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一道三角形周长最小值竞赛题的解法


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课 外 园地 ?  

数学通讯 ——2 O 1 4年 第 1 、 2期 ( 上半月)  

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道 三角形周长最 小值竞赛题 的解法 
邹   昌   指导教师   邹生书  
( 湖 北 省 阳 新 县 高级 中学 一 ( 3 )

班, 4 3 5 2 0 0 )  

题目   在 △A BC中 ,   A= 6 0 。 ,   C= 7 5 。 ,   AB 一 1 0 , D, E, F 分 别 在 AB, B C, C A 上 ,则  / X D EF 的周 长 的最小 值 为  .  

l= E D + DF + F E = PD + DF + F Q,   Z  : P D + D  F + F  Q = P Q.  

由两 点 之 间线 段 最 短 得 P D+D F+ F Q ≥ 
P Q, 所以 Z ≥ Z   一 P Q.  

本题 是 2 0 1 3 年全 国初 中数 学联 合竞 赛第 一试 
填 空题 的第 3 题, 是一 道 求三 角形 的 内接 三 角形周 

又 因为 M 。 N 分 别 为线 段 EP, E Q 的中点 , 由  三 角 形 中位 线 定 理 得 P Q = 2 MN ,于 是 有 z  
≥ 2 MN .  

长最 小值 的问 题 , 本题短小精悍, 背 景 深远 , 问题 
背 景涉及 到三角 形 的 一 个 性 质 : 锐 角 三 角 形 的所  有 内接 三角 形 中垂 足 三 角形 的周 长最 短 ( 这 里 的 

如图 2 , 因为  E MA = 9 0 。 ,  E NA 一 9 0 。 , 所  以 A, M, E, N 四点共 圆且 AE是该 圆 的直径 . 以 M  为端 点作 直径 MA   , 连结 A   N, 则  MNA  ;9 0 。 .   由同弧 所 对 圆周 角 相 等 知  A  =  B AC, 所 以 
MN = MA  s i n   A = AEs i n /B AC, 又 Z ≥2 MN ,  

垂 足是 指 三角形 的 高与 对 边 的交 点 ) . 下 面 我 们 用  对称 和三 角 函数 等 知识 来解 这道竞 赛 题.  

所 以 ≥ 2 AEs i n AB AC.  

又 由垂 线 段 最 短 知 , 当A E 是 AB 上 的 高 时 
B  E   C 

AE 的长最 小 , 其 值为 AB s i n   B= c s i n   B, 所 以 
图2  

图 1  

Z ≥ 2 AEs i n  B AC ≥ 2 c s i n   As i n   B,  

解  如 图 1 , 作 点 E分别 关于 直线 AB, AC的  对 称 点 P, Q, 连. P D, l Q F. 连结 E P,   分 别 交AB,   A C于 点 M , N, 连结 MN. 连结 P Q 分别交 AB, A C  
于  D  , F.  

故 △D E F 的周长 z 的最 小值 为 2 c s i n   As i n   B .  

将 C一 1 0 , A 一 6 0 。 , B一 4 5 。代 人 得 所 求 
△D EF 的周长 的最 小值 为 
2 c s i n   As i n   B一 2 0 s i n   6 0 。 s i n   4 5 。 : 5 √ 6 .  

因为点 D, D   在 线段 PE 的垂 直平分 线 上 , 所 
以 P D —D E, P D  一 D   E, 同理 F E— F Q, F   E:  
F  Q.  

( 收稿 日期 : 2 0 1 3 —0 6 一l O   J  

设 △E DF和 △ E D  F   的周 长分 别为 Z 和Z   , 则 


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