校 S 的 1 名记为 c ?????5 分 则选出 2 名干事的所有可能结果为: {1,2},{1,3}, ,{1,a},{1,b},{1,c};{2,3}, {2,a}, {2,b},{2,c}; {3,a},{3,b},{3,c};{a,b},{a,c};{b,c}, ?8 分 共 15 种 ??????9 分 设 A={所选 2 名干事来自同一高校}, 事件 A 的所有可能结果为{1,2},{1,3}, {2,3},{a,b} ??????10 分 共 4 种, ??????11 分
? P ( A) ? 4 15

??????13 分

16. (本小题满分 13 分) ? A B C 中,角 A,B,C 所对的边之长依次为 a , b , c ,且

cos A ?

2 5 5

, 5(a ? b ? c ) ? 3 10 ab
2 2 2

(I)求 co s 2 C 和角 B 的值; (II)若 a ? c ?
2 ? 1, 求 ? A B C 的面积.

16.解:(I)由 c o s A ?

2 5

, 0 ? A ? ? ,得 s in A ?
3 10

1 5

??????1 分 ??????3 分
4 5

2 2 2 由 5( a ? b ? c ) ? 3 1 0 a b 得? c o s C ?



? 0 ? C ? ? ,? s in C ?

1 10

,? c o s 2 C ? 2 c o s 2 C ? 1 ?
2 5 ? 3 10 ?

,??????5 分
? 1 10 ? 2 2

∴ co s ? A ? C ? ? co s A co s C ? sin A sin C ? ∴ cos B ? ? cos ? A ? C ? ? ? ∴ 0 ? B ? ? ,∴ B ? 1 3 5 ? . (II)应用正弦定理 由条件 a ? c ?
S ? 1 2 a c s in B ?
a s in A ? c s in C
2,c ? 1

1 5

??????7 分

2 2



??????8 分 ??????9 分

,得 a ?

2c ,

??????10 分 ??????12 分 ??????13 分

2 ? 1, 得 a ?

1 2

?

2 ?1?

2 2

?

1 2



17. (本题满分 13 分)在如图的多面体中, E F ⊥平面 A E B , A E ? E B , A D // E F , E F // B C , B C ? 2 A D ? 4 , A E ? B E ? 2 , G 是 B C 的中点. A D (Ⅰ)求证: A B // 平面 D E G ; (Ⅱ)求直线 B D 与平面 B C F E 所成的角的正切值. (Ⅲ)求证: B D ? E G . 17.解: (Ⅰ)证明:∵ A D / / E F , E F / / B C , ∴ AD / / BC . ??????1 分 又∵ B C ? 2 A D , G 是 B C 的中点, ∴ A D / /B G , ??????2 分
B E
F

G

C

∴四边形 A D G B 是平行四边形, ∴ AB / / DG . ??????3 分 ∵ A B ? 平面 D E G , D G ? 平面 D E G , ∴ A B / / 平面 D E G . ???4 分 (Ⅱ)证明:∵ E F ? 平面 A E B , A E ? 平面 A E B , ∴ EF ? AE , ??5 分 又 A E ? E B , E B ? E F ? E , E B , E F ? 平面 B C F E ,

A

D

E

H

F

B

G

C

∴ A E ? 平面 B C F E . ????6 分 过 D 作 D H / / A E 交 E F 于 H ,连接 B H ,则 D H ? 平面 B C F E , ? B H 是 B D 在平面 B C F E 内的射影, 故 ? D B H 直线 B D 与平面 B C F E 所成的角. ????7 分 ∵ A D / / E F , D H / / A E ,∴四边形 A E H D 平行四边形,∴ D H ? A E ? 2 ,

在 R t ? B E H 中, B H ?

BE ? EH
2

2

? 2 2 ,

在 R t ? D B H 中, ta n ? D B H ?

DH BH

?

2 2
2 2

所以,直线 B D 与平面 B C F E 所成的角的正切值是

.?????9 分

(Ⅲ) 解法 1 ∵ D H ? 平面 B C F E , E G ? 平面 B C F E , ∴ D H ? E G .????10 分 ? EH / / BG , EH ? BG , EH ? BE , ∴四边形 B G H E 为正方形,∴ B H ? E G , ???????11 分 又 B H ? D H ? H , B H ? 平面 B H D , D H ? 平面 B H D , ∴ E G ⊥平面 B H D . ∵ B D ? 平面 B H D , ∴ BD ? EG . ???????12 分 ?????????13 分

解法 2 ∵ E F ? 平面 A E B , A E ? 平面 A E B , B E ? 平面 A E B ,∴ E F ? A E , E F ? B E , z 又 A E ? E B ,∴ E B , E F , E A 两两垂直. A D 以点 E 为坐标原点, E B , E F , E A 分别为 x , y , z 轴建立如图的空间直角坐标系. 由已知得 B (2,0,0) C (2,4,0) , , D (0,2,2) G (2,2,0) , . ∴ E G ? ( 2, 2, 0 ) , B D ? ( ? 2, 2, 2 ) . ∴ B D ? E G ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 .∴ B D ? E G .
???? ????
????
????
x
B E

F

y

G

C

???????13 分
n?) N
*

18.本题满分 13 分) ( 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , S n ? 2 a n ?2( 且 且 b n ?1 ? b n ? 2 .

, 数列 { b n } 满足 b1 ? 1 ,

(Ⅰ)求数列 { a n } 、 { b n } 的通项公式,并求数列 { a n ? b n } 的前 n 项的和 D n ; (Ⅱ)设 c n ? a n ? sin 18.解: (Ⅰ)当 n 当n
? 2
2

n? 2

? bn ? c o s

2

n? 2

( n ? N ) ,求数列 { c n } 的前 2 n 项和 T 2 n .
*

? 1 , a1 ? 2



??????????1 分 ?????2 分
n

时, a n ? S n ? S n ? 1 ? 2 a n ? 2 a n ? 1 ,∴ a n ? 2 a n ? 1 , ∴ { a n } 是等比数列,公比为 2,首项 a1 ? 2 , ∴ a n ? 2

???3 分

由 b n ?1 ? b n ? 2 ,得 { b n } 是等差数列,公差为 2. 又首项 b1
? 1 ,∴ b n ? 2 n ? 1
n n ?1

????????4 分

????????????5 分

∴ a n ? b n ? ( 2 n ? 1) ? 2
1 2

∴ D n ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? ? ( 2 n ? 3) ? 2
3

? ( 2 n ? 1) ? 2
n

n


n ?1

①×2 得 2 D n ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? ? ( 2 n ? 3) ? 2 ? ( 2 n ? 1) ? 2
2 3 4

②?6 分

①—②得:
? D n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ( 2 n ? 1) ? 2
1 2 3 n n ?1

???7 分

? 2 ? 2?

4 (1 ? 2

n ?1

)

1? 2
n ?1

? ( 2 n ? 1) ? 2

n ?1

??8 分 ??9 分 ???10 分 ???11 分

? 2

n ?1

(3 ? 2 n ) ? 6 ,

D n ? ( 2 n ? 3) 2

?6
n 为奇数 n 为偶数

(Ⅱ) c n ? ?

?

2

n

? ? ( 2 n ? 1)
3

Tn ? 2 ? 2 ? ? ? 2

2 n ?1

? [3 ? 7 ? ? ? ( 4 n ? 1)] .

???12 分 ???13 分

?

2

2 n ?1

?2

? 2n ? n
2

3

19. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ?

1 3

x ?
3

m ?1 2

x , g (x) ?
2

1 3

? m x , m 是实数.

(I)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值,求 m 的值; (II)若 f ( x ) 在区间 ( 2 , ? ? ) 为增函数,求 m 的取值范围; (III)在(II)的条件下,函数 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 有三个零点,求 m 的取值范围.
2 19.(I)解: f ? ( x ) ? x ? ( m ? 1) x

?????1分

由 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值,得 f ? (1) ? 1 ? ( m ? 1) ? 0 ,???????2分 所以 m ? 0 (适合题意). ???????3分

2 (II) f ? ( x ) ? x ? ( m ? 1) x ,因为 f ( x ) 在区间 ( 2 , ? ? ) 为增函数,所以

x ? ( m ? 1) x ? x ( x ? m ? 1) ? 0 在区间 ( 2 , ? ? ) 恒成立,
2

???????5分

所以 x ? m ? 1 ? 0 恒成立,即 m ? x ? 1 恒成立. 由于 x ? 2 ,得 m ? 1 . m 的取值范围是 m ? 1 . (III) h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ?
1 3 x ?
3

??????6分 ???????7分
1 3

m ?1 2

x ?mx ?
2



2 故 h ? ( x ) ? x ? ( m ? 1) x ? m ? ( x ? 1)( x ? m ) ? 0 ,得 x ? m 或 x ? 1 .?????8分

2 当 m ? 1 时, h ? ( x ) ? ( x ? 1) ? 0 , h ( x ) 在 R 上是增函数,显然不合题意.????9分

当 m ? 1 时, h ( x ) 、 h ? ( x ) 随 x 的变化情况如下表:
x

(?? , m )

m

( m ,1)
?
3

1

(1, ? ? )

h(x)

+ ↗ 极大值 ? 1
6

0
m ? 1 2 m ?
2

0 极小值 m
?1 2

+ ↗

h ?( x )

1 3



???????11分

要使 f ( x ) ? g ( x ) 有三个零点,故需
? 1 3 1 2 1 ? m ? m ? ? 0 2 ? 6 ? ( m ? 1)( m ? 2 m ? 2 ) ? 0 ? 2 3 ? ? , ? m ?1 m ?1 ? ? ? 0 ? ? 2

???????13分

解得 m ? 1 ?

3 .所以 m 的取值范围是 m ? 1 ?

3.

???????14分

20 . 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 椭 圆 C 的 焦 点 是 F1 ( ? 2 2 , 0 ), F 2 ( 2 2 , 0 ) , 其 上 的 动 点 P 满 足 (
P F1 ? P F 2 ? 4 3 .点 O 为坐标原点,椭圆 C 的下顶点为 R .

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设直线 l1 : y ? x ? 2 与椭圆 C 的交于 A , B 两点,求过 O , A , B 三点的圆的方程; (Ⅲ)设过点 (0 ,1) 且斜率为 k 的直线 l 2 交椭圆 C 于 M , N 两点, 试证明:无论 k 取何值时, R M ? R N 恒为定值。 20.解: (Ⅰ)∵ P F1 ? P F 2 ? 4 3
? 2c ? 4 2
2 2

???? ???? ?

,? 2 a ? 4 3 ,
2 2

??1 分, ????3 分

∴ a ? 1 2, b ? a ? c ? 4,
x
2

∴椭圆 C 的标准方程为
2

?
2

y

2

?1.

???????4 分

12

4

(Ⅱ)联立方程得 ?

? x ? 3 y ? 12 ? 0 ?y ? x? 2
? A (0, 2 ), B ( ? 3, ? 1) ?????6 分
2 2

消 y 得 x 2 ? 3 x ? 0 ,解得 x1 ? 0, x 2 ? ? 3

设所求圆的方程为: x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 依题有 F ? 0, 4 ? 2 E ? F ? 0,1 0 ? 3 D ? E ? F ? 0
2

??????8 分

2 解得 D ? 4, E ? ? 2, F ? 0, 所以所求圆的方程为: x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0 . ???9 分

(Ⅲ)证明:设 l 2 : y ? kx ? 1 ,联立方程组 ? 消 y 得 (1 ? 3 k ) x ? 6 kx ? 9 ? 0
2 2

? y ? kx ? 1 ? x ? 3 y ? 12 ? 0
2 2

---------------10 分
?9
2

? 点 (0,1) 在椭圆 C 内,? ? ? 0 恒成立。设 M ( x1 , kx1 ? 1), N ( x 2 , kx 2 ? 1) ,

则 x1 ? x 2 ?

?6k
2

1 ? 3k 1 ? 3k ???? ? ???? R (0 , ? 2 ) , R M ? ( x1 , kx1 ? 3), R N ? ( x 2 , kx 2 ? 3) ???? ???? ? R M ? R N ? x1 ? x 2 ? ( kx1 ? 3)( kx 2 ? 3)
2
2

, x1 x 2 ?



-----------11 分

---------12 分
? 3k ? ?6k 3k ? 1
2

? (1 ? k ) x1 x 2 ? 3 k ( x1 ? x 2 ) ? 9 ? (1 ? k ) ?

?9 3k ? 1
2

?9

? ?

?9 ? 9k
2 2

2

3k ? 1 3k ? 1
2

?

?18k
2

2

3k ? 1

?9

-------------13 分 ---------14 分

?27 k ? 9

???? ???? ? ? 9 ? ? 9 ? 9 ? 0 ? R M ? R N ? 0 为定值。


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